探究橢圓軌跡形成的若干方法

摘 要：借助幾何畫板探究了橢圓軌跡形成的四種方法：定義法、壓縮法、參數方程法、代數法。

關鍵詞：橢圓；軌跡；幾何畫板

一、定義法

1.作圖步驟：（1）在x軸上任取一點F1，并作關于y軸的對稱點F2；（2）以F1為圓心作圓，在圓上任取一點P，連結PF2，并作線段PF2的垂直平分線交直線PF1于點M；（3）選中點P和點M，作軌跡。

2.操作說明：拖動點P可觀察軌跡形成過程，拖動點F1或F2可改變曲線的類型（由橢圓變成雙曲線）。

3.典型例題：在⊙C：（x+1）2+y2=25內有一點A（1，0），Q為圓周上任一點，AQ的垂直平分線與QC連線的交點為M，求點M的軌跡方程。

4.使用說明：將點F1移到（-1，0）點，那么F2即為A，可將標簽進行修改，再拖動圓上控制點將圓F1的半徑調為5即可。

二、壓縮法

1.作圖步驟：（1）以原點為圓心畫圓O；（2）在圓O上任取以點P，過P作x軸的垂線；垂足為Q，在線段PQ上按需要的比例取點M；（3）選定點P和點M，作軌跡。

2.操作說明：運動點P可演示軌跡橢圓形成的過程，拖動點M可改變橢圓的形狀。

3.典型例題：已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2，從這個圓上任意一點P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，當點P在圓上運動時，求線段PQ的中點M的軌跡是什么？

變式：若點M為線段PQ上其他任意位置呢？

4.使用說明：將點M移到相應比例的位置即可。

三、參數方程法

1.作圖步驟：（1）以原點為圓心畫兩個半徑不同的圓；（2）在大圓O上任取點P，過P作x軸的垂線，垂足為Q，連接OP交小圓O為點R，過R作線段PQ的垂線，垂足為M；（3）選定點P和點M，作軌跡。

OR）的旋轉角，不是OM的旋轉角。

4.使用說明：可直觀地類比圓的參數方程與橢圓參數方程中參數的不同意義。

四、代數法

2.操作說明：拖動點P可觀察軌跡生成過程；拖動點C控制定值m，反映不同的軌跡。

已知定點A，B，滿足KMAKMB=m，求點M的軌跡。

3.典型例題：設點A、B的坐標分別是（-5，0），（5，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積為，求點M的軌跡方程，并判斷軌跡形狀？

參考文獻：

王瑩.現代信息技術環境下《圓錐曲線》教學研究與電子教科書設計[D].遼寧師范大學，2013.

作者簡介：黃春妮，女，1980年9月出生，在職教育碩士，就職學校：浙江省溫州市第二十二中學，研究方向：數學教學。