淺析橢圓中與焦點三角形有關的求最值問題

摘 要：就與焦半徑有關的最值問題進行簡單的探討。先給出焦半徑的概念并推導其最值，接著引出焦半徑的乘積、平方和、立方和、焦點三角形面積的最值等問題，使前后問題一脈相承，有較強的銜接性。

關鍵詞：焦半徑；焦點三角形；最值

本文著重討論橢圓中與焦點三角形有關的最值問題。所謂焦點三角形是指橢圓上一點P（不與長軸的兩個端點重合）與兩個焦點F1F2構成的△PF1F2。

分析：只需要借助兩點間的距離公式，再運用函數求最值的思想方法來研究這個問題就可以了.

故當x0=-a即點P與橢圓的左端點A1重合時，PF1min=a-c；當x0=a即點P與橢圓的右端點A2重合時，PF1max=a+c.

由PF1=a+ex0，結合橢圓的定義PF1+PF2=2a可得PF2=a-ex0，這兩個公式叫做橢圓的焦半徑公式，可以簡記為“左加右減”，即點P到左焦點的距離為a+ex0，到右焦點的距離為a-ex0.

如果再把上面的問題進行升級，可得到如下問題：

變式1：PF1·PF2有最大值嗎？如果有，請求出；如果沒有，請說明理由.

分析：由于PF1+PF2=2a，結合均值定理，PF1·PF2有最大值.

變式2：PF1·PF2有最小值嗎？如果有，請求出；如果沒有，請說明理由.

趁熱打鐵，我們還可以得到以下變式：

變式3：PF12+PF22有最值嗎？如果有，請求出；如果沒有，請說明理由。

變式4：△PF1F2有最值嗎？如果有，請求出；如果沒有，請說明理由。

詳細解題過程略。

對于初學者甚至高三的學生，圓錐曲線是他們最難理解、掌握的內容之一.作為教師，不妨從最基本最常見的類型入手，引導學生逐步掌握基本技能和運算技巧，在做題的時候就可以達到事半功倍的效果.

參考文獻：

李建明.圓的性質在圓錐曲線中的推廣[J].數學教學，2007（6）：18-20.

作者簡介：梁紀威，男，1985年10月出生，本科，就職學校：陜西省靖邊中學，研究方向；教育教學方法技巧。