淺談反例在初中數學教學中的作用

摘 要：恰當的反例從另一個角度讓學生理解數學的本質，能加深學生對數學知識的理解，從而培養學生思維的縝密性、靈活性、發散性和創新性。

關鍵詞：反例；知識；命題

一、質疑中能有效掌握知識

從數學學習的特點看，教師所教的與學生所學的數學知識是前人已經創造出來的知識，在這個創造過程中充滿了質疑、判斷、分析，教學的過程一定意義上是這些過程的再現。通過針對性的質疑去引發學生的“觀念沖突”，幫助學生將正確的觀念和錯誤的觀念進行比較，促其作出自覺的“選擇”，而培養質疑就要適當地使用反例，更重要的是要善于引導學生構建反例。

例1.在講授“無理數”這個概念時，我設計了這樣一個思考題：

兩個無理數的和是否一定為無理數？

這些反例的共同特征是：互為相反數的兩無理數和為有理數。在此問題的基礎上，我進一步追問：兩個無理數的積是否一定為無理數？一個無理數與一個有理數的和或積是否一定是無理數？通過對這些問題做更多更深入的研究，不僅可以培養學生思維的發散性，還可以加深對有理數、無理數概念的理解，弄清有理數和無理數之間的關系。

二、預防學生易犯的錯誤

在學生學習過程中，正面看，有些錯誤很難被發現，但通過構造反例能讓學生辨析錯誤，發現問題，矯正學生的認知偏差。

例2.判斷下列數學命題的真假，并給出證明：有一條邊和兩個角相等的兩個三角形全等。

學生先獨立思考，然后師生共同完成。

分析：由于上述內容和教材中的定理不一致，大部分學生想了想回答說：“不一定”，這時我問道：“你能舉出一個反例來說明嗎？”即讓學生用反例來說明命題“有一條邊和兩個角相等的兩個三角形全等”是錯誤的。在學生討論時，我提示：“可以畫出圖形來說明。”此時課堂氣氛活躍，學生個個情緒高漲、躍躍欲試，都在畫圖嘗試。最后，全班一起總結、交流，歸納出反例，列舉如下（其中一種）：

如下圖，△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠A′=75°，∠B=∠C′=45°，AB=A′B′=2.5 cm

但很明顯，△ABC和△A′B′C′不全等，所以此命題為假命題。我的設計意圖是通過例題的板書格式，讓學生明確幾何學中的假命題該怎么舉，要注意什么問題，強調畫圖的必要性和文字的表達。并讓學生知道如果要證明或判斷一個命題是假命題，那么我們只要舉出一個符合題設而不符合結論的例子就可以了。涉及數的問題舉出一些特殊值，一些幾何問題可以構造出適當幾何圖形，構造的圖形也是解題的步驟，需要輔助幾何表述，才能成為解題過程。

通過上述反例教學，學生清楚地認識到：在運用這一判定方法時，必須是“兩角和這一角的一對邊（SAA）”，而不是“兩角和另一角的一對邊（AAS）”。并知道了由上述反例可以說明命題“有一條邊和兩個角相等的兩個三角形全等”是錯誤的命題。這樣的反例，使學生印象深刻，有利于學生牢固掌握知識點。

三、提高思維的創新性

反例教學，對打破思維定式，彌補思維缺失起著獨特的作用。反例的構造并不容易，沒有統一的方法，有時比證明難，更需要大膽的質疑能力、豐富的聯想力、敏銳的觀察力和綜合判斷能力，是聚合思維與發散思維、縱向思維與橫向思維的有機結合。

例3.如右圖，已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O。現給出四個條件：①AC⊥BD；②AC平分對角線BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA。請你以其中的三個條件作為命題的題設，以“四邊形ABCD是菱形”作為命題的結論寫出一個假命題，并舉出一個反例說明。

假命題1：已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O。若AC⊥BD，AC平分對角線BD，∠OAD=∠ODA，則四邊形ABCD是菱形。

反例：構造等腰Rt△ABD，∠A=90°，以BD為一邊，作等邊三角形BCD（兩個三角形拼成四邊形），連結AC、BD交于點O。則AC⊥BD，AC平分對角線BD，∠OAD=∠ODA（符合所有條件），但四邊形ABCD顯然不是菱形。

假命題2：已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，若AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，則四邊形ABCD是菱形。

反例：作等腰直角三角形AOD，∠AOD=90°。延長DO至B，AO至C，取OB=OC（OB≠OD）。連結AB、BC、CD，則AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA。則四邊形ABCD是等腰梯形，不是菱形。

構造反例的目的是要否定結論，因此反例的尋求必然能促使學生聚焦結論，執果索因，逆流而上，追本溯源。這需要正向思維與逆向思維的交替碰撞，才能擦出智慧的火花。反例常常是不唯一的，這給學生提供了獨立思考的絕佳機會，因此構造反例是極具個性化的、帶有鮮明個人色彩的、創造性的思維活動。

四、激發學生積極情感

“教不越位，學要到位。”課堂上要給學生營造好環境，讓學生感受知識的形成過程，在學生的“疑”處“啟”、“惑”時“導”，搭建好支架，讓學生“自娛自樂”，大大提升學生的參與熱情，這才是真正意義上的學習。

數學反例是數學課堂教學中的一個調節器。在數學教學中，適時地引進一些反例或適當地引導學生構建反例，往往能使學生在認識上產生質的飛躍，培養他們思維的縝密性、靈活性、發散性、深刻性、創新性和全面性。因此，教師在教學過程中應合理地運用反例，適當地構造反例，提高教學效果。

參考文獻：

[1]覃蓮秋.在數學教學中巧用反例[J].中國科教創新導刊，2011（9）.

[2]鄭輝龍.數苑奇葩話反例[J].中學數學教學參考，2010（1/2）.

[3]韓永華.一個假命題的反例及其構造[J].中學數學教學參考，2010（1/2）.

作者簡介：王旭輝，男，1971年11月出生，本科，就職學校：福建省廈門市海滄區東孚學校，研究方向：初中數學教學與研究。endprint

摘 要：恰當的反例從另一個角度讓學生理解數學的本質，能加深學生對數學知識的理解，從而培養學生思維的縝密性、靈活性、發散性和創新性。

關鍵詞：反例；知識；命題

一、質疑中能有效掌握知識

從數學學習的特點看，教師所教的與學生所學的數學知識是前人已經創造出來的知識，在這個創造過程中充滿了質疑、判斷、分析，教學的過程一定意義上是這些過程的再現。通過針對性的質疑去引發學生的“觀念沖突”，幫助學生將正確的觀念和錯誤的觀念進行比較，促其作出自覺的“選擇”，而培養質疑就要適當地使用反例，更重要的是要善于引導學生構建反例。

例1.在講授“無理數”這個概念時，我設計了這樣一個思考題：

兩個無理數的和是否一定為無理數？

這些反例的共同特征是：互為相反數的兩無理數和為有理數。在此問題的基礎上，我進一步追問：兩個無理數的積是否一定為無理數？一個無理數與一個有理數的和或積是否一定是無理數？通過對這些問題做更多更深入的研究，不僅可以培養學生思維的發散性，還可以加深對有理數、無理數概念的理解，弄清有理數和無理數之間的關系。

二、預防學生易犯的錯誤

在學生學習過程中，正面看，有些錯誤很難被發現，但通過構造反例能讓學生辨析錯誤，發現問題，矯正學生的認知偏差。

例2.判斷下列數學命題的真假，并給出證明：有一條邊和兩個角相等的兩個三角形全等。

學生先獨立思考，然后師生共同完成。

分析：由于上述內容和教材中的定理不一致，大部分學生想了想回答說：“不一定”，這時我問道：“你能舉出一個反例來說明嗎？”即讓學生用反例來說明命題“有一條邊和兩個角相等的兩個三角形全等”是錯誤的。在學生討論時，我提示：“可以畫出圖形來說明。”此時課堂氣氛活躍，學生個個情緒高漲、躍躍欲試，都在畫圖嘗試。最后，全班一起總結、交流，歸納出反例，列舉如下（其中一種）：

如下圖，△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠A′=75°，∠B=∠C′=45°，AB=A′B′=2.5 cm

但很明顯，△ABC和△A′B′C′不全等，所以此命題為假命題。我的設計意圖是通過例題的板書格式，讓學生明確幾何學中的假命題該怎么舉，要注意什么問題，強調畫圖的必要性和文字的表達。并讓學生知道如果要證明或判斷一個命題是假命題，那么我們只要舉出一個符合題設而不符合結論的例子就可以了。涉及數的問題舉出一些特殊值，一些幾何問題可以構造出適當幾何圖形，構造的圖形也是解題的步驟，需要輔助幾何表述，才能成為解題過程。

通過上述反例教學，學生清楚地認識到：在運用這一判定方法時，必須是“兩角和這一角的一對邊（SAA）”，而不是“兩角和另一角的一對邊（AAS）”。并知道了由上述反例可以說明命題“有一條邊和兩個角相等的兩個三角形全等”是錯誤的命題。這樣的反例，使學生印象深刻，有利于學生牢固掌握知識點。

三、提高思維的創新性

反例教學，對打破思維定式，彌補思維缺失起著獨特的作用。反例的構造并不容易，沒有統一的方法，有時比證明難，更需要大膽的質疑能力、豐富的聯想力、敏銳的觀察力和綜合判斷能力，是聚合思維與發散思維、縱向思維與橫向思維的有機結合。

例3.如右圖，已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O。現給出四個條件：①AC⊥BD；②AC平分對角線BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA。請你以其中的三個條件作為命題的題設，以“四邊形ABCD是菱形”作為命題的結論寫出一個假命題，并舉出一個反例說明。

假命題1：已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O。若AC⊥BD，AC平分對角線BD，∠OAD=∠ODA，則四邊形ABCD是菱形。

反例：構造等腰Rt△ABD，∠A=90°，以BD為一邊，作等邊三角形BCD（兩個三角形拼成四邊形），連結AC、BD交于點O。則AC⊥BD，AC平分對角線BD，∠OAD=∠ODA（符合所有條件），但四邊形ABCD顯然不是菱形。

假命題2：已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，若AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，則四邊形ABCD是菱形。

反例：作等腰直角三角形AOD，∠AOD=90°。延長DO至B，AO至C，取OB=OC（OB≠OD）。連結AB、BC、CD，則AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA。則四邊形ABCD是等腰梯形，不是菱形。

構造反例的目的是要否定結論，因此反例的尋求必然能促使學生聚焦結論，執果索因，逆流而上，追本溯源。這需要正向思維與逆向思維的交替碰撞，才能擦出智慧的火花。反例常常是不唯一的，這給學生提供了獨立思考的絕佳機會，因此構造反例是極具個性化的、帶有鮮明個人色彩的、創造性的思維活動。

四、激發學生積極情感

“教不越位，學要到位。”課堂上要給學生營造好環境，讓學生感受知識的形成過程，在學生的“疑”處“啟”、“惑”時“導”，搭建好支架，讓學生“自娛自樂”，大大提升學生的參與熱情，這才是真正意義上的學習。

數學反例是數學課堂教學中的一個調節器。在數學教學中，適時地引進一些反例或適當地引導學生構建反例，往往能使學生在認識上產生質的飛躍，培養他們思維的縝密性、靈活性、發散性、深刻性、創新性和全面性。因此，教師在教學過程中應合理地運用反例，適當地構造反例，提高教學效果。

參考文獻：

[1]覃蓮秋.在數學教學中巧用反例[J].中國科教創新導刊，2011（9）.

[2]鄭輝龍.數苑奇葩話反例[J].中學數學教學參考，2010（1/2）.

[3]韓永華.一個假命題的反例及其構造[J].中學數學教學參考，2010（1/2）.

作者簡介：王旭輝，男，1971年11月出生，本科，就職學校：福建省廈門市海滄區東孚學校，研究方向：初中數學教學與研究。endprint

摘 要：恰當的反例從另一個角度讓學生理解數學的本質，能加深學生對數學知識的理解，從而培養學生思維的縝密性、靈活性、發散性和創新性。

關鍵詞：反例；知識；命題

一、質疑中能有效掌握知識

從數學學習的特點看，教師所教的與學生所學的數學知識是前人已經創造出來的知識，在這個創造過程中充滿了質疑、判斷、分析，教學的過程一定意義上是這些過程的再現。通過針對性的質疑去引發學生的“觀念沖突”，幫助學生將正確的觀念和錯誤的觀念進行比較，促其作出自覺的“選擇”，而培養質疑就要適當地使用反例，更重要的是要善于引導學生構建反例。

例1.在講授“無理數”這個概念時，我設計了這樣一個思考題：

兩個無理數的和是否一定為無理數？

這些反例的共同特征是：互為相反數的兩無理數和為有理數。在此問題的基礎上，我進一步追問：兩個無理數的積是否一定為無理數？一個無理數與一個有理數的和或積是否一定是無理數？通過對這些問題做更多更深入的研究，不僅可以培養學生思維的發散性，還可以加深對有理數、無理數概念的理解，弄清有理數和無理數之間的關系。

二、預防學生易犯的錯誤

在學生學習過程中，正面看，有些錯誤很難被發現，但通過構造反例能讓學生辨析錯誤，發現問題，矯正學生的認知偏差。

例2.判斷下列數學命題的真假，并給出證明：有一條邊和兩個角相等的兩個三角形全等。

學生先獨立思考，然后師生共同完成。

分析：由于上述內容和教材中的定理不一致，大部分學生想了想回答說：“不一定”，這時我問道：“你能舉出一個反例來說明嗎？”即讓學生用反例來說明命題“有一條邊和兩個角相等的兩個三角形全等”是錯誤的。在學生討論時，我提示：“可以畫出圖形來說明。”此時課堂氣氛活躍，學生個個情緒高漲、躍躍欲試，都在畫圖嘗試。最后，全班一起總結、交流，歸納出反例，列舉如下（其中一種）：

如下圖，△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠A′=75°，∠B=∠C′=45°，AB=A′B′=2.5 cm

但很明顯，△ABC和△A′B′C′不全等，所以此命題為假命題。我的設計意圖是通過例題的板書格式，讓學生明確幾何學中的假命題該怎么舉，要注意什么問題，強調畫圖的必要性和文字的表達。并讓學生知道如果要證明或判斷一個命題是假命題，那么我們只要舉出一個符合題設而不符合結論的例子就可以了。涉及數的問題舉出一些特殊值，一些幾何問題可以構造出適當幾何圖形，構造的圖形也是解題的步驟，需要輔助幾何表述，才能成為解題過程。

通過上述反例教學，學生清楚地認識到：在運用這一判定方法時，必須是“兩角和這一角的一對邊（SAA）”，而不是“兩角和另一角的一對邊（AAS）”。并知道了由上述反例可以說明命題“有一條邊和兩個角相等的兩個三角形全等”是錯誤的命題。這樣的反例，使學生印象深刻，有利于學生牢固掌握知識點。

三、提高思維的創新性

反例教學，對打破思維定式，彌補思維缺失起著獨特的作用。反例的構造并不容易，沒有統一的方法，有時比證明難，更需要大膽的質疑能力、豐富的聯想力、敏銳的觀察力和綜合判斷能力，是聚合思維與發散思維、縱向思維與橫向思維的有機結合。

例3.如右圖，已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O。現給出四個條件：①AC⊥BD；②AC平分對角線BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA。請你以其中的三個條件作為命題的題設，以“四邊形ABCD是菱形”作為命題的結論寫出一個假命題，并舉出一個反例說明。

假命題1：已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O。若AC⊥BD，AC平分對角線BD，∠OAD=∠ODA，則四邊形ABCD是菱形。

反例：構造等腰Rt△ABD，∠A=90°，以BD為一邊，作等邊三角形BCD（兩個三角形拼成四邊形），連結AC、BD交于點O。則AC⊥BD，AC平分對角線BD，∠OAD=∠ODA（符合所有條件），但四邊形ABCD顯然不是菱形。

假命題2：已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，若AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，則四邊形ABCD是菱形。

反例：作等腰直角三角形AOD，∠AOD=90°。延長DO至B，AO至C，取OB=OC（OB≠OD）。連結AB、BC、CD，則AC⊥BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA。則四邊形ABCD是等腰梯形，不是菱形。

構造反例的目的是要否定結論，因此反例的尋求必然能促使學生聚焦結論，執果索因，逆流而上，追本溯源。這需要正向思維與逆向思維的交替碰撞，才能擦出智慧的火花。反例常常是不唯一的，這給學生提供了獨立思考的絕佳機會，因此構造反例是極具個性化的、帶有鮮明個人色彩的、創造性的思維活動。

四、激發學生積極情感

“教不越位，學要到位。”課堂上要給學生營造好環境，讓學生感受知識的形成過程，在學生的“疑”處“啟”、“惑”時“導”，搭建好支架，讓學生“自娛自樂”，大大提升學生的參與熱情，這才是真正意義上的學習。

數學反例是數學課堂教學中的一個調節器。在數學教學中，適時地引進一些反例或適當地引導學生構建反例，往往能使學生在認識上產生質的飛躍，培養他們思維的縝密性、靈活性、發散性、深刻性、創新性和全面性。因此，教師在教學過程中應合理地運用反例，適當地構造反例，提高教學效果。

參考文獻：

[1]覃蓮秋.在數學教學中巧用反例[J].中國科教創新導刊，2011（9）.

[2]鄭輝龍.數苑奇葩話反例[J].中學數學教學參考，2010（1/2）.

[3]韓永華.一個假命題的反例及其構造[J].中學數學教學參考，2010（1/2）.

作者簡介：王旭輝，男，1971年11月出生，本科，就職學校：福建省廈門市海滄區東孚學校，研究方向：初中數學教學與研究。endprint