數列極限的幾何解釋及其應用

張府柱

摘 要：數列極限的幾何解釋在教材中介紹的篇幅較少，但在理論學習和實際問題的解決中卻有著不可忽視的應用。

關鍵詞：數列極限 幾何意義 證明 應用

中圖分類號：O1 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）05（a）-0218-01

極限理論是數學分析和高等數學的核心內容，貫穿在整個教學的全部內容中。學生有熟練掌握極限理論是學好數學分析和高等數學的前提條件，在以往的教學中，數列極限的幾何解釋通常不能引起學生的重視。就其原因，一是數列極限的幾何解釋在教材中介紹的篇幅較少，它一般作為數列極限一節的結束；另一方面它的應用較少，很難引起學生的注意。因此，在對一些用到數列極限的幾何解釋解決的問題時無從下手。本文將闡述數列極限的幾何解釋的若干應用，希望引起學習者的重視。

1 數列極限的幾何解釋

數列以為極限的定義是：對于每一個事先給定的，存在正整數，使得對滿足條件的每個自然數，成立不等式。其幾何解釋是：

數列收斂：數列從某項開始將進入的任何事先給定的鄰域，在這個鄰域以外最多只有有限項。

數列發散：對于數軸上的每個，都存在一個鄰域，在中有無窮多限項落在這個鄰域之外。

它們其實就是數列收斂與發散的幾何定義，應該引起學生的高度重視，下面以例子說明它的意義與應用。

2 在理論學習中的意義

學生在學習極限的性質時總感到困惑，認為那些證明太難了，例如用反證法證明極限的唯一性時，先設有兩個不相等的極限、且，為什么要取？為了說明這個問題，我們先看它的幾何意義：數列的項從某項開始將進入的任何事先給定有鄰域，在這個鄰域以外最多只有有限項，同時有數列的項從某項開始將進入的任何事先給定有鄰域，在這個鄰域以外最多只有有限項。因為，又要保證這兩個鄰域不相交，鄰域的半徑最大可以取多少，不就是兩點距離的一半嗎？數列的項從某項開始不可能同時進入兩個不相交的鄰域，從而得出矛盾。

再看保號性，若數列收斂，且，則當時，有。

如圖1所示，取，在區間外只有有限個點，記最大的下標為，則只要時，就落在鄰域內，顯然大于。

又如有序性， 設，。若，則當時，有。

如圖2所示，取，從幾何意義可以看出，只要足夠大，，

，所以一定有。

3 在解決問題中的應用

例1 證明數列增加有限項或減少有限項，不改變其斂散性。

證：設收斂，則

，使得，在外只有的有限項。

所以，增加有限項或減少有限項后，在外仍然只有的有限項，故增加有限項或減少有限項不改變其收斂性。

如果發散，則，，使得在外有的無限項。

所以，增加有限項或減少有限項后，在外仍有的無限項，故增加有限項或減少有限項不改變其發散性.

注：本題多次布置給學生作為練習題，學生的反映是無從下手，就此反映了學生對此知識點的不重視。

例2 證明：數列發散。

證：因為由無窮多個和無窮多個組成，所以任何一個長度小于的區間不可能同時覆蓋和。即，取，則必有無限多項在之外。

注：本例中，可取中任何一個數，作為存在性的說明，只需一個就可以了，此處取的是。

例3設黎曼函數

證明黎曼函數滿足。

證：，當或

時，，所以。

當時，相當于求有理點列的極限。對，取，如圖3所示：

在直線上方的點只有有限個，即在外只有有限個點，故有理點列以極限。用數學語言敘述如下：

由于的點只有有限個，設它們為，所以只需取

則使得，從而。

綜上所述，故。

關于數學的研究對象，一般都有數和形兩個方面的陳述。作為數上的描述，比較抽象，思想比較深刻；作為形上的描述即所謂的幾何解釋，比較直觀，形象。二者互為補充，不能厚此薄彼。

參考文獻

[1] 劉玉璉.數學分析講義練習題選解[M].北京：高等教育出版社，1996：119-121.

[2] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993：140.

[3] 謝惠民.數學分析習題課講義[M].北京：高等教育出版社，2003：168-169.endprint

摘 要：數列極限的幾何解釋在教材中介紹的篇幅較少，但在理論學習和實際問題的解決中卻有著不可忽視的應用。

關鍵詞：數列極限 幾何意義 證明 應用

中圖分類號：O1 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）05（a）-0218-01

極限理論是數學分析和高等數學的核心內容，貫穿在整個教學的全部內容中。學生有熟練掌握極限理論是學好數學分析和高等數學的前提條件，在以往的教學中，數列極限的幾何解釋通常不能引起學生的重視。就其原因，一是數列極限的幾何解釋在教材中介紹的篇幅較少，它一般作為數列極限一節的結束；另一方面它的應用較少，很難引起學生的注意。因此，在對一些用到數列極限的幾何解釋解決的問題時無從下手。本文將闡述數列極限的幾何解釋的若干應用，希望引起學習者的重視。

1 數列極限的幾何解釋

數列以為極限的定義是：對于每一個事先給定的，存在正整數，使得對滿足條件的每個自然數，成立不等式。其幾何解釋是：

數列收斂：數列從某項開始將進入的任何事先給定的鄰域，在這個鄰域以外最多只有有限項。

數列發散：對于數軸上的每個，都存在一個鄰域，在中有無窮多限項落在這個鄰域之外。

它們其實就是數列收斂與發散的幾何定義，應該引起學生的高度重視，下面以例子說明它的意義與應用。

2 在理論學習中的意義

學生在學習極限的性質時總感到困惑，認為那些證明太難了，例如用反證法證明極限的唯一性時，先設有兩個不相等的極限、且，為什么要取？為了說明這個問題，我們先看它的幾何意義：數列的項從某項開始將進入的任何事先給定有鄰域，在這個鄰域以外最多只有有限項，同時有數列的項從某項開始將進入的任何事先給定有鄰域，在這個鄰域以外最多只有有限項。因為，又要保證這兩個鄰域不相交，鄰域的半徑最大可以取多少，不就是兩點距離的一半嗎？數列的項從某項開始不可能同時進入兩個不相交的鄰域，從而得出矛盾。

再看保號性，若數列收斂，且，則當時，有。

如圖1所示，取，在區間外只有有限個點，記最大的下標為，則只要時，就落在鄰域內，顯然大于。

又如有序性， 設，。若，則當時，有。

如圖2所示，取，從幾何意義可以看出，只要足夠大，，

，所以一定有。

3 在解決問題中的應用

例1 證明數列增加有限項或減少有限項，不改變其斂散性。

證：設收斂，則

，使得，在外只有的有限項。

所以，增加有限項或減少有限項后，在外仍然只有的有限項，故增加有限項或減少有限項不改變其收斂性。

如果發散，則，，使得在外有的無限項。

所以，增加有限項或減少有限項后，在外仍有的無限項，故增加有限項或減少有限項不改變其發散性.

注：本題多次布置給學生作為練習題，學生的反映是無從下手，就此反映了學生對此知識點的不重視。

例2 證明：數列發散。

證：因為由無窮多個和無窮多個組成，所以任何一個長度小于的區間不可能同時覆蓋和。即，取，則必有無限多項在之外。

注：本例中，可取中任何一個數，作為存在性的說明，只需一個就可以了，此處取的是。

例3設黎曼函數

證明黎曼函數滿足。

證：，當或

時，，所以。

當時，相當于求有理點列的極限。對，取，如圖3所示：

在直線上方的點只有有限個，即在外只有有限個點，故有理點列以極限。用數學語言敘述如下：

由于的點只有有限個，設它們為，所以只需取

則使得，從而。

綜上所述，故。

關于數學的研究對象，一般都有數和形兩個方面的陳述。作為數上的描述，比較抽象，思想比較深刻；作為形上的描述即所謂的幾何解釋，比較直觀，形象。二者互為補充，不能厚此薄彼。

參考文獻

[1] 劉玉璉.數學分析講義練習題選解[M].北京：高等教育出版社，1996：119-121.

[2] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993：140.

[3] 謝惠民.數學分析習題課講義[M].北京：高等教育出版社，2003：168-169.endprint

摘 要：數列極限的幾何解釋在教材中介紹的篇幅較少，但在理論學習和實際問題的解決中卻有著不可忽視的應用。

關鍵詞：數列極限 幾何意義 證明 應用

中圖分類號：O1 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）05（a）-0218-01

極限理論是數學分析和高等數學的核心內容，貫穿在整個教學的全部內容中。學生有熟練掌握極限理論是學好數學分析和高等數學的前提條件，在以往的教學中，數列極限的幾何解釋通常不能引起學生的重視。就其原因，一是數列極限的幾何解釋在教材中介紹的篇幅較少，它一般作為數列極限一節的結束；另一方面它的應用較少，很難引起學生的注意。因此，在對一些用到數列極限的幾何解釋解決的問題時無從下手。本文將闡述數列極限的幾何解釋的若干應用，希望引起學習者的重視。

1 數列極限的幾何解釋

數列以為極限的定義是：對于每一個事先給定的，存在正整數，使得對滿足條件的每個自然數，成立不等式。其幾何解釋是：

數列收斂：數列從某項開始將進入的任何事先給定的鄰域，在這個鄰域以外最多只有有限項。

數列發散：對于數軸上的每個，都存在一個鄰域，在中有無窮多限項落在這個鄰域之外。

它們其實就是數列收斂與發散的幾何定義，應該引起學生的高度重視，下面以例子說明它的意義與應用。

2 在理論學習中的意義

學生在學習極限的性質時總感到困惑，認為那些證明太難了，例如用反證法證明極限的唯一性時，先設有兩個不相等的極限、且，為什么要取？為了說明這個問題，我們先看它的幾何意義：數列的項從某項開始將進入的任何事先給定有鄰域，在這個鄰域以外最多只有有限項，同時有數列的項從某項開始將進入的任何事先給定有鄰域，在這個鄰域以外最多只有有限項。因為，又要保證這兩個鄰域不相交，鄰域的半徑最大可以取多少，不就是兩點距離的一半嗎？數列的項從某項開始不可能同時進入兩個不相交的鄰域，從而得出矛盾。

再看保號性，若數列收斂，且，則當時，有。

如圖1所示，取，在區間外只有有限個點，記最大的下標為，則只要時，就落在鄰域內，顯然大于。

又如有序性， 設，。若，則當時，有。

如圖2所示，取，從幾何意義可以看出，只要足夠大，，

，所以一定有。

3 在解決問題中的應用

例1 證明數列增加有限項或減少有限項，不改變其斂散性。

證：設收斂，則

，使得，在外只有的有限項。

所以，增加有限項或減少有限項后，在外仍然只有的有限項，故增加有限項或減少有限項不改變其收斂性。

如果發散，則，，使得在外有的無限項。

所以，增加有限項或減少有限項后，在外仍有的無限項，故增加有限項或減少有限項不改變其發散性.

注：本題多次布置給學生作為練習題，學生的反映是無從下手，就此反映了學生對此知識點的不重視。

例2 證明：數列發散。

證：因為由無窮多個和無窮多個組成，所以任何一個長度小于的區間不可能同時覆蓋和。即，取，則必有無限多項在之外。

注：本例中，可取中任何一個數，作為存在性的說明，只需一個就可以了，此處取的是。

例3設黎曼函數

證明黎曼函數滿足。

證：，當或

時，，所以。

當時，相當于求有理點列的極限。對，取，如圖3所示：

在直線上方的點只有有限個，即在外只有有限個點，故有理點列以極限。用數學語言敘述如下：

由于的點只有有限個，設它們為，所以只需取

則使得，從而。

綜上所述，故。

關于數學的研究對象，一般都有數和形兩個方面的陳述。作為數上的描述，比較抽象，思想比較深刻；作為形上的描述即所謂的幾何解釋，比較直觀，形象。二者互為補充，不能厚此薄彼。

參考文獻

[1] 劉玉璉.數學分析講義練習題選解[M].北京：高等教育出版社，1996：119-121.

[2] 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993：140.

[3] 謝惠民.數學分析習題課講義[M].北京：高等教育出版社，2003：168-169.endprint