方程組的特殊解法與思維拓展

摘 要：初中人教版《義務教育教科書·數學》七年級（下冊）方程組的常規解法有代入和加減消元法，它們都是從“消元”這個化歸思想出發，即從“未知”“三元”“二元”轉化到“已知”“一元”，即求一元一次方程的解。

關鍵詞：方程組；特殊解法；思維；拓展

解方程組除了熟練掌握常規解法以外，還應根據方程組的特征，靈活運用一些特殊方法，像整體代入法、參數法、換元法等，這樣既可以使解題簡便，又可以拓展學生的數學思維，為學生綜合能力的發展奠定基礎.在新課改背景下，在重視素質教育的今天，更應該有效地拓展學生的思維.在解數學題目時，經常會遇到一些題中項數多，代數式較繁，結構復雜，往往令人望而生畏.但是學生如果能夠深入分析，探其規律，轉換思維，問題就會迎刃而解.

在實際的教學中，教師可以引導學生將一些代數式適當變形，使學生思維得到轉換，從而獲得較簡捷的解題途徑.在素質教育進一步發展的背景下，我認為，素質教育的核心就是創新教育，而創新教育的核心就是培養學生的創新意識和創造性的思維能力.在教學中，應從注重對學生數學興趣的培養入手，充分調動學生的積極性和求知欲，培養他們分析、歸納、總結的能力；并在掌握基本技能和技巧的基礎上，要鼓勵學生大膽地去探索與研究，培養學生的好奇心，拓展他們的思維能力，教師要經常引導學生從變換的角度去看問題，從整體去考慮，可以使問題簡單化，也就是說，要從多角度、多層次、多方位去改變題目中的結構和形式，從而得出相應結論；教師要加強對學生進行發散思維訓練，可通過順向思維和逆向思維的訓練，達到舉一反三的目的，從而培養學生思維的廣泛性、深刻性、靈活性和獨特性，例如，一題多解是培養學生靈活思維的好手段，從不同角度思考問題，采用多種方法解決問題，有利于學生加深理解和掌握部分與整體之間的相互轉化；一題多變可培養學生的探索性和創造性、敏捷性和創新精神，使學生的思維得到拓展.所以，教師在教學過程中，要挖掘一些行之有效的、典型的一題多解的練習題，去訓練學生的思維，拓展學生的思維廣度和深度，使他們的思維更加靈活，更加敏捷，使學生的思維得到充分的鍛煉，從而培養學生良好的思維能力，這對培養學生今后的發展和創新是非常必要的.因此，新課改中的初中數學教學更應該加強對學生的思維拓展訓練，幫助學生提升思維能力，主要從觀察數學規律、思維轉換等方面入手，教師可以引導學生通過思維的轉換變形，化繁為簡，化難為易，從思維的轉換角度去拓展學生的創造能力.現略舉幾例說明.

一、靈活消元：整體代入法

二、整體加減法

例2.解方程組x+y-z=11，①y+z-x=5，②z+x-y=1，③

分析：方程組中每個未知數均出現了三次，且含各未知數的項系數和均為1，故可采用整體相加的方法.

解：①+②+③，得x+y+z=17，④

再由④分別減去①、②、③各式，

分別得z=3，x=6，y=8.所以原方程組的解是x=6y=8z=3

注意：根據本題的特點，此題也可以靈活地采取①+②消去x和z，求得y.②+③同時消去x、y，求得z.①+③同時消去y、z，求

得x.

三、整體改造法

例3.解方程組x+y-2z=0， ①11x+4y-8z=7， ②27x+104y-54z=77， ③

分析：按常規方法逐步消元，非常繁雜.考查系數關系：②中含y、z項的系數是①中對應系數的4倍；③中含x、z項的系數是①中對應系數的27倍.因此可對②、③進行整體改造后，綜合加減法和代入法求解.

解：由②、③，得7x+4（x+y-2z）=7， ④27（x+y-2z）+77y=77. ⑤

再將①代入④、⑤，得x=1，y=1.

把x、y的值代入①，得z=1.所以原方程組的解為x=1y=1z=1

注意：上面例子的整體思想就是從問題的整體性出發，對其結論進行分析和改造，有意識地進行整體改造，這種方法在代數式求值、解方程（組）等方面有廣泛的應用，這種整體求解的方法比常規的消元法和代入法要簡單得多.

從以上所列舉的例題可以看出，方程組的一些特殊解法的歸類引導，對于學生來說，不局限于常規解法，在熟悉掌握常規解法的基礎上，去了解更多的方法，到時候解題就不會感到措手不及，遇到做過的類似題目就會精神振奮，才能發揮他們的聰明才智，

去大膽地開發、探索、創造，找出更適合的解法.

方程組的特殊解法體現了數學無與倫比的解題之美妙，有利于培養學生的發明創造能力，這對于開闊學生視野、拓展學生思維轉換及空間想象能力有著重要的作用.

作者簡介：何文良，男，1957年7月出生，大專，就職學校：四川青川縣房石九年制學校，從事數學教學工作，研究方向：思維訓練與拓展。