利用導數處理與不等式有關的問題

摘 要：導數是研究函數性質的一種重要工具。在處理與不等式有關的綜合性問題時往往需要利用函數的性質。因此，很多時侯可以利用導數作為工具得出函數性質，從而解決不等式問題。下面具體討論導數在解決與不等式有關的問題時的作用。

關鍵詞：導數；不等式；問題

一、利用導數證明不等式

1.利用導數得出函數單調性來證明不等式

我們知道函數在某個區間上的導數值大于（或小于）0時，則該函數在該區間上單調遞增（或遞減）.因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數證明該函數的單調性，然后再用函數單調性達到證明不等式的目的.即把證明不等式轉化為證明函數的單調性.具體有如下幾種形式：

由本例可知用函數單調性證明不等式時，如何選擇自變量來構造函數是比較重要的.

2.利用導數求出函數的最值（或值域）后，再證明不等式

導數的另一個作用是求函數的最值，因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數求出該函數的最值；由當該函數取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把證明不等式問題轉化為函數求最值問題.

例3：已知函數f（x）=（a+1）lnx+ax2+1.

（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性.

（Ⅱ）設a≤-2，證明：對任意x1，x2∈（0，+∞），f（x1）-f（x2）≥4x1-x2.

【解題思路】利用導數考察函數的單調性，注意對數求導時定義域，第Ⅱ問構造函數證明函數的單調性.

二、利用導數解決不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，一般都會涉及求參數范圍，往往把變量分離后可以轉化為m>f（x）（或m

參考文獻：

趙大鵬.3+X高考導練：數學[M].中國致公出版社，2004-06.

作者簡介：楊忠，男，1979年5月出生，本科，就職學校：遼寧省大連市金州高級中學，研究方向：數學教學.