“角平分線性質、線段的垂直平分線性質”重、難點突破

程林林

突破1：對角平分線性質的再認識

例1 如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，交AB于點E，DE=3，BD=4，求BC的長度.

【再認識】角平分線性質是說明線段相等的一種重要方法. 解題時，注意抓住圖形的特征，從已知條件中找到角平分線的點及這點到角兩邊的垂線段，利用角平分線性質得到兩條垂線段相等.

【分析】欲求BC的長，已知BD，且BC=BD+CD，進而將問題轉化為求CD的長. 由AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，根據角平分線性質，可得CD=DE，從而求出BC的長度.

解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴ CD=DE=3，

∴ BC=CD+BD=3+4=7.

【變式】如圖2，AB//CD，O為∠A、∠C的平分線的交點，OE⊥AC于點E，且OE=2，求AB與CD之間的距離.

【分析】要求AB與CD之間的距離，首先過點O作直線OM⊥AB于點M，交CD于點N，則線段MN的長度即為AB與CD之間的距離. 因為AO、CO分別是∠BAC、∠ACD的角平分線，所以OE=OM=ON，則AB與CD之間的距離可求.

突破2：角平分線性質定理逆定理的再認識

例2 如圖3，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N. 試說明PM=PN.

【再認識】角平分線性質定理的逆定理是判定角平分線的一種重要方法. 在平面內找到一個點，通過這一點到角兩邊的距離相等來確定該點在角平分線上. 再根據兩點確定一條直線，確定角平分線.

【分析】欲說明的是PM=PN，已知PM⊥AD，PN⊥CD，利用角平分線性質定理的逆定理，可猜測BD平分∠ADC. 已知BD是

【變式】如圖9，某地有兩個村莊和兩條相交叉的公路（點P、Q表示村莊，l1、l2表示公路）. 現計劃修建一座水庫，要求水庫到兩村莊的距離相等，到兩條公路的距離也相等. 你能確定水庫應該建在什么位置嗎？在所給圖形中畫出你的設計方案. （要求保留作圖痕跡）

【分析】此題是作圖題，解決此類問題的關鍵是要熟練掌握角平分線性質和垂直平分線性質. 到P、Q的距離相等，則連接PQ，根據線段垂直平分線的性質作出線段PQ的垂直平分線，到l1、l2相等，則作出l1、l2相交所形成的一組鄰補角的角平分線，兩線相交的一點即為所求.

（作者單位：江蘇省無錫市天一實驗學校）

突破1：對角平分線性質的再認識

例1 如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，交AB于點E，DE=3，BD=4，求BC的長度.

【再認識】角平分線性質是說明線段相等的一種重要方法. 解題時，注意抓住圖形的特征，從已知條件中找到角平分線的點及這點到角兩邊的垂線段，利用角平分線性質得到兩條垂線段相等.

【分析】欲求BC的長，已知BD，且BC=BD+CD，進而將問題轉化為求CD的長. 由AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，根據角平分線性質，可得CD=DE，從而求出BC的長度.

解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴ CD=DE=3，

∴ BC=CD+BD=3+4=7.

【變式】如圖2，AB//CD，O為∠A、∠C的平分線的交點，OE⊥AC于點E，且OE=2，求AB與CD之間的距離.

【分析】要求AB與CD之間的距離，首先過點O作直線OM⊥AB于點M，交CD于點N，則線段MN的長度即為AB與CD之間的距離. 因為AO、CO分別是∠BAC、∠ACD的角平分線，所以OE=OM=ON，則AB與CD之間的距離可求.

突破2：角平分線性質定理逆定理的再認識

例2 如圖3，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N. 試說明PM=PN.

【再認識】角平分線性質定理的逆定理是判定角平分線的一種重要方法. 在平面內找到一個點，通過這一點到角兩邊的距離相等來確定該點在角平分線上. 再根據兩點確定一條直線，確定角平分線.

【分析】欲說明的是PM=PN，已知PM⊥AD，PN⊥CD，利用角平分線性質定理的逆定理，可猜測BD平分∠ADC. 已知BD是

【變式】如圖9，某地有兩個村莊和兩條相交叉的公路（點P、Q表示村莊，l1、l2表示公路）. 現計劃修建一座水庫，要求水庫到兩村莊的距離相等，到兩條公路的距離也相等. 你能確定水庫應該建在什么位置嗎？在所給圖形中畫出你的設計方案. （要求保留作圖痕跡）

【分析】此題是作圖題，解決此類問題的關鍵是要熟練掌握角平分線性質和垂直平分線性質. 到P、Q的距離相等，則連接PQ，根據線段垂直平分線的性質作出線段PQ的垂直平分線，到l1、l2相等，則作出l1、l2相交所形成的一組鄰補角的角平分線，兩線相交的一點即為所求.

（作者單位：江蘇省無錫市天一實驗學校）

突破1：對角平分線性質的再認識

例1 如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，交AB于點E，DE=3，BD=4，求BC的長度.

【再認識】角平分線性質是說明線段相等的一種重要方法. 解題時，注意抓住圖形的特征，從已知條件中找到角平分線的點及這點到角兩邊的垂線段，利用角平分線性質得到兩條垂線段相等.

【分析】欲求BC的長，已知BD，且BC=BD+CD，進而將問題轉化為求CD的長. 由AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，根據角平分線性質，可得CD=DE，從而求出BC的長度.

解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴ CD=DE=3，

∴ BC=CD+BD=3+4=7.

【變式】如圖2，AB//CD，O為∠A、∠C的平分線的交點，OE⊥AC于點E，且OE=2，求AB與CD之間的距離.

【分析】要求AB與CD之間的距離，首先過點O作直線OM⊥AB于點M，交CD于點N，則線段MN的長度即為AB與CD之間的距離. 因為AO、CO分別是∠BAC、∠ACD的角平分線，所以OE=OM=ON，則AB與CD之間的距離可求.

突破2：角平分線性質定理逆定理的再認識

例2 如圖3，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N. 試說明PM=PN.

【再認識】角平分線性質定理的逆定理是判定角平分線的一種重要方法. 在平面內找到一個點，通過這一點到角兩邊的距離相等來確定該點在角平分線上. 再根據兩點確定一條直線，確定角平分線.

【分析】欲說明的是PM=PN，已知PM⊥AD，PN⊥CD，利用角平分線性質定理的逆定理，可猜測BD平分∠ADC. 已知BD是

【變式】如圖9，某地有兩個村莊和兩條相交叉的公路（點P、Q表示村莊，l1、l2表示公路）. 現計劃修建一座水庫，要求水庫到兩村莊的距離相等，到兩條公路的距離也相等. 你能確定水庫應該建在什么位置嗎？在所給圖形中畫出你的設計方案. （要求保留作圖痕跡）

【分析】此題是作圖題，解決此類問題的關鍵是要熟練掌握角平分線性質和垂直平分線性質. 到P、Q的距離相等，則連接PQ，根據線段垂直平分線的性質作出線段PQ的垂直平分線，到l1、l2相等，則作出l1、l2相交所形成的一組鄰補角的角平分線，兩線相交的一點即為所求.

（作者單位：江蘇省無錫市天一實驗學校）