運用“軸對稱”解決最短路徑問題

劉軍

在學習“軸對稱圖形”時，我們經常會遇到與最短路徑有關的問題，同學們往往在處理這類問題時感到困難. 這類問題通常會轉化成“兩點之間，線段最短”來解決，而軸對稱的性質是實現這一轉化的有效方法之一. 只要我們能把握軸對稱的性質，那么問題便迎刃而解.

在蘇科版八（上）“軸對稱圖形”一章的課后習題中就有這樣一個問題：如圖1，點A、B在直線l同側，點B′是點B關于l的對稱點，AB′交l于點P. （1） AB′與AP+PB相等嗎？為什么？（2） 在l上再取一點Q，并連接AQ和QB，比較AQ+QB與AP+PB的大小，并說明理由.

【解析】 （1） 由點B與點B′關于直線l成軸對稱可知PB=PB′，則AB′=AP+PB′=AP+PB. （2） 利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”及（1）的結論可知，AQ+QB>AB′=AP+PB.

這個問題還可以進一步說明直線l上的點P能使得線段PA+PB的和最小.

下面再通過對幾個最短路徑問題的分析，幫助同學們熟悉并掌握這類問題的解題策略，真正能做到融會貫通，一通百通.

一、 已知兩點在一條直線的同一側

例1 （將軍飲馬）古希臘一位將軍要從A地出發到河邊（如下圖MN）去飲馬，然后再回到駐地B. 問怎樣選擇飲馬地點P，才能使路程最短？

【點撥】 分別作點A、B關于OM、ON的對稱點A1、B1，連接A1B1，分別交OM、ON于點C、D，即得點C、D就是所求的兩點.

利用“軸對稱”解決最短路徑問題的關鍵是根據軸對稱的性質，將不在一條直線的線段轉化到同一條直線上，然后用“兩點之間，線段最短”來解決. 解決這類問題，還需要認真審題，不僅要注意圖形，而且要重視問題的要求，才能夠有效地解決此類問題.

（作者單位：江蘇省無錫市天一實驗學校）