數學課堂問題導學要抓住學生新知的生長點

張素芳

數學學習是在學生已有數學知識、經驗基礎上主動積極的有意義學習過程，數學問題情境的創設作為敲門磚必須使新知識與學生頭腦中已有的知識經驗建立自然的、內在的實質性聯系，才能擲地有聲，為情境而情境，未與數學內容建立內在聯系，只是牽強附會。本文以高中數學教學難點之一《兩角和與差的余弦公式》為例與各位同仁交流。

【教學目標】

理解用向量方法推導兩角差的余弦公式，并能夠初步運用，在兩角差余弦公式的推導過程中，進一步體會向量方法的作用，體會分類討論的思想、聯系與化歸思想的運用，感悟事物之間普遍聯系和轉化的關系。

【教學重點】

兩角差的余弦公式的推導與運用。

教學環節

一、復習鞏固

1.平面向量的數量積是怎樣定義的？坐標表示是怎樣的？

2.單位圓上點坐標表示是怎樣的？

【設計意圖】為聯系向量的數量積去探索公式做鋪墊。

二、學習指導

怎樣聯系向量的數量積去猜想公式？

師生互動探究1：不用計算器，如何求出cos15°的值？

引導學生進行角的拆分，啟發學生聯想向量的夾角，通過構造向量尋求解決辦法。發現cos（60°-45°）=cos60°cos45°-sin60°sin45° 三、自學互學

怎樣聯系向量的數量積去探索公式？

小組合作探究2：由探究1你得到了什么啟示？你能由此猜想并推導cos（α-β）與sinα，cosα，sinβ，cosβ的關系嗎？

四、效果展示

教師根據學生的爭論加以點撥：

教師提問引導學生思考：

1.設角，β的終邊與單位圓的交點分別為A、B，則A、B的坐標？

【設計意圖】教師通過提問引發學生思考，并讓學生分組活動，相互討論，合作學習，運用從特殊到一般、數形結合等數學思想將問題層層深入，最后達到推導的完備，從而讓學生體驗探究的過程，鍛煉學生的思維品質。

設計意圖：引導學生關注兩個向量的夾角θ與α-β的聯系與區別，并通過觀察和討論搞清楚α-β=2kπ±θ，增強學生用數形結合、分類討論的方法解決問題的意識，感受數學思維的嚴謹性。

五、自主學習

認識公式，深化理解。

提問：（1）細心觀察公式的結構，它有哪些特征？

（2）公式中α，β的角的取值范圍如何？

學生觀察與思考得出：①公式中兩邊的符號正好相反（一負一正）；②公式右邊同名三角函數乘積的和；③公式中α、β是任意的；④公式的逆用也要注意。

【設計意圖】讓學生學會認識公式，掌握公式的結構和特點，深化理解公式實質，為靈活運用公式奠定基礎。

【課后反思】

本次教學設計時，注重考慮學生，學習今天的數學知識時，學生已有的知識、經驗有哪些？教學時重在激活學生頭腦中與新知識有實質性聯系的經驗和知識，通過新舊知識之間的相互作用，啟發學生從原有知識經驗中自然生長出新的知識和經驗——使學生產生內在的學習需求。課堂問題導學抓住了學生新知的生長點，使學生的思維自然地插上了騰飛的翅膀，體會到了一位教師的智慧和深刻，在于他善于攪動學生思維的漣漪，把課堂的溫度建立在學生思維的深度上（思維的含量、層次、思維的強度）。

數學學習是在學生已有數學知識、經驗基礎上主動積極的有意義學習過程，數學問題情境的創設作為敲門磚必須使新知識與學生頭腦中已有的知識經驗建立自然的、內在的實質性聯系，才能擲地有聲，為情境而情境，未與數學內容建立內在聯系，只是牽強附會。本文以高中數學教學難點之一《兩角和與差的余弦公式》為例與各位同仁交流。

【教學目標】

理解用向量方法推導兩角差的余弦公式，并能夠初步運用，在兩角差余弦公式的推導過程中，進一步體會向量方法的作用，體會分類討論的思想、聯系與化歸思想的運用，感悟事物之間普遍聯系和轉化的關系。

【教學重點】

兩角差的余弦公式的推導與運用。

教學環節

一、復習鞏固

1.平面向量的數量積是怎樣定義的？坐標表示是怎樣的？

2.單位圓上點坐標表示是怎樣的？

【設計意圖】為聯系向量的數量積去探索公式做鋪墊。

二、學習指導

怎樣聯系向量的數量積去猜想公式？

師生互動探究1：不用計算器，如何求出cos15°的值？

引導學生進行角的拆分，啟發學生聯想向量的夾角，通過構造向量尋求解決辦法。發現cos（60°-45°）=cos60°cos45°-sin60°sin45° 三、自學互學

怎樣聯系向量的數量積去探索公式？

小組合作探究2：由探究1你得到了什么啟示？你能由此猜想并推導cos（α-β）與sinα，cosα，sinβ，cosβ的關系嗎？

四、效果展示

教師根據學生的爭論加以點撥：

教師提問引導學生思考：

1.設角，β的終邊與單位圓的交點分別為A、B，則A、B的坐標？

【設計意圖】教師通過提問引發學生思考，并讓學生分組活動，相互討論，合作學習，運用從特殊到一般、數形結合等數學思想將問題層層深入，最后達到推導的完備，從而讓學生體驗探究的過程，鍛煉學生的思維品質。

設計意圖：引導學生關注兩個向量的夾角θ與α-β的聯系與區別，并通過觀察和討論搞清楚α-β=2kπ±θ，增強學生用數形結合、分類討論的方法解決問題的意識，感受數學思維的嚴謹性。

五、自主學習

認識公式，深化理解。

提問：（1）細心觀察公式的結構，它有哪些特征？

（2）公式中α，β的角的取值范圍如何？

學生觀察與思考得出：①公式中兩邊的符號正好相反（一負一正）；②公式右邊同名三角函數乘積的和；③公式中α、β是任意的；④公式的逆用也要注意。

【設計意圖】讓學生學會認識公式，掌握公式的結構和特點，深化理解公式實質，為靈活運用公式奠定基礎。

【課后反思】

本次教學設計時，注重考慮學生，學習今天的數學知識時，學生已有的知識、經驗有哪些？教學時重在激活學生頭腦中與新知識有實質性聯系的經驗和知識，通過新舊知識之間的相互作用，啟發學生從原有知識經驗中自然生長出新的知識和經驗——使學生產生內在的學習需求。課堂問題導學抓住了學生新知的生長點，使學生的思維自然地插上了騰飛的翅膀，體會到了一位教師的智慧和深刻，在于他善于攪動學生思維的漣漪，把課堂的溫度建立在學生思維的深度上（思維的含量、層次、思維的強度）。

數學學習是在學生已有數學知識、經驗基礎上主動積極的有意義學習過程，數學問題情境的創設作為敲門磚必須使新知識與學生頭腦中已有的知識經驗建立自然的、內在的實質性聯系，才能擲地有聲，為情境而情境，未與數學內容建立內在聯系，只是牽強附會。本文以高中數學教學難點之一《兩角和與差的余弦公式》為例與各位同仁交流。

【教學目標】

理解用向量方法推導兩角差的余弦公式，并能夠初步運用，在兩角差余弦公式的推導過程中，進一步體會向量方法的作用，體會分類討論的思想、聯系與化歸思想的運用，感悟事物之間普遍聯系和轉化的關系。

【教學重點】

兩角差的余弦公式的推導與運用。

教學環節

一、復習鞏固

1.平面向量的數量積是怎樣定義的？坐標表示是怎樣的？

2.單位圓上點坐標表示是怎樣的？

【設計意圖】為聯系向量的數量積去探索公式做鋪墊。

二、學習指導

怎樣聯系向量的數量積去猜想公式？

師生互動探究1：不用計算器，如何求出cos15°的值？

引導學生進行角的拆分，啟發學生聯想向量的夾角，通過構造向量尋求解決辦法。發現cos（60°-45°）=cos60°cos45°-sin60°sin45° 三、自學互學

怎樣聯系向量的數量積去探索公式？

小組合作探究2：由探究1你得到了什么啟示？你能由此猜想并推導cos（α-β）與sinα，cosα，sinβ，cosβ的關系嗎？

四、效果展示

教師根據學生的爭論加以點撥：

教師提問引導學生思考：

1.設角，β的終邊與單位圓的交點分別為A、B，則A、B的坐標？

【設計意圖】教師通過提問引發學生思考，并讓學生分組活動，相互討論，合作學習，運用從特殊到一般、數形結合等數學思想將問題層層深入，最后達到推導的完備，從而讓學生體驗探究的過程，鍛煉學生的思維品質。

設計意圖：引導學生關注兩個向量的夾角θ與α-β的聯系與區別，并通過觀察和討論搞清楚α-β=2kπ±θ，增強學生用數形結合、分類討論的方法解決問題的意識，感受數學思維的嚴謹性。

五、自主學習

認識公式，深化理解。

提問：（1）細心觀察公式的結構，它有哪些特征？

（2）公式中α，β的角的取值范圍如何？

學生觀察與思考得出：①公式中兩邊的符號正好相反（一負一正）；②公式右邊同名三角函數乘積的和；③公式中α、β是任意的；④公式的逆用也要注意。

【設計意圖】讓學生學會認識公式，掌握公式的結構和特點，深化理解公式實質，為靈活運用公式奠定基礎。

【課后反思】

本次教學設計時，注重考慮學生，學習今天的數學知識時，學生已有的知識、經驗有哪些？教學時重在激活學生頭腦中與新知識有實質性聯系的經驗和知識，通過新舊知識之間的相互作用，啟發學生從原有知識經驗中自然生長出新的知識和經驗——使學生產生內在的學習需求。課堂問題導學抓住了學生新知的生長點，使學生的思維自然地插上了騰飛的翅膀，體會到了一位教師的智慧和深刻，在于他善于攪動學生思維的漣漪，把課堂的溫度建立在學生思維的深度上（思維的含量、層次、思維的強度）。