二次函數

何曉勤

二次函數是中學代數的重要內容之一.作為一種最基本的初等函數，通過它可以研究函數的許多性質，如單調性、奇偶性、對稱性和最值等.二次函數可以與一元二次方程、一元二次不等式綜合，并涉及函數與方程、等價轉化、數形結合、分類討論等重要的數學思想. 因此，二次函數一直備受高考命題者的“青睞”，成為高考考查的熱點.

重點難點

重點：①二次函數的解析式（一般式、頂點式、零點式）的靈活應用；②二次函數的圖象及性質的應用，如求最值和研究單調性等；③二次函數與一元二次方程及一元二次不等式之間的關系.

難點：①含參數二次函數在閉區間上的最值問題；②含參數二次函數的零點分布（即含參數一元二次方程根的分布）問題；③三個“二次”的綜合問題.

方法突破

1. 二次函數解題的基本方法

（1）認真審題，明確題目考查的方向；利用題目條件，合理選用二次函數的解析式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；頂點式：y=a（x+k）2+h（a≠0），其中（-k，h）為頂點；零點式：y= a（x-x1）（x-x2）（a≠0））；結合二次函數的圖象，運用分類討論、數形結合、等價轉化等思想解決最值、取值范圍等問題.

（2）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，其與各系數間的關系如下：①a與拋物線的開口方向有關；②c與拋物線在y軸上的截距有關；③-與拋物線的對稱軸有關；④b2-4ac與拋物線和x軸交點的個數有關.

2. 二次函數解題的基本策略

（1）二次函數解析式的三種形式中都有三個獨立的參數，要通過三個獨立條件確定，靈活選用解析式可以優化解題步驟，提高解題效率. 在求解二次函數問題時，一般式用得最多；若涉及二次函數的最值或對稱性時緊扣頂點式；若涉及二次函數的零點（或一元二次方程的根）問題時，首選零點式.

（2）研究二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱性時，常常用到如下性質：若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），則點A（x1， f（x1））與點B（x2， f（x2））關于直線x=-對稱，即x1+x2=-.

（3）二次函數在閉區間的最值問題常考三種類型：軸定區間定、軸變區間定、軸定區間變. 無論是哪種類型，解決的關鍵是確定對稱軸與區間的關系. 當含有參數時，要依據對稱軸與區間的關系，結合二次函數的圖象和性質，進行分類討論. 二次函數在閉區間的最值只可能在區間的端點或頂點取得. 若二次函數的二次項系數含參數a，則必須分a>0，a=0，a<0進行第一層的討論，以對稱軸的不同位置進行第二層次的分類討論.

（4）一元二次方程區間根的分布問題通常轉化為二次函數的零點分布問題去處理. 解決此類問題需要考慮四個要素：開口方向、判別式、對稱軸的位置以及端點函數值的符號.

（5）三個“二次”問題以二次函數為中心，運用二次函數的圖象和性質把一元二次方程、一元二次不等式聯系起來，要重視代數推理；三個“二次”問題也是研究包含二次曲線等內容的基礎工具.endprint

二次函數是中學代數的重要內容之一.作為一種最基本的初等函數，通過它可以研究函數的許多性質，如單調性、奇偶性、對稱性和最值等.二次函數可以與一元二次方程、一元二次不等式綜合，并涉及函數與方程、等價轉化、數形結合、分類討論等重要的數學思想. 因此，二次函數一直備受高考命題者的“青睞”，成為高考考查的熱點.

重點難點

重點：①二次函數的解析式（一般式、頂點式、零點式）的靈活應用；②二次函數的圖象及性質的應用，如求最值和研究單調性等；③二次函數與一元二次方程及一元二次不等式之間的關系.

難點：①含參數二次函數在閉區間上的最值問題；②含參數二次函數的零點分布（即含參數一元二次方程根的分布）問題；③三個“二次”的綜合問題.

方法突破

1. 二次函數解題的基本方法

（1）認真審題，明確題目考查的方向；利用題目條件，合理選用二次函數的解析式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；頂點式：y=a（x+k）2+h（a≠0），其中（-k，h）為頂點；零點式：y= a（x-x1）（x-x2）（a≠0））；結合二次函數的圖象，運用分類討論、數形結合、等價轉化等思想解決最值、取值范圍等問題.

（2）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，其與各系數間的關系如下：①a與拋物線的開口方向有關；②c與拋物線在y軸上的截距有關；③-與拋物線的對稱軸有關；④b2-4ac與拋物線和x軸交點的個數有關.

2. 二次函數解題的基本策略

（1）二次函數解析式的三種形式中都有三個獨立的參數，要通過三個獨立條件確定，靈活選用解析式可以優化解題步驟，提高解題效率. 在求解二次函數問題時，一般式用得最多；若涉及二次函數的最值或對稱性時緊扣頂點式；若涉及二次函數的零點（或一元二次方程的根）問題時，首選零點式.

（2）研究二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱性時，常常用到如下性質：若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），則點A（x1， f（x1））與點B（x2， f（x2））關于直線x=-對稱，即x1+x2=-.

（3）二次函數在閉區間的最值問題常考三種類型：軸定區間定、軸變區間定、軸定區間變. 無論是哪種類型，解決的關鍵是確定對稱軸與區間的關系. 當含有參數時，要依據對稱軸與區間的關系，結合二次函數的圖象和性質，進行分類討論. 二次函數在閉區間的最值只可能在區間的端點或頂點取得. 若二次函數的二次項系數含參數a，則必須分a>0，a=0，a<0進行第一層的討論，以對稱軸的不同位置進行第二層次的分類討論.

（4）一元二次方程區間根的分布問題通常轉化為二次函數的零點分布問題去處理. 解決此類問題需要考慮四個要素：開口方向、判別式、對稱軸的位置以及端點函數值的符號.

（5）三個“二次”問題以二次函數為中心，運用二次函數的圖象和性質把一元二次方程、一元二次不等式聯系起來，要重視代數推理；三個“二次”問題也是研究包含二次曲線等內容的基礎工具.endprint

二次函數是中學代數的重要內容之一.作為一種最基本的初等函數，通過它可以研究函數的許多性質，如單調性、奇偶性、對稱性和最值等.二次函數可以與一元二次方程、一元二次不等式綜合，并涉及函數與方程、等價轉化、數形結合、分類討論等重要的數學思想. 因此，二次函數一直備受高考命題者的“青睞”，成為高考考查的熱點.

重點難點

重點：①二次函數的解析式（一般式、頂點式、零點式）的靈活應用；②二次函數的圖象及性質的應用，如求最值和研究單調性等；③二次函數與一元二次方程及一元二次不等式之間的關系.

難點：①含參數二次函數在閉區間上的最值問題；②含參數二次函數的零點分布（即含參數一元二次方程根的分布）問題；③三個“二次”的綜合問題.

方法突破

1. 二次函數解題的基本方法

（1）認真審題，明確題目考查的方向；利用題目條件，合理選用二次函數的解析式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；頂點式：y=a（x+k）2+h（a≠0），其中（-k，h）為頂點；零點式：y= a（x-x1）（x-x2）（a≠0））；結合二次函數的圖象，運用分類討論、數形結合、等價轉化等思想解決最值、取值范圍等問題.

（2）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，其與各系數間的關系如下：①a與拋物線的開口方向有關；②c與拋物線在y軸上的截距有關；③-與拋物線的對稱軸有關；④b2-4ac與拋物線和x軸交點的個數有關.

2. 二次函數解題的基本策略

（1）二次函數解析式的三種形式中都有三個獨立的參數，要通過三個獨立條件確定，靈活選用解析式可以優化解題步驟，提高解題效率. 在求解二次函數問題時，一般式用得最多；若涉及二次函數的最值或對稱性時緊扣頂點式；若涉及二次函數的零點（或一元二次方程的根）問題時，首選零點式.

（2）研究二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱性時，常常用到如下性質：若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），則點A（x1， f（x1））與點B（x2， f（x2））關于直線x=-對稱，即x1+x2=-.

（3）二次函數在閉區間的最值問題常考三種類型：軸定區間定、軸變區間定、軸定區間變. 無論是哪種類型，解決的關鍵是確定對稱軸與區間的關系. 當含有參數時，要依據對稱軸與區間的關系，結合二次函數的圖象和性質，進行分類討論. 二次函數在閉區間的最值只可能在區間的端點或頂點取得. 若二次函數的二次項系數含參數a，則必須分a>0，a=0，a<0進行第一層的討論，以對稱軸的不同位置進行第二層次的分類討論.

（4）一元二次方程區間根的分布問題通常轉化為二次函數的零點分布問題去處理. 解決此類問題需要考慮四個要素：開口方向、判別式、對稱軸的位置以及端點函數值的符號.

（5）三個“二次”問題以二次函數為中心，運用二次函數的圖象和性質把一元二次方程、一元二次不等式聯系起來，要重視代數推理；三個“二次”問題也是研究包含二次曲線等內容的基礎工具.endprint