不畏浮云遮望眼，只緣身在最高處
——對一道高考試題的反思與拓展

浙江省寧波市武嶺中學 竺前杰

題目：（2010年浙江理科第15題）設 為實數，首項為a1，公差為d的等差數列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6+15=0，則d的取值范圍是_________________。

2010年的浙江理科數學高考卷可謂是好題頻出，其中第15題便是一道以等差數列為背景，結合了函數、方程、不等式等知識點的好題。以下是對此題的分析求解過程：

分析：要求d的范圍，出發點是將S5S6+15=0這個方程轉化為與d有關的方程，但同時也會有如a1或其他參數的伴隨，因此可以用方程有解的思想來求解。

解∵S5S6+15=0，

∴2a12+9da1+10d2+1=0，

∵a1是存在的，也即上述關于a1的方程是有解的，

∴Δ=（9d）2-8（10d2+1）≥0，得d≥2 或d≤-2 。

反思1：上述解法中將S5S6轉化為了含有基本量a1與d的式子，其實我們也可以將S5S6轉化為關于a3與d的式子：

解：∵S5S6+15=0，

∴5a3×整理得：

∵a3是存在的，也即上述關于a3的方程是有解的，

∴Δ=d2-8≥0，得d≥

顯然，反思1中對S5S6+15=0的處理更加靈活簡便。

反思2：在反思1中的“方程2a32+da3+1=0”，由a3≠0可等價轉化為“d=-（2a3+，進一步轉化為兩個函數：y1=d與y2=-（2a3+的圖象有交點，由基本不等式可得y2=2≤所以d≥2d≤此法利用變量分離巧妙地將方程有解問題轉化為了函數問題，方程中許多較為復雜的問題利用函數思想可以得到許多簡便的解法，從而避免煩瑣的分類討論。這是我們解決此類問題的上上策。

反思3：若在此題中添加條件“a3≥3”，如用方程根分布的方法來解，須對其進行分類討論：

記 f（a3）=2a32+da3+1（a3≥ 3），

（2）∵f（0）=1，∴當f（3）≤0時方程有解，得

（3無解。

∴綜上有

另解∶如果由反思2中變量分離后的兩個函數圖象有交點的方法來處理此題，其實就是在求函數的值域時多了一個定義域a3≥3，顯然由雙曲函數的單調性立即可以求得

上述的反思過程中也給了筆者一個啟示，在平時的解題過程中不僅要能以多種方法求解，而且還應該對這類問題的各種解法予以比較，從中歸納出解決這類問題的各種方法的利弊，并且得出最優的解決方法。正所謂：“欲窮千里目，更上一層樓。”

拓展1：（2010年天津理科第16題）設函數f（x）=x2-1，對任意恒成立，則實數m的取值范圍是 。

解：恒成立，-4m2-1）x2+2x+3≤0。

即恒成立，記在x上是增函數。

∴

此題通過變量分離，避免了直接求的最大值，大大簡化了求解的過程。像這樣，看似是方程或不等式問題的題目，最終通過變量分離轉化為函數問題的題層出不窮，又比如2009年浙江理科第22題的第一小題，如果運用此方法，也將大大簡化解題過程。

拓展2：（2009年浙江理科第22題第一部分）已知函數f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R。設函數p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在區間（0,3）上不單調，求k的取值范圍。

解：因為 p（x）=f（x）+g（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）-1，則p'（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5），因為p（x）在區間（0,3）上不單調，所以p'（x）=0在（0,3）上有實數解，且無重根，由p'（x）=0得k（2x+1）令t=2x+1，有t∈（1，7），記h（t）則h（t）在（1,3]上單調遞減，在[3,7]上單調遞增，所以有h（t）∈[6,10），于是而當k=-2時有p'（x）=0在（0,3）上有兩個相等的實根x=1，故舍去，所以k∈（-5，-2]。

學習數學離不開解題，解題的過程要不斷嘗試各種方法，同時要比較各類方法的利弊，而我們解題的目標是從這些常用的方法中總結出適合這類問題的最優方法，這是學數學的關鍵，也是解決各類問題的核心。只有這樣，我們才能達到像著名詩人王安石一樣“不畏浮云遮望眼”的境界。