懸臂梁為基本結構作梁內力圖

李占超++張寧

摘 要：梁內力圖的繪制在材料力學中占有重要的地位，該文在綜合考慮剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎上，提出了以懸臂梁為基本結構作梁的內力圖的方法。該方法簡單易學、快速準確、便于推廣。

關鍵詞：懸臂梁 梁 內力圖 截面法 疊加法

中圖分類號：TU311 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）06（c）-0083-02

材料力學是研究工程材料力學性能及構件強度、剛度和穩定性計算理論的科學，在工科專業的教學計劃中占有重要地位，是最為重要的專業基礎課之一。該課程的知識及理論既可直接應用于工程實踐，又為后繼相關課程奠定了必需的理論基礎。在材料力學的教學中，內力圖是分析危險截面、危險點，對構件進行強度計算的主要依據，內力圖的繪制是材料力的核心內容之一。因此，快速、準確地繪制內力圖對工程計算非常重要。

在各種內力圖中，軸力圖、扭矩圖相對簡單，而梁彎曲變形時的剪力圖和彎矩圖較為復雜，初學者往往很難掌握和靈活運用。不同的教材對于剪力圖和彎矩圖的繪制方法闡述大同小異，主要分為截面法、利用微分關系繪圖和疊加法等[1]。截面法易于理解，但所需要的工作量較大；利用微分關系并輔以典型控制斷面法[2]，繪圖速度較快，但需要較好的微積分基礎；疊加法在只存在荷載疊加時，直觀且方便，但在涉及到復雜結構的疊加時，學生難以理解。本文則在綜合分析剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎上，將梁轉化為基本的懸臂梁結構，將支反力視為外荷載，連同原來的荷載逐一作用在該懸臂梁結構上，最后采用荷載疊加法得到原梁的內力圖。

1 基本方法

平衡是力學中的重要概念，在材料力學中，當采用截面法作梁的內力圖時，關鍵也是如何恰當地在構件內部應用平衡理論及平衡方程。截面法是假想在外力確定的情況下，把所研究的物體沿著某一位置用截面截開；取出其中的任意一段進行研究；在取出的這一段上外力（荷載或支反力）不變，同時用一個內合力（剪力和彎矩）來表示剩下的部分對所研究部分的力的作用；再根據考慮內力后所取部分應滿足靜力平衡條件，求解所在截面的內力。從截面法的基本原理可見：（1）截面內力可認為是在所取截面位置添加一個固定端約束因外力作用所產生的支反力；（2）在列平衡方程時，并未考慮所取桿件部分的連接形式及材料性質，本質上是將所取桿件部分認為是一段剛性桿。因此，采用截面法計算某一截面的內力時，該截面內力實際上就是將所取部分桿件看成是在截面處受固定端約束的懸臂梁結構因外力作用所產生的支反力，如圖1和2所示。其中，圖1為受均布荷載q和力偶M作用的梁結構，其mm斷面的內力即為受到均布荷載q、力偶M以及支反力FB作用的懸臂梁結構在固定端處的支反力，如圖2所示。進而，在原梁結構中所取部分桿件的內力與所對應懸臂梁結構的內力相同，即原梁結構在外部荷載作用下（圖1）的內力與一端固定約束的懸臂梁結構受外部荷載和支反力共同作用（圖3）的內力相同。

對復雜荷載作用下懸臂梁結構內力的求解宜采用疊加法，疊加原理可表述為：在滿足小變形假設的前提下，當構件或結構上同時作用多個荷載時，如果各荷載產生的效應（如支反力、內力、應力和位移等）互不影響（或影響很小，可忽略不計），則全部荷載所產生的總效應等于各荷載單獨作用時所產生的效應之和（代數和或矢量和）。根據疊加原理，圖3所示懸臂梁結構的內力為均布荷載、力偶以及支反力單獨作用時的內力之和（如圖4所示），其中支反力和不產生內力。

綜上分析，以懸臂梁為基本結構作梁內力圖的方法的基本步驟可表述為：

（1）根據梁的平衡條件，求支反力；

（2）在左端或右端（以計算方便為原則）添加固定約束，形成相應的懸臂梁結構；

（3）求各個外部荷載和支反力在懸臂梁結構上的內力；

（4）將各個內力進行疊加，作原梁的內力圖。

2 舉例

采用該文所提出的方法，以圖1所示的懸臂組合梁為例作其內力圖。其中，、、段長度分別為、、，力偶。

（1）根據梁的平衡條件，支反力、、；

（2）在左端添加固定約束，形成相應的懸臂梁結構；

（3）作均布荷載、力偶以及支反力單獨作用在懸臂梁結構上時的內力圖，如圖5和6所示；

（4）根據疊加法，得到該懸臂組合梁的內力圖，如圖7所示。

3 結語

該文以易于理解和掌握的懸臂梁結構為基礎，靈活應用剛體靜力平衡、截面法和疊加法的基本原理，提出了以懸臂梁為基本結構作一般梁內力圖的方法。該方法思路清晰、計算簡單、易于掌握，將其應用到實際當中，也收到了較好的教學效果。

參考文獻

[1] 孫訓方，方孝淑，關來泰.材料力學（I）[M].5版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] 王正中，李平.材料力學[M].北京： 中國農業大學出版社，2008.endprint

摘 要：梁內力圖的繪制在材料力學中占有重要的地位，該文在綜合考慮剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎上，提出了以懸臂梁為基本結構作梁的內力圖的方法。該方法簡單易學、快速準確、便于推廣。

關鍵詞：懸臂梁 梁 內力圖 截面法 疊加法

中圖分類號：TU311 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）06（c）-0083-02

材料力學是研究工程材料力學性能及構件強度、剛度和穩定性計算理論的科學，在工科專業的教學計劃中占有重要地位，是最為重要的專業基礎課之一。該課程的知識及理論既可直接應用于工程實踐，又為后繼相關課程奠定了必需的理論基礎。在材料力學的教學中，內力圖是分析危險截面、危險點，對構件進行強度計算的主要依據，內力圖的繪制是材料力的核心內容之一。因此，快速、準確地繪制內力圖對工程計算非常重要。

在各種內力圖中，軸力圖、扭矩圖相對簡單，而梁彎曲變形時的剪力圖和彎矩圖較為復雜，初學者往往很難掌握和靈活運用。不同的教材對于剪力圖和彎矩圖的繪制方法闡述大同小異，主要分為截面法、利用微分關系繪圖和疊加法等[1]。截面法易于理解，但所需要的工作量較大；利用微分關系并輔以典型控制斷面法[2]，繪圖速度較快，但需要較好的微積分基礎；疊加法在只存在荷載疊加時，直觀且方便，但在涉及到復雜結構的疊加時，學生難以理解。本文則在綜合分析剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎上，將梁轉化為基本的懸臂梁結構，將支反力視為外荷載，連同原來的荷載逐一作用在該懸臂梁結構上，最后采用荷載疊加法得到原梁的內力圖。

1 基本方法

平衡是力學中的重要概念，在材料力學中，當采用截面法作梁的內力圖時，關鍵也是如何恰當地在構件內部應用平衡理論及平衡方程。截面法是假想在外力確定的情況下，把所研究的物體沿著某一位置用截面截開；取出其中的任意一段進行研究；在取出的這一段上外力（荷載或支反力）不變，同時用一個內合力（剪力和彎矩）來表示剩下的部分對所研究部分的力的作用；再根據考慮內力后所取部分應滿足靜力平衡條件，求解所在截面的內力。從截面法的基本原理可見：（1）截面內力可認為是在所取截面位置添加一個固定端約束因外力作用所產生的支反力；（2）在列平衡方程時，并未考慮所取桿件部分的連接形式及材料性質，本質上是將所取桿件部分認為是一段剛性桿。因此，采用截面法計算某一截面的內力時，該截面內力實際上就是將所取部分桿件看成是在截面處受固定端約束的懸臂梁結構因外力作用所產生的支反力，如圖1和2所示。其中，圖1為受均布荷載q和力偶M作用的梁結構，其mm斷面的內力即為受到均布荷載q、力偶M以及支反力FB作用的懸臂梁結構在固定端處的支反力，如圖2所示。進而，在原梁結構中所取部分桿件的內力與所對應懸臂梁結構的內力相同，即原梁結構在外部荷載作用下（圖1）的內力與一端固定約束的懸臂梁結構受外部荷載和支反力共同作用（圖3）的內力相同。

對復雜荷載作用下懸臂梁結構內力的求解宜采用疊加法，疊加原理可表述為：在滿足小變形假設的前提下，當構件或結構上同時作用多個荷載時，如果各荷載產生的效應（如支反力、內力、應力和位移等）互不影響（或影響很小，可忽略不計），則全部荷載所產生的總效應等于各荷載單獨作用時所產生的效應之和（代數和或矢量和）。根據疊加原理，圖3所示懸臂梁結構的內力為均布荷載、力偶以及支反力單獨作用時的內力之和（如圖4所示），其中支反力和不產生內力。

綜上分析，以懸臂梁為基本結構作梁內力圖的方法的基本步驟可表述為：

（1）根據梁的平衡條件，求支反力；

（2）在左端或右端（以計算方便為原則）添加固定約束，形成相應的懸臂梁結構；

（3）求各個外部荷載和支反力在懸臂梁結構上的內力；

（4）將各個內力進行疊加，作原梁的內力圖。

2 舉例

采用該文所提出的方法，以圖1所示的懸臂組合梁為例作其內力圖。其中，、、段長度分別為、、，力偶。

（1）根據梁的平衡條件，支反力、、；

（2）在左端添加固定約束，形成相應的懸臂梁結構；

（3）作均布荷載、力偶以及支反力單獨作用在懸臂梁結構上時的內力圖，如圖5和6所示；

（4）根據疊加法，得到該懸臂組合梁的內力圖，如圖7所示。

3 結語

該文以易于理解和掌握的懸臂梁結構為基礎，靈活應用剛體靜力平衡、截面法和疊加法的基本原理，提出了以懸臂梁為基本結構作一般梁內力圖的方法。該方法思路清晰、計算簡單、易于掌握，將其應用到實際當中，也收到了較好的教學效果。

參考文獻

[1] 孫訓方，方孝淑，關來泰.材料力學（I）[M].5版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] 王正中，李平.材料力學[M].北京： 中國農業大學出版社，2008.endprint

摘 要：梁內力圖的繪制在材料力學中占有重要的地位，該文在綜合考慮剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎上，提出了以懸臂梁為基本結構作梁的內力圖的方法。該方法簡單易學、快速準確、便于推廣。

關鍵詞：懸臂梁 梁 內力圖 截面法 疊加法

中圖分類號：TU311 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）06（c）-0083-02

材料力學是研究工程材料力學性能及構件強度、剛度和穩定性計算理論的科學，在工科專業的教學計劃中占有重要地位，是最為重要的專業基礎課之一。該課程的知識及理論既可直接應用于工程實踐，又為后繼相關課程奠定了必需的理論基礎。在材料力學的教學中，內力圖是分析危險截面、危險點，對構件進行強度計算的主要依據，內力圖的繪制是材料力的核心內容之一。因此，快速、準確地繪制內力圖對工程計算非常重要。

在各種內力圖中，軸力圖、扭矩圖相對簡單，而梁彎曲變形時的剪力圖和彎矩圖較為復雜，初學者往往很難掌握和靈活運用。不同的教材對于剪力圖和彎矩圖的繪制方法闡述大同小異，主要分為截面法、利用微分關系繪圖和疊加法等[1]。截面法易于理解，但所需要的工作量較大；利用微分關系并輔以典型控制斷面法[2]，繪圖速度較快，但需要較好的微積分基礎；疊加法在只存在荷載疊加時，直觀且方便，但在涉及到復雜結構的疊加時，學生難以理解。本文則在綜合分析剛體靜力平衡、截面法和疊加法基本原理的基礎上，將梁轉化為基本的懸臂梁結構，將支反力視為外荷載，連同原來的荷載逐一作用在該懸臂梁結構上，最后采用荷載疊加法得到原梁的內力圖。

1 基本方法

平衡是力學中的重要概念，在材料力學中，當采用截面法作梁的內力圖時，關鍵也是如何恰當地在構件內部應用平衡理論及平衡方程。截面法是假想在外力確定的情況下，把所研究的物體沿著某一位置用截面截開；取出其中的任意一段進行研究；在取出的這一段上外力（荷載或支反力）不變，同時用一個內合力（剪力和彎矩）來表示剩下的部分對所研究部分的力的作用；再根據考慮內力后所取部分應滿足靜力平衡條件，求解所在截面的內力。從截面法的基本原理可見：（1）截面內力可認為是在所取截面位置添加一個固定端約束因外力作用所產生的支反力；（2）在列平衡方程時，并未考慮所取桿件部分的連接形式及材料性質，本質上是將所取桿件部分認為是一段剛性桿。因此，采用截面法計算某一截面的內力時，該截面內力實際上就是將所取部分桿件看成是在截面處受固定端約束的懸臂梁結構因外力作用所產生的支反力，如圖1和2所示。其中，圖1為受均布荷載q和力偶M作用的梁結構，其mm斷面的內力即為受到均布荷載q、力偶M以及支反力FB作用的懸臂梁結構在固定端處的支反力，如圖2所示。進而，在原梁結構中所取部分桿件的內力與所對應懸臂梁結構的內力相同，即原梁結構在外部荷載作用下（圖1）的內力與一端固定約束的懸臂梁結構受外部荷載和支反力共同作用（圖3）的內力相同。

對復雜荷載作用下懸臂梁結構內力的求解宜采用疊加法，疊加原理可表述為：在滿足小變形假設的前提下，當構件或結構上同時作用多個荷載時，如果各荷載產生的效應（如支反力、內力、應力和位移等）互不影響（或影響很小，可忽略不計），則全部荷載所產生的總效應等于各荷載單獨作用時所產生的效應之和（代數和或矢量和）。根據疊加原理，圖3所示懸臂梁結構的內力為均布荷載、力偶以及支反力單獨作用時的內力之和（如圖4所示），其中支反力和不產生內力。

綜上分析，以懸臂梁為基本結構作梁內力圖的方法的基本步驟可表述為：

（1）根據梁的平衡條件，求支反力；

（2）在左端或右端（以計算方便為原則）添加固定約束，形成相應的懸臂梁結構；

（3）求各個外部荷載和支反力在懸臂梁結構上的內力；

（4）將各個內力進行疊加，作原梁的內力圖。

2 舉例

采用該文所提出的方法，以圖1所示的懸臂組合梁為例作其內力圖。其中，、、段長度分別為、、，力偶。

（1）根據梁的平衡條件，支反力、、；

（2）在左端添加固定約束，形成相應的懸臂梁結構；

（3）作均布荷載、力偶以及支反力單獨作用在懸臂梁結構上時的內力圖，如圖5和6所示；

（4）根據疊加法，得到該懸臂組合梁的內力圖，如圖7所示。

3 結語

該文以易于理解和掌握的懸臂梁結構為基礎，靈活應用剛體靜力平衡、截面法和疊加法的基本原理，提出了以懸臂梁為基本結構作一般梁內力圖的方法。該方法思路清晰、計算簡單、易于掌握，將其應用到實際當中，也收到了較好的教學效果。

參考文獻

[1] 孫訓方，方孝淑，關來泰.材料力學（I）[M].5版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] 王正中，李平.材料力學[M].北京： 中國農業大學出版社，2008.endprint