運用軸對稱進行化歸，解決幾何最值問題

韓江

未知問題可化歸為已知問題，復雜問題可化歸為簡單問題. 化歸是一種非常重要的數學思想方法，只要掌握了化歸的方法，一切問題都將迎刃而解. 本文以軸對稱變換為例，與同學們談談用化歸思想解決幾何最值問題.

一、 兩個數學基本事實

兩點之間的所有連線中，線段最短. 如圖1，線段AB最短. 把這個數學事實稱為“模型1”，簡稱“模1”.

在直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短. 如圖2，垂線段PH最短. 把這個數學事實稱為“模型2”，簡稱“模2”.

很多幾何最值問題，都可以通過化歸的方法與這兩個數學模型聯系起來. 最經典的莫過于“將軍飲馬問題”.

唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題. 如圖3，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河邊飲馬后再到B點宿營. 請問怎樣走才能使總路程最短？

【解析】 如圖4，作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，連接PA、PB，此時PA+PB最短. 數學原理：點A、B是定點，點P是動點，點A的對稱點A′仍是定點，根據軸對稱性質得PA=PA′，從而PA+PB=PA′+PB，問題就化歸為“模1”，所以圖4中A-P-B為最短路徑，如果點P取在其他位置，都將違背“兩點之間，線段最短”.

把“將軍飲馬問題”稱為“模型3”，簡稱“模3”. “模3”的特點是有兩個定點、一個動點，兩個定點在動點所在直線的同一側.

二、 具體應用

1. 單動點最值問題

例1 如圖5，正方形ABCD的邊長是1，以AB為一邊作等邊△ABE，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為______.

本題是一個較復雜的問題，它是“模1”與“模3”相結合的一個典型，熟知這兩種模型，通過化歸的方法，得到了一個解決此問題的好方法.

三、 基本策略

運用軸對稱進行化歸，解決幾何最值問題，基本策略是先找到一個定點（如果沒有，可找一個合適的動點），再作此點的對稱點，從而將某些線段通過軸對稱進行位置變換，通常都可以將問題化歸為文中的3種模型.

同學們，初中數學的幾何最值問題還有很多類型，比如還可以通過其他圖形的變換進行化歸，或者還可以用函數的方法解決，限于篇幅，本文不作贅述. 化歸的方法和策略也有很多，希望通過本文能夠拋磚引玉，引導你們歸納有用的數學模型，通過體悟，能夠將陌生的數學問題化歸為已知的數學問題. 只要掌握了化歸的方法，你就找到了解決問題的鑰匙.

（作者單位：江蘇省無錫市天一實驗學校）