合作辦學形勢下線性代數的教學改革

劉紹慶　王言英

摘 要：線性代數是所有高校的一門重要的基礎課。該文總結了該校區目前線性代數的教學中存在的問題，然后從校區中外合作辦學和校企合作辦學的實際出發，對線性代數的課程提出一些想法和設想。

關鍵詞：合作辦學 線性代數 教學改革

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（c）-0113-02

線性代數是高校理、工、經、管等專業的基礎課之一，隨著這門課程在基礎課中的地位的逐步提高，以及在科學技術生產實踐中日益廣泛的應用，線性代數的重要性也日益顯現，對線性代數的教學改革勢在必行。自2007年以來，我校先后與多所國外高校開展中外合作辦學項目，還與企業聯合共建“計算機科學與技術（軟件外包方向）”本科專業，結合這些實際情況，依據教學改革實踐的體會，該文對《線性代數》課程教學提出一些設想和做法。

1 我校線性代數教學中存在的問題

目前，我校線性代數的教學學時為36學時。一般放在大二的上學期。所用的教材是同濟大學數學系編《線性代數》第五版。由于學時的限制我們只講授前五章的內容。

2007年開展中外合作和校企合作以來，線性代數的教學對我們教師來說是一個新的挑戰。一方面，線性代數課程本身就有一定的學習難度，課程涉及的概念、定理、結論非常多，比較抽象，大學二年級的學生在理解上有一定的難度，不容易被他們所接受；另一方面，中外合作和校企合作辦學的學生的基礎相對不是很好，一部分學生的學習態度不夠端正，上課前沒有積極預習，上課時沒有認真聽講，課后沒有及時復習練習；最后學生在思想上沒有足夠重視，他們沒有很好地了解學習線性代數的意義，普遍認為學習線性代數沒什么用，導致有些學生表現出一定的排斥態度。

2 結合我校實際的線性代數的教學改革

2.1 讓學生認識到學習線性代數的重要性

線性代數是所有自然科學的基礎，也是現代工程技術的基礎。它不但是學生學習其它后續許多課程（如電路分析、控制原理、信號與系統等）不可缺少的重要工具，而且還為一些實際應用問題的解決提供了一種重要方法。在講授這門課程的時候我們教師一定要讓學生明白線性代數來源于實踐，它最終也要應用到實踐中去。

矩陣是線性代數的一個重要的研究對象，也是一種常見的數學現象，比如學生的成績單、車站時刻表、工廠里的生產進度表、價目表、科研中的數據分析表等等，它是表述或處理大量的數據的有力的工具。能把一些頭緒紛繁的數據按照一定的規則清晰地展示出來，并通過矩陣的一些運算或變換來揭示各事物之間內在的一些聯系，這就是矩陣的重要作用之一。

方陣的特征值、特征向量、方陣的相似對角化也有很重要的實際應用。例如，在生物信息學中，研究人類基因的染色體圖譜進行DNA序列對比時就要用到這些內容，當然在其他方面如自動控制理論、機械振動以及線性電路分析中，這些內容都是不可缺少的工具之一。

二次型的理論起源于解析幾何中對二次曲線和二次曲面的研究，它在線性系統理論和工程技術的許多領域中都有應用。例如工程上，與現代控制理論、無線電技術、振動問題有著極其密切的聯系。

2.2 教學過程中教學內容的改革

本課程的重點是在下表中用“★”號標明，對這些重點要在學時安排上側重一些，保證能有足夠的學時進行強化教學，且習題課時要反復講解，反復練習，使學生能切實掌握（表1）。

概念多是本課程最大的難點，非常抽象，大學二年級的學生很難理解，接受起來也有困難。對此我們盡量將抽象問題具體化，復雜問題簡單化。

（1）先講具體問題，再從這些具體問題中引導出抽象的概念，例如§2.1和§2.2的矩陣和矩陣運算就是從解決實際問題中提煉出來的，這使得抽象的數學概念有一個可以捉摸的實際背景，不僅使得學生容易接受；更重要的是使得學生懂得抽象的數學概念和理論是解決實際問題的有力工具，從而激發了學生學習數學的積極性和主動性。

（2）將困難的概念分幾個層次講。比如矩陣的秩，在第三章講矩陣時，涉及到了一般的矩陣秩的性質和一些理論，并用此來求解線性方程組。接著在第四章，在闡述向量組秩的時候，把向量組的秩和矩陣的秩聯系起來，對秩的理論作了作了進一步闡述。分成兩步走，使得學生對秩的概念有一個逐漸的認識過程，難理解的秩也就逐步理解了。

（3）講難點時將方法和理論分開，比如§4.3節講向量組的極大線性無關組，就先講如何求的方法，將求秩的方法歸納成3步，每步都具體寫出，先教會學生會具體算，而省略一些理論證明的詳細推導，有興趣的學生可以去自學這些推導。

（4）將難點分解，把復雜的、難的知識點轉化為簡單的問題。

①第一章中行列式計算的主要方法就是利用行列式的性質將一般的（難的、復雜的）行列式歸結化簡為上（下）三角形行列式（簡單的）。

②第三章解線性方程組也是將一般的（難的、復雜的）線性方程組歸化為同解的簡單線性方程組來求解。

③第三章矩陣的秩也是將一般的（難的、復雜的）矩陣的秩歸化為階梯型矩陣的秩（簡單的）。

④第二章至第五章中的矩陣間的等價、相似、合同，其實這三者也是旨在借助標準形（具體的，簡單的）來推斷一般矩陣（抽象的、難的）的性質。

⑤第五章二次型中用非退化線性變換化二次型為標準形，借助標準形（具體的、簡單的）來推斷一般二次型（抽象的、難的）的性質（比如是否正定）。

2.3 線性代數教學中融入數學建模的思想

近幾年，我校區在數學建模方面取得了可喜的成績，多次獲得國家一、二等獎級山東省一等獎，這也激發了校區學生參加數學建模的熱情。針對這一情況，我們建議在講授課本上理論知識的同時，也給出一些實際問題，引導學生進行分析總結，通過做一些適當的簡化和引入一些合理的假設，建立簡單的數學模型，并對此模型進行求解，從而利用這個結果再去解釋實際問題。一方面這樣做能讓學生了解數學建模的基本思想，另一方面又讓學生體會了線性代數在解決實際問題中的重要作用。針對不同的專業，我們可以根據專業來選擇不同類型的數學模型，比如電氣專業，我們可以引入電路網絡方面的數學模型；計算機專業，可以引入關于計算機圖形處理方面的數學模型；經濟專業，可以引入投入產出數學模型等。

2.4 線性代數教學與計算機緊密結合

首先在教學方式上，我們可以利用現代化教學手段，發揮計算機的作用，在一定程度上可以提高線性代數的教學質量和效率。其次可以在線性代數教學中指導學生用計算機如常用的一些數學軟件Mathematica、MATLAB來完成繁雜的運算，給學生提供一些簡單且容易掌握的應用程序，為學生今后參加數學建模競賽打下良好的基礎。

3 結語

從培養學生的創新意識和提高他們的數學素質的思想構建合作辦學條件下線性代數課程的新模式是切實可行的。毋庸置疑，當我校區數學教師將這一新模式貫穿到他們日常的教學過程中時，我校區的數學教育定將上一個新的臺階。

參考文獻

[1] 同濟大學數學教研室編.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 蕭鐵樹，姜啟源，何青，等.數學實驗[M].北京：高等教育出版社，1999.endprint

摘 要：線性代數是所有高校的一門重要的基礎課。該文總結了該校區目前線性代數的教學中存在的問題，然后從校區中外合作辦學和校企合作辦學的實際出發，對線性代數的課程提出一些想法和設想。

關鍵詞：合作辦學 線性代數 教學改革

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（c）-0113-02

線性代數是高校理、工、經、管等專業的基礎課之一，隨著這門課程在基礎課中的地位的逐步提高，以及在科學技術生產實踐中日益廣泛的應用，線性代數的重要性也日益顯現，對線性代數的教學改革勢在必行。自2007年以來，我校先后與多所國外高校開展中外合作辦學項目，還與企業聯合共建“計算機科學與技術（軟件外包方向）”本科專業，結合這些實際情況，依據教學改革實踐的體會，該文對《線性代數》課程教學提出一些設想和做法。

1 我校線性代數教學中存在的問題

目前，我校線性代數的教學學時為36學時。一般放在大二的上學期。所用的教材是同濟大學數學系編《線性代數》第五版。由于學時的限制我們只講授前五章的內容。

2007年開展中外合作和校企合作以來，線性代數的教學對我們教師來說是一個新的挑戰。一方面，線性代數課程本身就有一定的學習難度，課程涉及的概念、定理、結論非常多，比較抽象，大學二年級的學生在理解上有一定的難度，不容易被他們所接受；另一方面，中外合作和校企合作辦學的學生的基礎相對不是很好，一部分學生的學習態度不夠端正，上課前沒有積極預習，上課時沒有認真聽講，課后沒有及時復習練習；最后學生在思想上沒有足夠重視，他們沒有很好地了解學習線性代數的意義，普遍認為學習線性代數沒什么用，導致有些學生表現出一定的排斥態度。

2 結合我校實際的線性代數的教學改革

2.1 讓學生認識到學習線性代數的重要性

線性代數是所有自然科學的基礎，也是現代工程技術的基礎。它不但是學生學習其它后續許多課程（如電路分析、控制原理、信號與系統等）不可缺少的重要工具，而且還為一些實際應用問題的解決提供了一種重要方法。在講授這門課程的時候我們教師一定要讓學生明白線性代數來源于實踐，它最終也要應用到實踐中去。

矩陣是線性代數的一個重要的研究對象，也是一種常見的數學現象，比如學生的成績單、車站時刻表、工廠里的生產進度表、價目表、科研中的數據分析表等等，它是表述或處理大量的數據的有力的工具。能把一些頭緒紛繁的數據按照一定的規則清晰地展示出來，并通過矩陣的一些運算或變換來揭示各事物之間內在的一些聯系，這就是矩陣的重要作用之一。

方陣的特征值、特征向量、方陣的相似對角化也有很重要的實際應用。例如，在生物信息學中，研究人類基因的染色體圖譜進行DNA序列對比時就要用到這些內容，當然在其他方面如自動控制理論、機械振動以及線性電路分析中，這些內容都是不可缺少的工具之一。

二次型的理論起源于解析幾何中對二次曲線和二次曲面的研究，它在線性系統理論和工程技術的許多領域中都有應用。例如工程上，與現代控制理論、無線電技術、振動問題有著極其密切的聯系。

2.2 教學過程中教學內容的改革

本課程的重點是在下表中用“★”號標明，對這些重點要在學時安排上側重一些，保證能有足夠的學時進行強化教學，且習題課時要反復講解，反復練習，使學生能切實掌握（表1）。

概念多是本課程最大的難點，非常抽象，大學二年級的學生很難理解，接受起來也有困難。對此我們盡量將抽象問題具體化，復雜問題簡單化。

（1）先講具體問題，再從這些具體問題中引導出抽象的概念，例如§2.1和§2.2的矩陣和矩陣運算就是從解決實際問題中提煉出來的，這使得抽象的數學概念有一個可以捉摸的實際背景，不僅使得學生容易接受；更重要的是使得學生懂得抽象的數學概念和理論是解決實際問題的有力工具，從而激發了學生學習數學的積極性和主動性。

（2）將困難的概念分幾個層次講。比如矩陣的秩，在第三章講矩陣時，涉及到了一般的矩陣秩的性質和一些理論，并用此來求解線性方程組。接著在第四章，在闡述向量組秩的時候，把向量組的秩和矩陣的秩聯系起來，對秩的理論作了作了進一步闡述。分成兩步走，使得學生對秩的概念有一個逐漸的認識過程，難理解的秩也就逐步理解了。

（3）講難點時將方法和理論分開，比如§4.3節講向量組的極大線性無關組，就先講如何求的方法，將求秩的方法歸納成3步，每步都具體寫出，先教會學生會具體算，而省略一些理論證明的詳細推導，有興趣的學生可以去自學這些推導。

（4）將難點分解，把復雜的、難的知識點轉化為簡單的問題。

①第一章中行列式計算的主要方法就是利用行列式的性質將一般的（難的、復雜的）行列式歸結化簡為上（下）三角形行列式（簡單的）。

②第三章解線性方程組也是將一般的（難的、復雜的）線性方程組歸化為同解的簡單線性方程組來求解。

③第三章矩陣的秩也是將一般的（難的、復雜的）矩陣的秩歸化為階梯型矩陣的秩（簡單的）。

④第二章至第五章中的矩陣間的等價、相似、合同，其實這三者也是旨在借助標準形（具體的，簡單的）來推斷一般矩陣（抽象的、難的）的性質。

⑤第五章二次型中用非退化線性變換化二次型為標準形，借助標準形（具體的、簡單的）來推斷一般二次型（抽象的、難的）的性質（比如是否正定）。

2.3 線性代數教學中融入數學建模的思想

近幾年，我校區在數學建模方面取得了可喜的成績，多次獲得國家一、二等獎級山東省一等獎，這也激發了校區學生參加數學建模的熱情。針對這一情況，我們建議在講授課本上理論知識的同時，也給出一些實際問題，引導學生進行分析總結，通過做一些適當的簡化和引入一些合理的假設，建立簡單的數學模型，并對此模型進行求解，從而利用這個結果再去解釋實際問題。一方面這樣做能讓學生了解數學建模的基本思想，另一方面又讓學生體會了線性代數在解決實際問題中的重要作用。針對不同的專業，我們可以根據專業來選擇不同類型的數學模型，比如電氣專業，我們可以引入電路網絡方面的數學模型；計算機專業，可以引入關于計算機圖形處理方面的數學模型；經濟專業，可以引入投入產出數學模型等。

2.4 線性代數教學與計算機緊密結合

首先在教學方式上，我們可以利用現代化教學手段，發揮計算機的作用，在一定程度上可以提高線性代數的教學質量和效率。其次可以在線性代數教學中指導學生用計算機如常用的一些數學軟件Mathematica、MATLAB來完成繁雜的運算，給學生提供一些簡單且容易掌握的應用程序，為學生今后參加數學建模競賽打下良好的基礎。

3 結語

從培養學生的創新意識和提高他們的數學素質的思想構建合作辦學條件下線性代數課程的新模式是切實可行的。毋庸置疑，當我校區數學教師將這一新模式貫穿到他們日常的教學過程中時，我校區的數學教育定將上一個新的臺階。

參考文獻

[1] 同濟大學數學教研室編.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 蕭鐵樹，姜啟源，何青，等.數學實驗[M].北京：高等教育出版社，1999.endprint

摘 要：線性代數是所有高校的一門重要的基礎課。該文總結了該校區目前線性代數的教學中存在的問題，然后從校區中外合作辦學和校企合作辦學的實際出發，對線性代數的課程提出一些想法和設想。

關鍵詞：合作辦學 線性代數 教學改革

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）04（c）-0113-02

線性代數是高校理、工、經、管等專業的基礎課之一，隨著這門課程在基礎課中的地位的逐步提高，以及在科學技術生產實踐中日益廣泛的應用，線性代數的重要性也日益顯現，對線性代數的教學改革勢在必行。自2007年以來，我校先后與多所國外高校開展中外合作辦學項目，還與企業聯合共建“計算機科學與技術（軟件外包方向）”本科專業，結合這些實際情況，依據教學改革實踐的體會，該文對《線性代數》課程教學提出一些設想和做法。

1 我校線性代數教學中存在的問題

目前，我校線性代數的教學學時為36學時。一般放在大二的上學期。所用的教材是同濟大學數學系編《線性代數》第五版。由于學時的限制我們只講授前五章的內容。

2007年開展中外合作和校企合作以來，線性代數的教學對我們教師來說是一個新的挑戰。一方面，線性代數課程本身就有一定的學習難度，課程涉及的概念、定理、結論非常多，比較抽象，大學二年級的學生在理解上有一定的難度，不容易被他們所接受；另一方面，中外合作和校企合作辦學的學生的基礎相對不是很好，一部分學生的學習態度不夠端正，上課前沒有積極預習，上課時沒有認真聽講，課后沒有及時復習練習；最后學生在思想上沒有足夠重視，他們沒有很好地了解學習線性代數的意義，普遍認為學習線性代數沒什么用，導致有些學生表現出一定的排斥態度。

2 結合我校實際的線性代數的教學改革

2.1 讓學生認識到學習線性代數的重要性

線性代數是所有自然科學的基礎，也是現代工程技術的基礎。它不但是學生學習其它后續許多課程（如電路分析、控制原理、信號與系統等）不可缺少的重要工具，而且還為一些實際應用問題的解決提供了一種重要方法。在講授這門課程的時候我們教師一定要讓學生明白線性代數來源于實踐，它最終也要應用到實踐中去。

矩陣是線性代數的一個重要的研究對象，也是一種常見的數學現象，比如學生的成績單、車站時刻表、工廠里的生產進度表、價目表、科研中的數據分析表等等，它是表述或處理大量的數據的有力的工具。能把一些頭緒紛繁的數據按照一定的規則清晰地展示出來，并通過矩陣的一些運算或變換來揭示各事物之間內在的一些聯系，這就是矩陣的重要作用之一。

方陣的特征值、特征向量、方陣的相似對角化也有很重要的實際應用。例如，在生物信息學中，研究人類基因的染色體圖譜進行DNA序列對比時就要用到這些內容，當然在其他方面如自動控制理論、機械振動以及線性電路分析中，這些內容都是不可缺少的工具之一。

二次型的理論起源于解析幾何中對二次曲線和二次曲面的研究，它在線性系統理論和工程技術的許多領域中都有應用。例如工程上，與現代控制理論、無線電技術、振動問題有著極其密切的聯系。

2.2 教學過程中教學內容的改革

本課程的重點是在下表中用“★”號標明，對這些重點要在學時安排上側重一些，保證能有足夠的學時進行強化教學，且習題課時要反復講解，反復練習，使學生能切實掌握（表1）。

概念多是本課程最大的難點，非常抽象，大學二年級的學生很難理解，接受起來也有困難。對此我們盡量將抽象問題具體化，復雜問題簡單化。

（1）先講具體問題，再從這些具體問題中引導出抽象的概念，例如§2.1和§2.2的矩陣和矩陣運算就是從解決實際問題中提煉出來的，這使得抽象的數學概念有一個可以捉摸的實際背景，不僅使得學生容易接受；更重要的是使得學生懂得抽象的數學概念和理論是解決實際問題的有力工具，從而激發了學生學習數學的積極性和主動性。

（2）將困難的概念分幾個層次講。比如矩陣的秩，在第三章講矩陣時，涉及到了一般的矩陣秩的性質和一些理論，并用此來求解線性方程組。接著在第四章，在闡述向量組秩的時候，把向量組的秩和矩陣的秩聯系起來，對秩的理論作了作了進一步闡述。分成兩步走，使得學生對秩的概念有一個逐漸的認識過程，難理解的秩也就逐步理解了。

（3）講難點時將方法和理論分開，比如§4.3節講向量組的極大線性無關組，就先講如何求的方法，將求秩的方法歸納成3步，每步都具體寫出，先教會學生會具體算，而省略一些理論證明的詳細推導，有興趣的學生可以去自學這些推導。

（4）將難點分解，把復雜的、難的知識點轉化為簡單的問題。

①第一章中行列式計算的主要方法就是利用行列式的性質將一般的（難的、復雜的）行列式歸結化簡為上（下）三角形行列式（簡單的）。

②第三章解線性方程組也是將一般的（難的、復雜的）線性方程組歸化為同解的簡單線性方程組來求解。

③第三章矩陣的秩也是將一般的（難的、復雜的）矩陣的秩歸化為階梯型矩陣的秩（簡單的）。

④第二章至第五章中的矩陣間的等價、相似、合同，其實這三者也是旨在借助標準形（具體的，簡單的）來推斷一般矩陣（抽象的、難的）的性質。

⑤第五章二次型中用非退化線性變換化二次型為標準形，借助標準形（具體的、簡單的）來推斷一般二次型（抽象的、難的）的性質（比如是否正定）。

2.3 線性代數教學中融入數學建模的思想

近幾年，我校區在數學建模方面取得了可喜的成績，多次獲得國家一、二等獎級山東省一等獎，這也激發了校區學生參加數學建模的熱情。針對這一情況，我們建議在講授課本上理論知識的同時，也給出一些實際問題，引導學生進行分析總結，通過做一些適當的簡化和引入一些合理的假設，建立簡單的數學模型，并對此模型進行求解，從而利用這個結果再去解釋實際問題。一方面這樣做能讓學生了解數學建模的基本思想，另一方面又讓學生體會了線性代數在解決實際問題中的重要作用。針對不同的專業，我們可以根據專業來選擇不同類型的數學模型，比如電氣專業，我們可以引入電路網絡方面的數學模型；計算機專業，可以引入關于計算機圖形處理方面的數學模型；經濟專業，可以引入投入產出數學模型等。

2.4 線性代數教學與計算機緊密結合

首先在教學方式上，我們可以利用現代化教學手段，發揮計算機的作用，在一定程度上可以提高線性代數的教學質量和效率。其次可以在線性代數教學中指導學生用計算機如常用的一些數學軟件Mathematica、MATLAB來完成繁雜的運算，給學生提供一些簡單且容易掌握的應用程序，為學生今后參加數學建模競賽打下良好的基礎。

3 結語

從培養學生的創新意識和提高他們的數學素質的思想構建合作辦學條件下線性代數課程的新模式是切實可行的。毋庸置疑，當我校區數學教師將這一新模式貫穿到他們日常的教學過程中時，我校區的數學教育定將上一個新的臺階。

參考文獻

[1] 同濟大學數學教研室編.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 蕭鐵樹，姜啟源，何青，等.數學實驗[M].北京：高等教育出版社，1999.endprint