中學數學構造法的初探

摘 要：數學是集數量、結構、變化及空間模型等研究為一體的一門學科。在中學數學學習過程中，學會用構造法解決數學問題，將會達到理想的效果，能更好地培養學生的探究創新能力。

關鍵詞：構造法；中學數學；創新

數學構造法或構造思想方法就是根據題設條件或結論所具有的特征和性質，運用數學基本思想經過認真的觀察、深入的思考，構造出滿足條件或結論的數學對象，或者構造與條件或結論具有某種特定關系的輔助數學對象，從而使問題得以解決。

數學構造法是數學論證的基本方法，也是數學發現及應用的重要工具，應用數學構造法來解中學數學題，可以培養學生的創造意識和創新思維，是提高學生的分析問題、解決問題能力的手段之一。

一、數學構造法的含義

數學構造法的內涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性為基礎，針對具體問題的特點而采取相應的解決辦法，其基本方法是：借用一類問題的性質，來研究另一類問題的思維方法。在解題過程中，若按我們的習慣定式思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發學生根據題目特點，展開豐富的聯想拓寬自己的思維范圍，運用構造法來解決問題。

例1.證明：存在兩個無理數x，y使得x是有理數。

分析：設法構造一個滿足問題條件的例子，那么存在性就得到證明。

我們知道自然對數的底e和ln3（以e為底的對數）都是無理數，令x=e，y=ln3，則eln3=3是有理數，從而命題得證。

在證明過程中，以問題的已知元素或條件為“元件”，以數學中的某些關系式為“支架”，在思維中構造一種新的“構造物”，這種方法具有普遍意義。

二、數學構造法的類型

1.函數構造法

根據不等式的特征，構造適當的函數，利用一元二次方程的判別式、函數的奇偶性、單調性、有界性等來證明不等式稱為函數法。函數在中學數學中占有相當大的比重，學生對于函數的性質也比較熟悉。選擇爛熟于胸的內容來解決棘手問題，同時也達到了訓練學生的思維，增強學生思維的靈活性、開拓性和創造性的目的。

例2.設a，b，c∈R，求證：a2+ac+c2+3b（a+b+c）≥0，并指出等號何時成立。

分析：將不等式左邊整理成關于a的二次式，用判別式證明。

證明：左邊整理成關于a的二次式，即

有些數學題似乎與函數毫不相干，但是根據題目的特點，巧妙地構造一個函數，利用函數的性質就能得到簡捷的證明。

2.方程構造法

例3.已知a，b，c∈R，且a+2b+3c=6，求證：a2+2b2+3c2≥6。

分析：依題設可知用代數換元法易證，但如果能消去一個變量，可轉為二次函數問題。

解：由已知得a=6-2b-3c，從而a2+2b2+3c2-6=（6-2b-3c）2+2b2+3c2-6=6[b2+2（c-2）b+（2c2-6c+5）]，令f（b）=b2+2（c-2）b+2c2-6c+5

在解題的過程中，把用到的數學思想和方法介紹給學生，而不是要教會學生解某一道題，也不是為解題而解題，給他們學會一種解題的方法才是最有效的，運用構造方法解題也是這樣的，通過講解一些例題，運用構造法來解題，在探求過程中培養學生的創新能力。

3.圖形構造法

對于一些題目，可以根據已知條件的結構特點，構造出適合條件的圖形，通過圖形啟發思維，找到簡捷的思路。

總之，構造法解題重在“構造”，可以構造圖形、方程、函數，使學生熟悉幾何、代數、三角等基本知識技能，并想方設法加以綜合利用，這對學生的多元思維培養學習興趣的提高以及鉆研獨創精神的發揮十分有利。因此，在解題教學時，若能啟發學生從多角度、多渠道進行廣泛的聯想，則能得到許多構思巧妙、新穎獨特、簡潔有效的解題方法，而且還能加強學生對知識的理解，培養思維的靈活性，提高學生分析問題的創新能力。

參考文獻：

章紹輝.數學建模[M].科學出版社，2007.

作者簡介：陳士忠，男，1975年3月出生，本科，就職學校：福建省龍巖市漳平市永福中學，研究方向：初中數學。