歸納、猜想與數(shù)學歸納法的證明

馬曉東++李淑娟

摘 要：歸納、猜想與證明這類題目對培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，具有很好的訓練作用。這類題型是：第一步給出命題（與自然數(shù)有關）的結構；第二步要求學生計算出最初的三個至四個初始值；第三步要求學生通過已計算出的初始值，應用不完全歸納法，發(fā)現(xiàn)其命題的一般性規(guī)律，作出科學的猜想和判斷—— 敢于猜想，善于猜想，最后用數(shù)學歸納法對所作的猜想—— 般性結論，作出完整科學的證明。

關鍵詞：歸納 猜想 數(shù)學歸納法的證明

中圖分類號：G632.4 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）01（a）-0162-02

數(shù)學歸納法是論證與自然數(shù)n有關的一類數(shù)學命題的重要方法，通過“有限”手段來證明“無限”的命題，它主要用于證明與自然數(shù)n有關的恒等式、不等式、整除問題、幾何問題、數(shù)列的通項及求和公式等。

下面將通過具體實例進行闡述：

例1：數(shù)列滿足試用表示

解：由知，， 猜想（n≥2）下面用數(shù)學歸納法證明。

證明：（i）當n=2時，公式成立。

（ii）假設n=k時，公式成立。

即

當n=k+1時，

==

n=k+1時，公式成立。

由（i）（ii）兩步得成立。

評注：利用數(shù)學歸納法證明通項公式關鍵是利用遞推關系（和之間的關系）。

例2：設正整數(shù)列的前n項和為，并且對于所有的自然數(shù)n，與2的等差中項等于與2的等比中項。

（1）寫出數(shù)列的前3項。

（2）求數(shù)列的通項公式。

（3）令（）求極限。

解：1）由題意可知：

當n=1時有。

當n=2時有。

當n=3時有

于是由可猜想的通項公式為。

下面用數(shù)學歸納法證明數(shù)列的通項公式是（n）

①當n=1時，因為，又在（1）中已求出所以上述結論成立。

②假設n=k結論成立.即有。

由題意，有，將代入上式，得 。由題意，有，，將代入，得整理得由解得。

所以這就是說，當n=k+1時上述結論成立。

根據(jù)①②上述結論對所有的自然數(shù)n均成立。

2）解：令：

則

==

而

=

=1-

∴

==1

例3：設是否存在n的整式g（n），使得等式對大于1的自然數(shù)n都成立？證明你的結論。

解：假設g（n）存在：

當n=2時，由即1=解得g（2）=2。

當n=3時，由即解得g（3）=3。

當n=4時，由即 。

解得g（4）=4 由此猜想g（n）=n（n≥2）。

下面用數(shù)學歸納法證明：當n≥2時，等式 成立。

（i）當n=2時，結論成立。

（ii）假設當n=k（k≥2）時，結論成立，則：

=（k+1）（）=（k+1）（），

說明當n=k+1時，結論成立。

由（i）（ii）可知，對一切大于1的自然數(shù)n，存在g（n）=n使等式恒成立。

數(shù)學歸納法是數(shù)學中的一種重要方法，在初等數(shù)學與高等數(shù)學中都有著廣泛的應用。與自然數(shù)有關的不等式，通常考慮用數(shù)學歸納法來證明，用數(shù)學歸納法證明時的兩個步驟缺一不可。

例1：設，且n>1求證：

分析：觀察特征性與n有關，可采用數(shù)學歸納法。

證明：（1）當n=2時，左=，右=，因為>，所以不等式成立。

（2）假設n=k（）時不等式成立，即

那么當n=k+1時，

①

要證①式左邊大于，只要證 ②

由于②

③

因為③成立，故②成立，這就是說，當n=k+1時原不等式成立。

由（1）和（2），對一切n≥2（）原不等式成立。

評注：在由n=k時的結論過度到n=k+1時的結論時，要證目標

較為困難，把問題轉(zhuǎn)化為證明②式，再轉(zhuǎn)化為證③式，使問題獲得解決，這種等價轉(zhuǎn)化的思想十分重要。

例2：已知，且n>1求證：

證明：（1）當n=2時，

（2）假設n=k（k≥2）時，不等式成立，即有

則當n=k+1時，

=（）+（）

>（）==

由（1）（2）知，對任何n且n>1時，不等式成立。

評注：為了利用n=k時的假設條件，這里采用了加項減項的策略，以便正確過渡到n=k+1這一步。

例3：記，

求證：

分析：這是一個證明不等式的問題，由于和自然數(shù)n有關，所以在證明時自然數(shù)想到應用數(shù)學歸納法加以證明。

證明：（1）當n=2時，

∴當n=2時命題成立。

（2）假設n=k時命題成立，即成立

則當n=k+1時，

>1+

>==1+

當n=k+1時，命題也成立。

由（1）（2）知，對任何n且n≥2時，不等式成立。

評注：本題在應用數(shù)學歸納法證明不等式時，易錯處在證明當成立時放縮的程度不恰當，從而整理不出要證明的結論，在證明這一題時應特別注意歸納假設的利用和放縮程度的恰當掌握等方面。

例4：設n時自然數(shù)，求證：2！·4！·6！…（2n）！≥

證明：（1）當n=1時，左邊=2！=2，右邊=2！=2原不等式成立。

（2）假設n=k時，不等式成立。

即：2！·4！·6！…（2k）！≥

那么當n=k+1時，2！·4！·6！…（2k）！（2k+2）！≥

而（2k+2）！=（2k+2）（2k+1）…（k+3）（k+2）！

因此有2！·4！·6！…（2k）！（2k+2）！≥

>！=！=

即不等式當n+k+1時，也成立。

由（1）（2）可知不等式對一切自然數(shù)都成立。

評注：在由時的結論推證時的結論時，利用了階乘的有關知識在適當放縮，使問題得證。

例4：已知函數(shù)f（n）=（n為大于1的自然數(shù)）若a，b，且a，

試判斷f（）與的大小并加以證明。

分析：由f（）=，=這是兩個與n有關的函數(shù)值。要比較大小，用不完全歸納法猜想得到結果，再證明。

證明：f（）=且

當n=2時，=（）

當n=3時，

=

故n，n≥2，有

下面用數(shù)學歸納法證明。

（1）當n=2時，以證。

（2）假設n=k（≥）時：

則n=k+1時：

<=

又（可用作比較，略）

。

綜上由（1）（2），對一切n，n≥2結論成立。

評注：這一例題是數(shù)學歸納法證明探索性問題，此類問題常用的方法是用不完全歸納法猜想出結論，再用數(shù)學歸納法證明。

參考文獻

[1] 張愛芹.數(shù)學[M].人民衛(wèi)生出版社，2007.

[2] 張選群.醫(yī)用高等數(shù)學[M].人民衛(wèi)生出版社，2010，6.endprint