導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

莊瓊蘭

導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高中教材后，顯示了它強(qiáng)大的生命力，可用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間、極值、最值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；還可以與函數(shù)、不等式、方程、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)交匯融合.在考查基礎(chǔ)知識(shí)之上，與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的題往往呈現(xiàn)觀點(diǎn)高、應(yīng)用性強(qiáng)、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn).

重點(diǎn)難點(diǎn)

高考對(duì)此部分內(nèi)容的考查主要體現(xiàn)在：①考查導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題等；②考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力：含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以及和不等式、方程根的分布、解析幾何等知識(shí)的交匯.

重點(diǎn)：了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；會(huì)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值.

難點(diǎn)：用分類討論的思想分析解決含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，用數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想研究函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)之間的聯(lián)系.

方法突破

1. 要重視基礎(chǔ).該部分內(nèi)容突出一個(gè)“用”字，其中利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性起著基礎(chǔ)性的作用，對(duì)導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)單調(diào)性、最值、極值等方面的應(yīng)用，要做到抓主線，攻重點(diǎn)，熟知方法，并不斷進(jìn)行訓(xùn)練. 要注意概念辨析和知識(shí)理解，如：①若已知f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減），則轉(zhuǎn)化為不等式f ′（x）≥0（f ′（x）≤0）在區(qū)間D上恒成立，而不是f ′（x）>0（f ′（x）<0）在區(qū)間D上恒成立. ②可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零，但導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)未必是極值點(diǎn). 如函數(shù)f（x）=x3在x=0處有f ′（0）=0，但x=0不是函數(shù)f（x）=x3的極值點(diǎn).

2. 要把握思想.高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行考查的同時(shí)，還注重考查能力，特別是解導(dǎo)數(shù)解答題，往往要站在數(shù)學(xué)思想方法的高度去考慮問(wèn)題. 對(duì)求解目標(biāo)的理解應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化，如不等式恒成立問(wèn)題是否要分離參數(shù)，含參數(shù)問(wèn)題是否要分類討論，能不能用數(shù)形結(jié)合的思想將抽象的知識(shí)變得直觀. 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括，是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的體現(xiàn)，由此，對(duì)導(dǎo)數(shù)中體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法，要注意提煉出來(lái)，總結(jié)到位，并不斷進(jìn)行訓(xùn)練.

3.要加強(qiáng)交匯. 注意導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)的交匯. 由導(dǎo)數(shù)方法研究方程、不等式時(shí)，一般是先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，這里要考慮是直接構(gòu)造，還是轉(zhuǎn)化構(gòu)造，借助適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)形式展開(kāi)研究. 發(fā)揮好導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題的工具作用，要把知識(shí)與知識(shí)相互結(jié)合起來(lái)，把知識(shí)與方法也相互結(jié)合起來(lái)，以此不斷提升解決問(wèn)題的能力.

4. 對(duì)于有些函數(shù)問(wèn)題，若一階求導(dǎo)不能解決，則可以思考是否需要二階求導(dǎo).endprint

導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高中教材后，顯示了它強(qiáng)大的生命力，可用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間、極值、最值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；還可以與函數(shù)、不等式、方程、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)交匯融合.在考查基礎(chǔ)知識(shí)之上，與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的題往往呈現(xiàn)觀點(diǎn)高、應(yīng)用性強(qiáng)、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn).

重點(diǎn)難點(diǎn)

高考對(duì)此部分內(nèi)容的考查主要體現(xiàn)在：①考查導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題等；②考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力：含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以及和不等式、方程根的分布、解析幾何等知識(shí)的交匯.

重點(diǎn)：了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；會(huì)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值.

難點(diǎn)：用分類討論的思想分析解決含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，用數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想研究函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)之間的聯(lián)系.

方法突破

1. 要重視基礎(chǔ).該部分內(nèi)容突出一個(gè)“用”字，其中利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性起著基礎(chǔ)性的作用，對(duì)導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)單調(diào)性、最值、極值等方面的應(yīng)用，要做到抓主線，攻重點(diǎn)，熟知方法，并不斷進(jìn)行訓(xùn)練. 要注意概念辨析和知識(shí)理解，如：①若已知f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減），則轉(zhuǎn)化為不等式f ′（x）≥0（f ′（x）≤0）在區(qū)間D上恒成立，而不是f ′（x）>0（f ′（x）<0）在區(qū)間D上恒成立. ②可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零，但導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)未必是極值點(diǎn). 如函數(shù)f（x）=x3在x=0處有f ′（0）=0，但x=0不是函數(shù)f（x）=x3的極值點(diǎn).

2. 要把握思想.高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行考查的同時(shí)，還注重考查能力，特別是解導(dǎo)數(shù)解答題，往往要站在數(shù)學(xué)思想方法的高度去考慮問(wèn)題. 對(duì)求解目標(biāo)的理解應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化，如不等式恒成立問(wèn)題是否要分離參數(shù)，含參數(shù)問(wèn)題是否要分類討論，能不能用數(shù)形結(jié)合的思想將抽象的知識(shí)變得直觀. 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括，是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的體現(xiàn)，由此，對(duì)導(dǎo)數(shù)中體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法，要注意提煉出來(lái)，總結(jié)到位，并不斷進(jìn)行訓(xùn)練.

3.要加強(qiáng)交匯. 注意導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)的交匯. 由導(dǎo)數(shù)方法研究方程、不等式時(shí)，一般是先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，這里要考慮是直接構(gòu)造，還是轉(zhuǎn)化構(gòu)造，借助適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)形式展開(kāi)研究. 發(fā)揮好導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題的工具作用，要把知識(shí)與知識(shí)相互結(jié)合起來(lái)，把知識(shí)與方法也相互結(jié)合起來(lái)，以此不斷提升解決問(wèn)題的能力.

4. 對(duì)于有些函數(shù)問(wèn)題，若一階求導(dǎo)不能解決，則可以思考是否需要二階求導(dǎo).endprint

導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高中教材后，顯示了它強(qiáng)大的生命力，可用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間、極值、最值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；還可以與函數(shù)、不等式、方程、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)交匯融合.在考查基礎(chǔ)知識(shí)之上，與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的題往往呈現(xiàn)觀點(diǎn)高、應(yīng)用性強(qiáng)、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn).

重點(diǎn)難點(diǎn)

高考對(duì)此部分內(nèi)容的考查主要體現(xiàn)在：①考查導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題等；②考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力：含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以及和不等式、方程根的分布、解析幾何等知識(shí)的交匯.

重點(diǎn)：了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；會(huì)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值.

難點(diǎn)：用分類討論的思想分析解決含參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，用數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想研究函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)之間的聯(lián)系.

方法突破

1. 要重視基礎(chǔ).該部分內(nèi)容突出一個(gè)“用”字，其中利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性起著基礎(chǔ)性的作用，對(duì)導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)單調(diào)性、最值、極值等方面的應(yīng)用，要做到抓主線，攻重點(diǎn)，熟知方法，并不斷進(jìn)行訓(xùn)練. 要注意概念辨析和知識(shí)理解，如：①若已知f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減），則轉(zhuǎn)化為不等式f ′（x）≥0（f ′（x）≤0）在區(qū)間D上恒成立，而不是f ′（x）>0（f ′（x）<0）在區(qū)間D上恒成立. ②可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零，但導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)未必是極值點(diǎn). 如函數(shù)f（x）=x3在x=0處有f ′（0）=0，但x=0不是函數(shù)f（x）=x3的極值點(diǎn).

2. 要把握思想.高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行考查的同時(shí)，還注重考查能力，特別是解導(dǎo)數(shù)解答題，往往要站在數(shù)學(xué)思想方法的高度去考慮問(wèn)題. 對(duì)求解目標(biāo)的理解應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化，如不等式恒成立問(wèn)題是否要分離參數(shù)，含參數(shù)問(wèn)題是否要分類討論，能不能用數(shù)形結(jié)合的思想將抽象的知識(shí)變得直觀. 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括，是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的體現(xiàn)，由此，對(duì)導(dǎo)數(shù)中體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法，要注意提煉出來(lái)，總結(jié)到位，并不斷進(jìn)行訓(xùn)練.

3.要加強(qiáng)交匯. 注意導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)的交匯. 由導(dǎo)數(shù)方法研究方程、不等式時(shí)，一般是先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，這里要考慮是直接構(gòu)造，還是轉(zhuǎn)化構(gòu)造，借助適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)形式展開(kāi)研究. 發(fā)揮好導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題的工具作用，要把知識(shí)與知識(shí)相互結(jié)合起來(lái)，把知識(shí)與方法也相互結(jié)合起來(lái)，以此不斷提升解決問(wèn)題的能力.

4. 對(duì)于有些函數(shù)問(wèn)題，若一階求導(dǎo)不能解決，則可以思考是否需要二階求導(dǎo).endprint