高三數學復習課的開場戲：知識梳理

席國金

摘 要： 高三數學復習課的套路一般如下：知識梳理—基礎自測—典型例題—變式訓練——課堂小結。通過對“知識梳理”這個環節的教學方式的嘗試，作者認為教師對于知識梳理的方式要多樣化，要針對知識點的特點，尋求不同的梳理方式，再有教師要站在數學整體的高度，引領學生對主干、核心知識進行梳理整合、歸納總結、挖掘拓展，這樣才能保持教學持久的新鮮感和學生濃厚的學習興趣。

關鍵詞： 高三數學復習課 知識梳理 核心知識 問題

引言

近幾年，我一直在高三教學，高三數學復習課的套路一般如下：知識梳理—基礎自測—典型例題—變式訓練—課堂小結。有個問題一直困惑著我，那就是如何更有效地開展“知識梳理”這個環節？以前大多數老師在黑板上羅列知識點、知識結構圖，現在有些教輔資料編寫以填空的形式進行知識梳理，可以省去在黑板上板書的時間。我一直在思考這些問題，這樣進行知識梳理學生需要嗎？對學生解題有幫助嗎？為此，我在學生中做了個簡單的問卷調查，發現大部分學生認為需要進行知識梳理，但老師的梳理方式對他們來講就像放了一場電影，沒留下太深的印象，在解題中似乎沒起到多少作用。由此可見“知識梳理”這環節非常重要，但如何提高它的有效性呢？我在實際教學做了嘗試，現與同行分享。

1.以問題為中心，在探究中加深對知識的理解

在高三數學一輪復習中，有不少核心概念復習課。教師如果對核心概念的教學理解不深，就很難對內容進行解析，學生如果未能真正理解概念、掌握公式，當他獨自面對問題時，常常不知道何時用、如何用此概念，從而影響學習目標的實現。我對于核心概念課做了這樣的嘗試：提出一個簡單的問題，解答后讓學生反思這個問題，在學生的反思中尋找知識點，形成知識結構，并在學生的反思中提煉思想方法。這樣做能有效避免教師枯燥地復述概念，當然，最關鍵是如何設置一個既能復習知識點又能緊扣本節課中心的問題。

案例1：向量的數量積

問題1：已知向量■與向量■的夾角為θ，分別在下列條件下求■·■

（1）θ=135°？搖？搖（2）■∥■？搖？搖（3）■⊥■

這是書上的一道例題，用它作為問題1有以下意圖：

1.多角度認識公式，引導學生對概念本質的理解；

2.從公式角度看，向量的數量積是實現由向量到數量的重要工具；

3.全面理解兩向量夾角的范圍。

問題2：已知向量■=（1，2），■=（2，-1）

（1）求|■+■|和|■-■|

（2）k為何值時，向量k■-■與向量■+■垂直？

（3）k為何值時，向量k■-■與向量■+■平行？

（4）k為何值時，向量k■-■與向量■+■夾角為60°？

（5）k為何值時，向量k■-■與向量■+■夾角為鈍角？

這是由書上的一道習題改編的，主要用來讓學生綜合應用數量積的向量公式與坐標形式，進行向量的模的求解，垂直、平行位置關系的判斷，夾角公式的應用。其中（4）（5）兩問是難點，如何攻克，不是以老師灌的方式實現的，而是學生板演—發現漏洞—共同探討—問題解決這樣一個流程，大大提高了學生課堂參與度，培養了學生的觀察能力、表達能力和思維能力。

在一輪復習中，我們可以充分利用課本的例題和習題對概念充分挖掘，使學生由“懂”到“會”，由“會”到“熟”，由“熟”到“活”。如果公式認識不到位，學生就用不到位。

2.在概念易混易錯處有效變式，加深對知識的理解

對于有些難以理解、易混易出錯的概念，不能就概念講概念，要針對概念的內涵與外延設計辨析型問題，通過對這些問題的討論與解決，達到明確概念本質、深化概念理解的目的。有一次，我復習完映射的概念，強調了“任一性”與“唯一性”，并讓學生分析了映射與函數的異同點。我自以為講得很深刻，后來我在書本課后習題中找了一道題目來練手，才發現學生對這個概念理解的根本不透徹。我思考了很久，決定設計兩個問題，通過變式訓練再一次強化映射的概念。

案例2：映射的概念

問題1：若A={a，b}，B={1，2}，

則（1）A到B的映射可能有多少種？

（2）A到B的一一映射可能有多少種？

由問題1引導歸納：對于映射，A中無閑元，B中允許有閑元；可以“一對一”“多對一”，但不可“一對多”。

問題2：若B={-1，3，5}，試找出一個集合A，使得f：x→2x-1是

（1）A到B的映射。（這就是我讓學生做的書本上的一道課后習題，當時所有的學生答案都是一樣的，即A={0，2，3}，后來在師生的探討下，得出本題有七個不同的答案。）

（2）B到A的映射。

變式1：已知f：A→B，f：x→2x-1，B={-1，3，5}，按照該映射，寫出一個以x為自變量，B為值域的函數是？搖？搖？搖？搖？搖。

變式2：已知f：A→B，f：x→2x-1，B={-1，3，5}，按照該映射，寫出一個以x為自變量的函數是？搖？搖？搖？搖？搖。

通過這件事，我意識到要引導學生注意概念的關鍵點，辨析易混淆的知識點，老師要動腦圍繞重點設計變式題，幫助學生深刻理解概念。

3.利用結構相似構造類比，加深對概念、性質、公式的理解

類比思想是指根據兩個對象之間在某些方面的相似或相同，從而推出它們在其他方面可能相似或相同的思想。等差數列與等比數列是數列中的兩種最常見的而又是最基本的重要數列，教學中若能根據它們的異同點，抓住基本特征運用類比思想去處理，則十分有益。

案例3：根據等差數列的定義易得到等差數列有如下性質：

（1）a■+a■=a■+a■=a■+a■=…endprint

（2）a■=a■+（n-m）d

（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），則a■+a■=a■+a■

（4）若等差數列共有3n項，且前n項和為A，次n項和為B，末n項和為C，則A+C=2B，即A、B、C成等差數列。

在等比數列的性質復習中，啟發引導學生自主利用等比數列定義及等差數列的區別，運用類比思想不難得出等比數列相應的性質：

（1）a■a■=a■a■=a■a■…

（2）a■=a■q■

（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），則a■a■=a■a■

（4）若等比數列共有3n項，且前n項積為A，次n項積為B，末n項積為C，則AC=B■，即A、B、C成等比數列。

通過類比教學，學生在思維得到訓練的同時，也品嘗到了發現知識的樂趣，并且知識得到了牢固記憶和掌握。在高中數學中，可以應用這樣的類比思想進行教學的知識點比較多，如指數函數與對數函數、橢圓雙與曲線等。

4.充分利用學案，盤點瑣碎知識點

對于較瑣碎的知識點，可以以填空題的形式給出，穿插小題練習。我們可以利用學案的形式，梳理知識要點，配上一些填空，量稍微多一些，內容簡單一些，幫助學生進行課本復習是一種很有效的方法。但是知識梳理不能長篇大論，要小巧精干，一節課有一節課重點掌握的知識點，本節課沒涉及的知識點不編入知識梳理，因為知識梳理太長的話學生會有厭煩心理，那么歸納得再詳細也都成了一紙空文，沒有任何意義。如復習平面向量的概念這部分時，向量的定義、表示、向量的模、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等內容較碎，可逐一用小題鞏固每個概念，讓學生先激活這部分的記憶，再通過一些典型例題深化對每個知識點的理解，達到強化鞏固的目的。

5.上好章節復習課，闡明知識系統，掌握內在聯系

以前老師喜歡在一章節的起始課就把本章的知識結構告知學生，使學生對接下來要學習的東西做到心中有數。現在我在每個章節結束時，要求學生再看一遍課本，對基礎知識、基本技能進行梳理，構建知識網絡，使之達到系統化、結構化、完整化，然后在課堂上交流，分析哪些是本章必須掌握的知識要點和重點，對涉及的公式、定理的來龍去脈，對知識要點的內涵和外延的理解由學生互相探討，并且交流為落實知識要點的精選例題，然后由老師加以點評補充。只有這樣，學生對概念和定理的理解才是深刻的、全面的，記憶才是鮮明的、牢固的，應用起來才是靈活的、廣泛的。

結語

如今的高三數學復習課，老師們非常重視解題教學，對這方面的研究比較深刻，而對于知識梳理方式沒有做過多的研究。通常對知識進行表象化，回憶性地解讀幾點，淺層次、再現式地歸納幾條，讓學生記住。這種教學方法使學生的記憶力發揮到了極致，但很難讓學生對學習產生激情和熱情。這幾年我一直教學高三，通過對“知識梳理”這個環節的教學方式的嘗試，認為教師對于知識梳理的方式要多樣化，要針對知識點的特點尋求不同的梳理方式，再有教師要站在數學整體的高度引領學生對主干、核心知識進行梳理整合、歸納總結、挖掘拓展，這樣才能保持教學持久的新鮮感和學生濃厚的學習興趣。

參考文獻：

[1]劉海珍.關注學生學習，讓經典課堂釋放無窮魅力.中學數學教學參考，2010，7.

[2]羅增儒.高考復習20問.中學數學教學參考，2010，5.endprint

（2）a■=a■+（n-m）d

（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），則a■+a■=a■+a■

（4）若等差數列共有3n項，且前n項和為A，次n項和為B，末n項和為C，則A+C=2B，即A、B、C成等差數列。

在等比數列的性質復習中，啟發引導學生自主利用等比數列定義及等差數列的區別，運用類比思想不難得出等比數列相應的性質：

（1）a■a■=a■a■=a■a■…

（2）a■=a■q■

（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），則a■a■=a■a■

（4）若等比數列共有3n項，且前n項積為A，次n項積為B，末n項積為C，則AC=B■，即A、B、C成等比數列。

通過類比教學，學生在思維得到訓練的同時，也品嘗到了發現知識的樂趣，并且知識得到了牢固記憶和掌握。在高中數學中，可以應用這樣的類比思想進行教學的知識點比較多，如指數函數與對數函數、橢圓雙與曲線等。

4.充分利用學案，盤點瑣碎知識點

對于較瑣碎的知識點，可以以填空題的形式給出，穿插小題練習。我們可以利用學案的形式，梳理知識要點，配上一些填空，量稍微多一些，內容簡單一些，幫助學生進行課本復習是一種很有效的方法。但是知識梳理不能長篇大論，要小巧精干，一節課有一節課重點掌握的知識點，本節課沒涉及的知識點不編入知識梳理，因為知識梳理太長的話學生會有厭煩心理，那么歸納得再詳細也都成了一紙空文，沒有任何意義。如復習平面向量的概念這部分時，向量的定義、表示、向量的模、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等內容較碎，可逐一用小題鞏固每個概念，讓學生先激活這部分的記憶，再通過一些典型例題深化對每個知識點的理解，達到強化鞏固的目的。

5.上好章節復習課，闡明知識系統，掌握內在聯系

以前老師喜歡在一章節的起始課就把本章的知識結構告知學生，使學生對接下來要學習的東西做到心中有數。現在我在每個章節結束時，要求學生再看一遍課本，對基礎知識、基本技能進行梳理，構建知識網絡，使之達到系統化、結構化、完整化，然后在課堂上交流，分析哪些是本章必須掌握的知識要點和重點，對涉及的公式、定理的來龍去脈，對知識要點的內涵和外延的理解由學生互相探討，并且交流為落實知識要點的精選例題，然后由老師加以點評補充。只有這樣，學生對概念和定理的理解才是深刻的、全面的，記憶才是鮮明的、牢固的，應用起來才是靈活的、廣泛的。

結語

如今的高三數學復習課，老師們非常重視解題教學，對這方面的研究比較深刻，而對于知識梳理方式沒有做過多的研究。通常對知識進行表象化，回憶性地解讀幾點，淺層次、再現式地歸納幾條，讓學生記住。這種教學方法使學生的記憶力發揮到了極致，但很難讓學生對學習產生激情和熱情。這幾年我一直教學高三，通過對“知識梳理”這個環節的教學方式的嘗試，認為教師對于知識梳理的方式要多樣化，要針對知識點的特點尋求不同的梳理方式，再有教師要站在數學整體的高度引領學生對主干、核心知識進行梳理整合、歸納總結、挖掘拓展，這樣才能保持教學持久的新鮮感和學生濃厚的學習興趣。

參考文獻：

[1]劉海珍.關注學生學習，讓經典課堂釋放無窮魅力.中學數學教學參考，2010，7.

[2]羅增儒.高考復習20問.中學數學教學參考，2010，5.endprint

（2）a■=a■+（n-m）d

（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），則a■+a■=a■+a■

（4）若等差數列共有3n項，且前n項和為A，次n項和為B，末n項和為C，則A+C=2B，即A、B、C成等差數列。

在等比數列的性質復習中，啟發引導學生自主利用等比數列定義及等差數列的區別，運用類比思想不難得出等比數列相應的性質：

（1）a■a■=a■a■=a■a■…

（2）a■=a■q■

（3）若m+n=p+q，（p，q，m，n∈N■），則a■a■=a■a■

（4）若等比數列共有3n項，且前n項積為A，次n項積為B，末n項積為C，則AC=B■，即A、B、C成等比數列。

通過類比教學，學生在思維得到訓練的同時，也品嘗到了發現知識的樂趣，并且知識得到了牢固記憶和掌握。在高中數學中，可以應用這樣的類比思想進行教學的知識點比較多，如指數函數與對數函數、橢圓雙與曲線等。

4.充分利用學案，盤點瑣碎知識點

對于較瑣碎的知識點，可以以填空題的形式給出，穿插小題練習。我們可以利用學案的形式，梳理知識要點，配上一些填空，量稍微多一些，內容簡單一些，幫助學生進行課本復習是一種很有效的方法。但是知識梳理不能長篇大論，要小巧精干，一節課有一節課重點掌握的知識點，本節課沒涉及的知識點不編入知識梳理，因為知識梳理太長的話學生會有厭煩心理，那么歸納得再詳細也都成了一紙空文，沒有任何意義。如復習平面向量的概念這部分時，向量的定義、表示、向量的模、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等內容較碎，可逐一用小題鞏固每個概念，讓學生先激活這部分的記憶，再通過一些典型例題深化對每個知識點的理解，達到強化鞏固的目的。

5.上好章節復習課，闡明知識系統，掌握內在聯系

以前老師喜歡在一章節的起始課就把本章的知識結構告知學生，使學生對接下來要學習的東西做到心中有數。現在我在每個章節結束時，要求學生再看一遍課本，對基礎知識、基本技能進行梳理，構建知識網絡，使之達到系統化、結構化、完整化，然后在課堂上交流，分析哪些是本章必須掌握的知識要點和重點，對涉及的公式、定理的來龍去脈，對知識要點的內涵和外延的理解由學生互相探討，并且交流為落實知識要點的精選例題，然后由老師加以點評補充。只有這樣，學生對概念和定理的理解才是深刻的、全面的，記憶才是鮮明的、牢固的，應用起來才是靈活的、廣泛的。

結語

如今的高三數學復習課，老師們非常重視解題教學，對這方面的研究比較深刻，而對于知識梳理方式沒有做過多的研究。通常對知識進行表象化，回憶性地解讀幾點，淺層次、再現式地歸納幾條，讓學生記住。這種教學方法使學生的記憶力發揮到了極致，但很難讓學生對學習產生激情和熱情。這幾年我一直教學高三，通過對“知識梳理”這個環節的教學方式的嘗試，認為教師對于知識梳理的方式要多樣化，要針對知識點的特點尋求不同的梳理方式，再有教師要站在數學整體的高度引領學生對主干、核心知識進行梳理整合、歸納總結、挖掘拓展，這樣才能保持教學持久的新鮮感和學生濃厚的學習興趣。

參考文獻：

[1]劉海珍.關注學生學習，讓經典課堂釋放無窮魅力.中學數學教學參考，2010，7.

[2]羅增儒.高考復習20問.中學數學教學參考，2010，5.endprint