基于高中數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模式的數(shù)學(xué)錯題分析

黃永權(quán)

摘 要：運用數(shù)學(xué)問題解決的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論對數(shù)學(xué)錯題進(jìn)行分析并得出了相關(guān)結(jié)論，提出了對高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)方法的建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；錯題；教學(xué)

一、問題解決的認(rèn)知模式概述

問題解決的認(rèn)知模式是從人的認(rèn)知層面去探索解決問題的本質(zhì)。該研究已經(jīng)取得了很大的成果，在世界上比較有代表性的理論有：（1）奧蘇伯爾和魯賓遜問題解決模式：呈現(xiàn)問題情境命題—明確問題的目標(biāo)和已知條件—填補(bǔ)空隙—解題后的檢驗。（2）格拉斯的問題解決模式：形成初始表征—制訂解決計劃—重構(gòu)表征—執(zhí)行計劃或檢驗結(jié)果。（3）基克等人提出的問題解決四個階段：理解與表征問題—尋求解答—嘗試應(yīng)答—評價。國內(nèi)很多學(xué)者亦對此問題進(jìn)行了理論研究與探索，如胥興春、劉電芝將問題解決的過程動態(tài)劃分為四個環(huán)節(jié)：信息感知—情景表征—尋求解題方案—數(shù)學(xué)運算。在上述相關(guān)理論的指導(dǎo)下，我們以高中的數(shù)學(xué)問題尤其是錯題為材料，調(diào)查了中學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題過程中的認(rèn)知模式問題。

二、我們對錯題調(diào)查的研究及結(jié)果分析

我們在研究中，以高二數(shù)學(xué)題錯題作為實驗材料，并且在研究中發(fā)放了調(diào)查問卷150份，收回148份，剔除6份無效調(diào)查問卷后，有效調(diào)查問卷為142份。在調(diào)查問卷結(jié)束后，我們又運用了個案的訪談法對單個學(xué)生的解題思路進(jìn)行了更加明確的掌握。

綜合學(xué)生錯題、調(diào)查問卷以及對學(xué)生的訪談，根據(jù)學(xué)生解決問題進(jìn)程中表征層次的不同和策略選取的差異，我們分析出了三種存在于學(xué)生中的解決問題的認(rèn)知模式：（1）盲目式模式，指解題學(xué)生對問題解決所應(yīng)當(dāng)運用的基礎(chǔ)知識掌握不全面、不系統(tǒng)，導(dǎo)致解題思路不清晰，往往在多步之間來回?fù)u擺、捉摸不定，找不到正確的解題步驟與策略，從而導(dǎo)致失敗。（2）產(chǎn)生式模式，這種方式指的是，在解題過程中學(xué)生多使用分析遞歸策略或探索策略來解答問題，但由于題目的復(fù)雜性，這種表征過程往往不會一次有效，解決問題的學(xué)生需要不斷地提取問題中的有效信息，并運用自身的相關(guān)知識經(jīng)驗完成對問題的表征。因此，表征過程往往是循序漸進(jìn)、層層遞進(jìn)式。（3）范疇式模式，這種模式是指問題表征進(jìn)程是分布式或跳躍式的。解決問題的學(xué)生能夠快速、有效地整合提取題目的關(guān)鍵信息，進(jìn)而產(chǎn)生頓悟和啟發(fā)，并靈活地運用自己掌握的知識解決問題，這種表征過程從初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)之間完全沒有循環(huán)往復(fù)的過程。這種表征依賴于陳述性知識的結(jié)構(gòu)化程度高，稱為范疇式認(rèn)知模式。

三、對調(diào)查結(jié)果的分析

1.問題解決認(rèn)知模式分布不均。為了比較不同的認(rèn)知模式在學(xué)生中的適用情況，我們將全部調(diào)查對象使用的認(rèn)知模式做了統(tǒng)計分析。結(jié)果顯示，僅有極少部分學(xué)生能使用范疇式認(rèn)知模式解題，大部分學(xué)生采用的是產(chǎn)生式的解題模式，更有極少數(shù)的學(xué)生是采用盲目式的解題方式。造成這種現(xiàn)象的原因是什么呢？主要是因為認(rèn)知模式是受主體的知識背景、思維水平及方式和認(rèn)知結(jié)構(gòu)中掌握的問題模板等多方面影響。大多數(shù)學(xué)生采用產(chǎn)生式認(rèn)知模式解決問題，首先說明了大多數(shù)學(xué)生在解題過程中往往喜歡按部就班、穩(wěn)妥地解決問題，多采用常規(guī)的思維方式，循序漸進(jìn)，實質(zhì)上，其思維方式是根據(jù)所求一步一步進(jìn)行逆推，解題步驟表現(xiàn)為“要解決問題，需要具備什么條件”的模式或“要求……需求……”的模式，因此運用的是和線性的循序漸進(jìn)式的信息表征方式或分析遞歸策略。其次，說明了大多數(shù)學(xué)生腦海中儲存的數(shù)學(xué)解題圖式模板較少。因為學(xué)生掌握的模板深刻地影響著學(xué)生問題表征的方式與水平，進(jìn)而影響策略的選擇和運用。這種解題圖式模板主要包括學(xué)生已經(jīng)掌握的與將解決題目相關(guān)的知識基礎(chǔ)、解題經(jīng)驗與解題策略。學(xué)生原有解決問題的策略會影響到新問題的表征。在教學(xué)過程中，大部分教師沒有養(yǎng)成一個抽象概括典型例題的教學(xué)習(xí)慣與方式，僅僅采用常規(guī)的方式教授學(xué)生。久而久之，只有那種概括分析能力強(qiáng)、思維水平高、善于把握知識原理的學(xué)生才能靈活地運用范疇式的認(rèn)知模式解決問題。而大部分學(xué)生受教師傳統(tǒng)教授思維方式的影響，僅能按部就班地使用產(chǎn)生式認(rèn)知模式解決問題。更有極少數(shù)不認(rèn)真學(xué)習(xí)或領(lǐng)悟能力比較差的學(xué)生由于對基本概念與原理掌握不夠扎實，導(dǎo)致僅能使用盲目式的認(rèn)知模式解題。

2.解題成績與認(rèn)知模式顯著相關(guān)。認(rèn)知模式與解題成績等級呈顯著相關(guān)。采用范疇式認(rèn)知模式解題的學(xué)生因為他們腦海中已經(jīng)形成了良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并掌握了扎實穩(wěn)定的知識結(jié)構(gòu)，對問題的有效信息能夠快速靈活地進(jìn)行整合與組織，因此表征一般快速而且科學(xué)，其次，因為這部分學(xué)生掌握的問題圖式模板亦比較豐富，所以他們在解題過程中可以很快地進(jìn)行模式匹配解決問題，所以錯題較少，成績較好。相反，如果學(xué)生對所學(xué)的知識掌握不夠全面，沒有形成自己穩(wěn)定的知識結(jié)構(gòu)和豐富的知識內(nèi)容并且對問題圖式模板掌握比較少，他不能有效地提取問題信息，不能將問題中的信息與自身所學(xué)有效的結(jié)合，從而表現(xiàn)出表征的混亂，導(dǎo)致解題策略的盲目選擇，解題過程的來回反復(fù)，以至于無法順利地解決問題。

四、本研究對高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)的啟發(fā)

1.加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念和原理的教學(xué)。首先，概念和原理是學(xué)生解題的基礎(chǔ)，正所謂“萬變不離其宗”。其次，概念和原理的掌握程度深刻地影響著學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，從而影響學(xué)生問題表征的進(jìn)度和深度。因此，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中應(yīng)注意學(xué)生基礎(chǔ)的夯實，加強(qiáng)其基本概念和原理的教育。

2.注重審題方式的教學(xué)。當(dāng)前，很多學(xué)生在解題過程中不知如何審題，不能識別和提取題目中的關(guān)鍵信息，不能把問題上升到理論和原理的層面，導(dǎo)致解題錯誤。所以，高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)中一定要注意教學(xué)生如何審題，如何整合提取題目中的關(guān)鍵信息，如何運用原理進(jìn)行解答。

3.正確處理三類學(xué)生數(shù)學(xué)水平的差異。三類學(xué)生之所以在問題表征、模式識別都存在差異性，很大一部分的原因在于其掌握的數(shù)學(xué)知識的程度，因此教師需要因材施教。首先，教師需要幫助學(xué)生適時地復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，同時恰當(dāng)?shù)匾胝n外知識，擴(kuò)展數(shù)學(xué)知識背景，使學(xué)生開闊眼界。其次，要適時逐步地提升中等生作業(yè)題目的難度和靈活性。中等生對基礎(chǔ)知識的掌握是準(zhǔn)確的，但他們的思維水平不如優(yōu)生深刻、靈活，知識網(wǎng)絡(luò)不如優(yōu)生完整。因此，通過適時地提升作業(yè)題目的靈活性，可以使他們在解決問題的過程中，不斷提升對某些知識、方法的理解，促進(jìn)知識網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化。第三，幫助后進(jìn)生準(zhǔn)確地理解基本概念、基本原理，增強(qiáng)對某些固定解題方法的應(yīng)用練習(xí)。采用盲目式認(rèn)知模式的學(xué)生對基本概念、基本原理的理解不夠深刻，從而導(dǎo)致他們在長時記憶中的知識網(wǎng)絡(luò)過于簡單、模式質(zhì)量存在不足，從而不能準(zhǔn)確、順利地進(jìn)行問題表征和模式識別。所以教師應(yīng)該幫助后進(jìn)生準(zhǔn)確地理解基本概念、基本原理，加強(qiáng)對某些解題方法的練習(xí)，不斷地縮小與中等生的差距。

這篇文章運用心理學(xué)等相關(guān)知識，結(jié)合自身的調(diào)查研究，通過對高中數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知模式的分析，提出了自己對高中數(shù)學(xué)教育方法的幾點思考，希望能對高中數(shù)學(xué)教師產(chǎn)生一些啟發(fā)。

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