利用軸對稱解決問題

金楊建

數學來源于生活，生活中充滿了數學. 實際生活中有許多棘手的問題能根據軸對稱中的知識輕松解釋或解決.

1. 丁俊暉如何打這個球

在臺球比賽中，經常會出現一些無法直接擊打的球，這就需要比賽選手根據軸對稱知識，選擇合適的角度，通過反彈的方式，間接擊球.

例1 在一場臺球比賽中出現了如圖1的情形，需要通過擊打P球去撞擊Q球. 但由于P、Q兩球之間被其他球阻擋，無法直接擊打P球撞擊Q球. 如果你是“小丁俊暉”，你會如何擊球呢？請求出一種擊球方式.

【分析】 不妨使球P撞擊邊AD反彈，再撞擊球Q. 這時，必須使球P的入射角等于反射角，顯然，作點P關于AD的對稱點P′（如圖2），連接P′Q，P′Q與AD相交于點E，容易得到∠PED=∠DEP′=∠AEQ. 所以擊打P球，撞擊AD邊上的點E即可.

解：作點P關于AD的對稱點P′，連接P′Q交AD于點E. 則擊打P球，撞擊AD邊上的點E即可.

2. 鏡子中的軸對稱

人們經常會從鏡子中看到一些數字，但從鏡子看到的數字并不一定是真實的數字. 此時，便需要根據軸對稱中的相關知識進行轉化.

例2 （1）小明從墻上的鏡子里看到對面電子鐘的時間如圖3所示，則電子鐘上實際顯示的時間是_________；

（2）小華從平放在地面的鏡子里看到掛在墻上的電子鐘時間也是如圖3所示，則電子鐘上實際顯示的時間是_________.

【分析】 從鏡子中看到的數字與實際中的數字是成軸對稱的. 確定實際數字的關鍵是確定對稱軸的位置. 小明看到的鏡子和電子鐘是相互平行的，因此，對稱軸應是豎直的一條直線（|）. 故小明看到的電子鐘實際時間為10：51. 小華看到的鏡子和電子鐘是相互垂直的. 因此，對稱軸是水平的一條直線（—）. 故小華看到的電子鐘實際時間為15：01.

解：（1） 10：51；（2） 15：01.

3. 選址中的軸對稱

在現實生活中，經常需要建一些加油站、水泵站或工廠等建筑，使之滿足一定的條件，從而能合理利用資源，避免浪費. 在選擇合適地址時往往需要利用軸對稱中的相關知識進行合理規劃.

例3 如圖4，要在河道l上修建一座水泵站P，分別向A、B兩地供水，問：水泵站建在河道的什么地方，可使所用的輸水管線最短？

【分析】 我們可以把河道近似地看成一條直線l，問題就是要在直線l上找一點P，使AP與BP的和最小. 如圖5，若點A′是點A關于l的對稱點，本題就是要使A′P與PB的和最小. 顯然當A′、P、A三點在同一直線上時，A′P與PB的和最小. 因此，線段A′B與直線l的交點P的位置即為所求.

解：作點A關于l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則點P即為所求.

例4 如圖6，兩條國道OA、OB在我市交匯于點O，在∠AOB的內部C、D處各有一個工廠. 現要修建一個貨站P，使貨站P到兩條國道OA、OB的距離相等，到C廠、D廠的距離也相等，請在圖中畫出貨站P的位置. （要求：用圓規直尺作圖，保留作圖痕跡，不寫已知、求作和作法）

【分析】 根據貨站P到兩條國道OA、OB的距離相等，可知貨站P在∠AOB的角平分線上；根據貨站P到C廠、D廠的距離也相等，可知貨站P在線段CD的垂直平分線上. 因此，分別作出∠AOB的平分線以及CD的垂直平分線，交點即是P點的位置.

解：如圖7，點P即為所求.

（作者單位：江蘇省無錫市天一實驗學校）