函數漸近線方程和間斷點的研究

吳生根

摘 要： 在函數內容的教學與學習中，函數的性質是用時最多的，常常會忽略掉函數漸近線與間斷點的研究.本文章著重從這兩個方面進行探索，希望對廣大教學工作者或自學者有所幫助.

關鍵詞： 漸近線 間斷點 極限

一、漸近線定義：若當x趨向于無窮時，曲線y=f（x）無限接近一條固定直線y=Ax+B（y=f（x）與直線y=Ax+B的垂直距離PN無限小，limPN=0），則稱y=Ax+B為函數f（x）的斜漸近線.具體有如下三種可能求法：（1）水平漸近線y=c：■y=c；（2）垂直漸近線x=x■，■y=∞；（3）斜漸近線y=kx+b，■■=k，■f（x）-kx=b.

1.求曲線y=■的水平漸近線方程.

∵■y=■■=■，∴y=■

2.求曲線y=■的斜漸近線方程.

解：因為a=■■=■■=1，b=■[f（x）-ax]=■■=■，于是所求斜漸近線方程為y=x+■.

3.求曲線y=■的漸近線方程.

解：因為■■=∞，所以無水平漸近線.因為■■≠∞，所以無垂直漸近線.

而a=■■=■■=2，且b=■（y-2x）=■■=0，即漸近線方程為y=2x.

4.求曲線y=■+ln（1+e■）的漸近線方程.

解：■y=■[■+ln（1+e■）]=+∞，■y=■[■+ln（1+e■）]=0，

所以y=0是曲線的水平漸近線；

■y=■[■+ln（1+e■）]=∞，所以x=0是曲線的垂直漸近線；

■■=■■=0+■■=■■=1，

b=■[y-x]=■[■+ln（1+e■）-x]=0，所以y=x是曲線的斜漸近線.

二、設函數f（x）在點x■的某去心鄰域內有定義.在此前提下，如果函數f（x）有下列三種情形之一：（1）在x=x■沒有定義；（2）雖在x=x■有定義，但■f（x）不存在；（3）雖在x=x■有定義，■f（x）存在，但■f（x）≠f（x■）；則函數f（x）在點x■不連續，而點x■稱為函數f（x）的不連續點或間斷點.間斷點的分類：左右極限都存在則為第一類間斷點，左右極限相等的為可去間斷點，不相等則為跳躍間斷點；不是第一類任何間斷點的都是第二類間斷點，如無窮間斷點和震蕩間斷點.

1.求函數f（x）=■在[-π，π]上的第一類間斷點.

解：函數在x=0，x=1，x=±■均無意義，

而■f（x）=■■=0，■f（x）=■■=-1；

■f（x）=■■=∞，■f（x）=■■=∞.

所以x=0為函數f（x）的第一類間斷點.

2.求函數f（x）=■的可去間斷點的個數.

解：由f（x）=■，則當x取任何整數時，f（x）均無意義.故f（x）的間斷點有無窮多個，但可去間斷點為極限存在的點，故應是x-x■=0的解x■=0，±1.

■■=■■=■

■■=■■=■

■■=■■=■

故可去間斷點為3個，即0，±1.

3.求函數f（x）=■■的無窮間斷點的個數.

解：由題意得f（x）在x=0，±1均無意義.又f（x）=■·■，∵■f（x）=f（1）=■，

■f（x）=■■=±1；■f（x）=■（-1）·■=∞.

由無窮間斷點的定義可知，其個數為1個，且在x=-1處.

4.設f（x）=■■，則f（x）的間斷點為x=？搖？搖 ？搖？搖.

解：顯然當x=0時，f（x）=0；當x≠0時，f（x）=■■=■■=■=■，

所以f（x）= 0， x=0■， x≠0，因為■f（x）=■■=∞≠f（0），故x=0為f（x）的間斷點.

通過以上8個例題的求解分析，給出了通用的解題思路、清晰的知識體系，明確地勾畫了漸近線、間斷點的幾種常見的試題模型.

參考文獻：

[1]同濟大學數學教研室.高等數學第4版[M].北京：高等教育出版社，1998：98.

[2]李永樂.經典400題[J].機械工業出版社，2012：32.