激光器吸收泵浦功率在橫模上的分布

許 宏，王立新

(1.光電信息控制和安全技術重點實驗室，河北三河065201;2.北京理工大學光電學院，北京100081)

1 概述

激光器在得到較高功率輸出時，光束質量往往明顯下降，主要表現在光斑面積增大和中心功率密度下降，甚至出現中心功率密度低于周圍的“凹陷”情況，這對于后繼的非線性晶體泵浦和擴束耦合都產生了不利的影響。

激光光束質量在高功率輸出時下降的主要原因是在較高的泵浦功率下激光器中出現了高階橫模振蕩現象。在一般情況下，階數越高的橫模損耗系數越大，但同時模體積也越大，因此在起振后會比低階的橫模吸收更多的泵浦功率。同時，高階與低階橫模在工作物質中有空間重疊的部分，幾個模式在這部分空間存在著“爭奪”泵浦功率的競爭現象。分析表明，高階橫模具有競爭優勢，即吸收的泵浦功率會由低階橫模向高階橫模轉移，而且隨著出現更多的高階模，轉移的功率也更多。這可以很好地解釋在實驗中觀察到的現象。

2 公式推導

2.1 匹配矩陣

實際激光腔中可能存在多個振蕩的橫模。每個模式會有不同的衰減，主要是往返衍射損耗系數Ldiff［1］的不同。以兩個重疊的橫模為例，如圖 1所示。

圖1 兩個橫模的空間重疊關系

圖1表示在腔中的兩個重疊的橫模，即TEM00模和TEM10模，為后面討論方便，可編號為模式1和

表1 模式與區域的匹配關系表

表1中的數據可用一個匹配矩陣表示:

矩陣下標分別表示行數和列數，也就是模式數和區域數。

可以將情況擴展到有m種橫模，以及它們之間重疊形成的k個區域的情況。參照表1和式(1)寫出它們之間的匹配矩陣Mmk。顯然，橫模數越多重疊情況越復雜，劃分出的區域越多而細碎。如包含TEM00、TEM10和TEM01模的情況劃出的區域可達7個，匹配矩陣可寫為:

注意區域是按照體積從小到大的順序排列的，考察式(1)和式(2)，一個共同趨勢是越是高階的橫模，與之匹配的區域總體積越大。這是因為高階橫模本身的模體積較大，而且主要部分在光束的邊緣，被分割的區域較大;而基模和其他低階模主要處于光束的中心處，在那里疊加的模式很多，每一塊區域的體積都較小。設泵浦功率密度恒定，較大體積的區域吸收的泵浦功率也較多。同時，每出現一個高階模，就會在光束中心增加一些重疊區域，吸收一部分原本屬于低階模的功率，但低階模不會吸收光束邊緣高階模區域的功率。結果是隨著模數的增加，泵浦功率從低階模轉移至高階模。

2.2 泵浦功率的具體分布

參照文獻［2］，在第i個橫模吸收的第j區域功率形成的光強為:

式中，gj為第j個區域中的小信號增益系數;gti為第i個橫模的泵浦閾值增益;Is為飽和光強，由激光受激粒子的特性和腔參數決定。I為一個m×k的矩陣。

小信號增益系數與光強無關，因此gj對該區域中的任何橫模都是相同的。

激光器的增益與泵浦功率成正比，式(3)可以寫成:

式中，Pabsj為第j區域內工作物質吸收的泵浦功率;Ppti為第i個橫模的泵浦閾值功率。

式中，ρ為泵浦功率密度;VRj為第j區域的體積。

k個區域分配到m個橫模上的功率可用一個矩陣P表示。由于功率與光強成正比關系，即:

因此第個j區域對第i個橫模的輸出功率貢獻的泵浦功率為:

式中，Kj為功率與光強的比例系數，由激光器的參數決定。在＞1時乘以匹配矩陣中相應的系數Mmk(i，j)，表示第j個區域與第i個模式不匹配時它分配到第i模式的泵浦功率是0≤1時，第 j個區域吸收的泵浦功率小于第i個模式所需的振蕩閾值，此時它分配到第i模式的功率也是0。因此P中各元素的值受泵浦功率、模式閾值功率和橫模匹配情況的共同影響。

第j區域分配給所有橫模的泵浦功率的加和就是Pabsj:

上式就是工作物質中各區域吸收的功率在不同橫模上的分布。與式(7)相比，消去了Kj。

第i個橫模分配到的功率可用Pmodi表示，則有:

而第i個橫模的輸出功率可用Pouti表示，則有:

式中，Ai為第i個橫模在工作物質中的截面積;T為輸出腔鏡的透過率。

2.3 橫模數m的確定

對于固體激光器，腔內的情況較為復雜，一般在進行計算前，能夠起振的橫模數m是不知道的。一個簡易的辦法是先設一個較大的m值，按照式(11)算出各階橫模分配到的泵浦功率Pouti，將小于相應的泵浦閾值Ppti的高階模去除，得到新的起振橫模數m'，再設m=m'作新的計算，直到m'=m。一般一二次迭代可得到最終結果。

3 算例與討論

以式(10)、式(12)為基礎，對一臺激光器［3］進行了理論計算。這是一臺室溫固體脈沖激光器，工作物質為φ5×10的YAP晶體，首先計算出其內部各橫模占據的體積，并考慮熱透鏡效應［4］和泵浦功率實際分布的不均勻性(設為高斯分布)，計算結果如下。

輸入10 W功率下，共產生6個橫模，分布在各模上的泵浦功率和輸出功率如表2所示。

表2 10W總泵浦，各橫模功率分布

輸入35 W功率下，共產生8個橫模，分布在其上的泵浦功率和輸出功率如表3所示。

表3 35W總泵浦，各橫模功率分布

輸出的總功率分別為10 W泵浦下1.53 W和35 W 泵浦下11.32 W，與實測值基本吻合［3］。

對照表2和表3，隨著泵浦功率增加，基模與高階模的輸出功率都會增加，但高階模增加的更快。另外各階模的發散角均隨功率增加而增加，這些綜合結果導致激光輸出光斑功率密度在低功率時尖銳的近高斯分布，在高功率時變形為相對平坦但范圍較大的分布，甚至在中央出現凹陷，這已經在實驗中觀察到。

另外，2.1節中的定性分析設泵浦功率密度為恒定，實際計算表明泵浦不均勻時結論也是成立的。

4 結論

通過前面的分析和計算，對激光器中高階橫模對光束功率密度的影響有了定量認識。提高泵浦功率有助于提高輸出總功率，但可能導致光束功率密度下降，對后續非線性泵浦不利。對于存在熱透鏡效應的固體激光器，基模模體積隨著功率增加而減小，使情況更加嚴重。因此必須采取措施抑制高階橫模的產生，同時增大基模的模體積。辦法有設計適當的腔型，采用橫模選擇技術以及適當地調整腔鏡角度等。公式(10)和(12)可為采取這些措施提供指導依據。

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