導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

陳崇榮++楊蒼洲

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段. 導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應(yīng)用. 高考中對導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義的考查較簡單，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

重點難點

高考對導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義的考查主要體現(xiàn)在：了解導(dǎo)數(shù)的實際背景、概念，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，會用定義法求導(dǎo)數(shù)，能解釋具體函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)的實際意義.會求一些簡單函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解曲線在一點的切線的概念，會求簡單函數(shù)在某點處及過某點處的切線方程.

重點：知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

難點：體會從平均變化率到瞬時變化率，從割線到切線的過程中采用的逼近思想.

方法突破

1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)并不只限于瞬時速度、切線的斜率，任何事物的變化率都可以用導(dǎo)數(shù)來描述，如增長率、膨脹率、效率、密度等等.

2.曲線在某一點處的切線的定義：設(shè)曲線C是函數(shù)y=f（x）的圖象，在曲線C上取一點P（x0，y0）及鄰近一點Q（x0+？駐x，y0+？駐y），過P，Q兩點作割線，當(dāng)點Q沿著曲線無限接近于點P即？駐x→0時，如果割線PQ有一個極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在點P處的切線.

3. 幾何意義：函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0），就是曲線y=f（x）在點P（x0， f（x0））處的切線的斜率k，即k=tanα=f ′（x0）.

特別要注意：函數(shù)y=f（x）在點x0處的切線與函數(shù)y=f（x）過點（m，n）的切線是不一樣的. 前者的切線的斜率k等于f ′（x0），后者的斜率k不一定等于f ′（m）.

4.導(dǎo)函數(shù)的大小變化與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系： 可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)為f ′（x），若f ′（x）為增函數(shù)，則f（x）的圖象是凹的；反之，若f ′（x）為減函數(shù)，則f（x）的圖象是凸的.endprint

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段. 導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應(yīng)用. 高考中對導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義的考查較簡單，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

重點難點

高考對導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義的考查主要體現(xiàn)在：了解導(dǎo)數(shù)的實際背景、概念，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，會用定義法求導(dǎo)數(shù)，能解釋具體函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)的實際意義.會求一些簡單函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解曲線在一點的切線的概念，會求簡單函數(shù)在某點處及過某點處的切線方程.

重點：知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

難點：體會從平均變化率到瞬時變化率，從割線到切線的過程中采用的逼近思想.

方法突破

1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)并不只限于瞬時速度、切線的斜率，任何事物的變化率都可以用導(dǎo)數(shù)來描述，如增長率、膨脹率、效率、密度等等.

2.曲線在某一點處的切線的定義：設(shè)曲線C是函數(shù)y=f（x）的圖象，在曲線C上取一點P（x0，y0）及鄰近一點Q（x0+？駐x，y0+？駐y），過P，Q兩點作割線，當(dāng)點Q沿著曲線無限接近于點P即？駐x→0時，如果割線PQ有一個極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在點P處的切線.

3. 幾何意義：函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0），就是曲線y=f（x）在點P（x0， f（x0））處的切線的斜率k，即k=tanα=f ′（x0）.

特別要注意：函數(shù)y=f（x）在點x0處的切線與函數(shù)y=f（x）過點（m，n）的切線是不一樣的. 前者的切線的斜率k等于f ′（x0），后者的斜率k不一定等于f ′（m）.

4.導(dǎo)函數(shù)的大小變化與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系： 可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)為f ′（x），若f ′（x）為增函數(shù)，則f（x）的圖象是凹的；反之，若f ′（x）為減函數(shù)，則f（x）的圖象是凸的.endprint

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段. 導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應(yīng)用. 高考中對導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義的考查較簡單，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

重點難點

高考對導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義的考查主要體現(xiàn)在：了解導(dǎo)數(shù)的實際背景、概念，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，會用定義法求導(dǎo)數(shù)，能解釋具體函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)的實際意義.會求一些簡單函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解曲線在一點的切線的概念，會求簡單函數(shù)在某點處及過某點處的切線方程.

重點：知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

難點：體會從平均變化率到瞬時變化率，從割線到切線的過程中采用的逼近思想.

方法突破

1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)并不只限于瞬時速度、切線的斜率，任何事物的變化率都可以用導(dǎo)數(shù)來描述，如增長率、膨脹率、效率、密度等等.

2.曲線在某一點處的切線的定義：設(shè)曲線C是函數(shù)y=f（x）的圖象，在曲線C上取一點P（x0，y0）及鄰近一點Q（x0+？駐x，y0+？駐y），過P，Q兩點作割線，當(dāng)點Q沿著曲線無限接近于點P即？駐x→0時，如果割線PQ有一個極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在點P處的切線.

3. 幾何意義：函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0），就是曲線y=f（x）在點P（x0， f（x0））處的切線的斜率k，即k=tanα=f ′（x0）.

特別要注意：函數(shù)y=f（x）在點x0處的切線與函數(shù)y=f（x）過點（m，n）的切線是不一樣的. 前者的切線的斜率k等于f ′（x0），后者的斜率k不一定等于f ′（m）.

4.導(dǎo)函數(shù)的大小變化與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系： 可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)為f ′（x），若f ′（x）為增函數(shù)，則f（x）的圖象是凹的；反之，若f ′（x）為減函數(shù)，則f（x）的圖象是凸的.endprint