利用最短路徑算法進行地震波射線追蹤

楊春雨　王小磊　李棟

射線追蹤方法作為一種快速有效的波場近似計算方法，不僅對于地震波理論研究具有重要意義，而且也直接應用于地震波反演及偏移成像等過程。該文在收集、整理國內外有關研究資料的基礎上，著重介紹了最短路徑算法，并通過對Marmousi模型的計算，驗證了最短路徑方法的高精度，及對復雜模型的適應性。

射線追蹤的方法種類較多。傳統方法有基于初值問題的打靶法（Shooting method， i.e.， Julian and Gubbins，1977）和基于邊值問題的彎曲法（Bending method， i.e.， Um and Thurber， 1987），但是他們不能處理介質中較強的速度變化，有時無法求出全局最小走時，計算效率較低，陰影區內無射線。隨著射線追蹤方法的發展，出現了直接從Huygens原理或Fermat原理出發，采用等價波前描述地震波場特征的方法。Vidale（1988，1990）和Podvin（1990）等人則從程函方程出發，首先求出走時場分布，再計算走時場的最速下降方向的辦法，得到每一條接收點到震源的射線路徑。隨后，Qin（1992）等人對Vidale的方法作了改進，提出了波前擴展方法。黃聯捷、李幼銘、吳如山（1992）基于Huygens 原理提出WFRT方法，根據計算精度的要求，逐次細化網格，而求得最小走時。Sava 和Fomel（1998）提出了HWT（huygencs wavefront tracing）法。Moser（1991）提出了根據費馬原理的最短路徑法。

自上世紀八十年代后期發展起來的基于網格單元的射線追蹤算法由于其諸多優點，因而倍受人們的青睞。與傳統的射線追蹤算法相比而言，基于網格單元的算法具有四大優點：①可利用波振面向外擴展傳播的原理一次性計算出速度模型中所有網格節點的射線走時及相應的路徑，并能正確的追蹤檢波器位于射線陰影區的衍射波射線；②算法數值計算穩定，所得到的解總是全局最佳射線路徑及相應最小走時；③多炮多道接收時表現得更為高效，精度也比傳統射線追蹤方法要高；④在連續介質中網格單元算法始終能找到初至波走時，而傳統射線方法則只能找出唯一走時，且很難判別這個走時是屬于初至波還是屬于后續波（De Kool et al，2006）。目前，基于網格單元的射線追蹤算法已成功用于地震定位、地震偏移成像和地震層析成像中。

在眾多基于網格單元的射線追蹤算法中，最短路徑射線追蹤算法，簡稱SPM以其精度高、計算穩健以及較強的模型適應性而廣受推崇。

2 最短路徑算法

最短路徑算法是在網格化節點速度場中計算所有節點走時的一種十分有效的射線追蹤方法。這種方法是由網格節點的連線作為具有走時的射線段，采用類似Dijkstra算法來求取給定點到網格上所有節點的最短路徑。根據費馬原理兩點間最短路徑（最小走時路徑）相應于實際射線路徑。

最短路徑網格通常是由單元或中心節點來參數化。Nakanishi和Yamaguchi （1986）把速度場參數化為由常速度單元組成，而節點定義在單元邊界上。該算法的優勢在于每對節點間的走時可以很容易的計算 ，這里d是兩節點間的距離，s是含節點單元的波慢度。計算精度可通過縮小單元尺度或增加單元邊界上節點的個數來提高。

另一種形成網格節點的方法是利用規則的速度節點，并進行線性連接（Moser，1991）。兩連接節點A和B間的走時可簡單地由： 得到，這里 和 分別為節點A和B處的波慢度值，而d則為兩節點間的距離。

一旦網格節點結構及節點間走時計算的方式確定之后，接下來就是計算整個走時場和相應射線路徑。Dijkstra （1959）最早提出原始的網格理論算法，該文原載于中國社會科學院文獻信息中心主辦的《環球市場信息導報》雜志http：//www.ems86.com總第547期2014年第15期-----轉載須注名來源其中計算時間正比于 ，而 為所有節點總數。此算法的概念十分簡單，即：有總數為Q的未知走時節點，起初 Q 含M個元素，而 P 是空集，將Q集節點的走時設置為任意大的數。算法將炮點所在節點加入P集開始，然后計算臨近節點的走時。這些組成了可能的走時，然后算法從中挑選最小走時，將其加入 P 集直至所有 Q 集內節點計算完畢為止。如果 Q 集內的節點在上次循環中已有計算走時，則選擇具有最小走時使之更新。完整的走時場可通過M次迭代得到，射線路徑可通過記錄節點更新的順序獲得。

3.模型實例

為了檢驗最短路徑算法的有效性、精確性及對復雜模型的適應性，我們選擇了較為復雜的marmousi模型。將模型劃分為三個計算區域。炮點位于模型左上角（0m，0m）處，910個檢波器等間距（100m）的分布在地表，最大炮檢距為9100m。我們分別使用波場模擬方法和最短路徑算法計算來自第一、二個不規則界面的一次反射波，并計算兩種算法計算走時的相對誤差Ere。根據計算結果，兩種算法的相對誤差在0.2%之內，而且，最短路徑計算走時均小于波場模擬計算走時，更接近真實解，并且走時差大小與反射界面的起伏呈很好的相關性。說明最短路徑算法能夠更好的模擬界面的起伏特征，保證計算的精度。

4 結論

通過使用最短路徑算法對marmousi模型的試算，我們可以得出以下結論：

最短路徑算法是一種十分有效的射線追蹤算法，具有精度高，計算穩健的特點；最短路徑算法能夠適應十分復雜的地質模型，具有較強的實用性；計算過程中最短路徑算法需要較多內存空間，計算耗時較長，需要改進。

（作者單位：1.長安大學地質工程與測繪學院；2.長安大學地球科學與國土資源學院）