開放性問題之探究

鄭子諭

近幾年全省各地中考出現了一批符合學生的認識水平和年齡特點，個性獨特設計優美的開放探究題。開放性試題已成為一個熱點問題，為了培養學生的發散思維能力，我們有必要對數學開放題進行研究和實踐。初中數學問題一般可以分成兩大類：一類是封閉性問題，另一類是開放性問題，封閉性問題是已知和結論都有確定要求的問題，而答案不固定或者條件不完備的習題一般則稱為開放題。初中數學開放性問題為學生提供了以自己喜歡的方式解答問題的機會，在實際的解題過程中，學生可以將自己的知識、技能以各種方式相結合，以發現新的思想方法。實踐證明，初中數學開放性試題的教學有助于培養學生的優化意識，提高解決問題的能力，可以使學生更全面地理解數學的本質，體會數學的美感，從而達到素質教育的要求。

一、數學開放性問題具備的特征

1.非完全性

指數學開放型問題的組成因素是不完備的，要么條件不充分，要么結論不完全，要么解題方法和解題依據不明確。

2.不確定性

指數學開放型問題或者條件不確定；或者結論不確定；或者解題方法、解題依據不唯一；或者只給出了一種情景、其條件、解題策略需要解題者在情景中去設定，進而尋求結論。

3.探究性

指解答開放型數學問題沒有傳統的、現成的模式可效仿，必須經過主動探索，認真思考研究，設計解題方案。

4.靈活性

指開放型數學問題的解答方式、解題方法以及答案是靈活多樣的。

5.新穎性與創新性

指數學開放型問題內容、形式的新穎性，對學生素質與能力考查的創新性。

二、常見的開放型問題題型

1.給出結論，沒有給出條件

要解題者自行研究使結論成立的各種必備條件；或對已知條件作出某種刪減或增添，要求解題者歸納出原先給定結論的相應變化。

2.給出條件，沒有給出明確結論或結論不唯一的問題

要解題者探索出結論，必要時給出推理過程或理論說明。

3.方法探索型問題

指解題途徑或解題方法超越常規，要解題者思考合適的解題方法，尋找合理的解題途徑，去探求滿足題意的結論，在這里，特別強調的是，用不完全歸納猜想去尋找共同規律是中考中常考的題型。

4.存在說理探索型

指在一定的前提下，需探索發現某種數學關系是否存在的題目。

5.猜想驗證探究型

指能夠根據題目中的圖形或者數學直觀地發現共同特征，或者發展變化的趨勢，據此去預測、估計它的規律或者其他相關結論。

6.信息遷移型問題

這類問題大多通過定義一個概念，或規定一種運算，或給出一個規則，通過閱讀相關信息，尋找解題方法；或是與其他學科相結合，解決其他學科的相關問題。

7.方案決策探究型

考查數學實踐能力和創新設計才能。

三、開放型問題常見的解法

1.從簡單最特殊情況入手

有時也可借助直接觀察或判斷，從特殊到一般的歸納，從具體到抽象的概括，得出一般性的結論。

2.借助類比手段

通過尋找其類同之處，去推測新結論與類比對象的可能成分，也可以通過分析特征、提出猜想，再進行必要的論證。

3.假設結論存在或成立

若推證無矛盾，則結論確實存在或成立；若推出矛盾，則結論不存在過不成立，這是處理存在型問題的一般模式。

四、常見的解題切入點

1.利用特殊值（特殊點、特殊數量、特殊線段、特殊位置）進行歸納、概括，從而得出規律

2.反演推理

根據假設進行推理，看看推導出矛盾的結果還是能否與已知條件一致。

3.分類討論

當命題的題設和結論不唯一確定時，則需對可能出現的情況做出既不重復、也不遺漏，分門別類地加以討論求解，將不同結論綜合討論歸納得出正確結論。

五、常見題型

1.題型一：條件開放性試題

此類問題的外在形式是針對一個結論，條件未知或不完備，或條件有誤需糾錯，或滿足結論的條件不唯一，條件開放型問題的明顯特征是缺少確定的條件，問題所需補充的條件不是必要的條件，即所需補充的條件不能由結論完全推出。

一般來說，條件開放型問題的標準答案包括：將所缺的條件補充完整和根據自己給出條件形成的封閉題做出完整解答，解此題的基本策略都是執果索因，尋找結論成立的條件，在判斷條件不存在時，常舉反例說明。

例1.如圖1：四邊形ABCD中，AB//CD，要使四邊形ABCD為平行四邊形，則應添加的條件是（添加一個條件即可）。

解析：答案不唯一，可以是：AB=CD或AD//BC等，只要滿足平行四邊形的判定定理即可。

2.題型二：結論的開放與探索

這類問題的主要特征是有條件而無結論，自然地，解題的首要任務是探索結論。基本策略是通過對符號已知條件的特例（如特殊的數值、特殊的圖像、特殊的圖形位置等）或問題的簡單情形的分析研究，考查其規律，猜想其結論然后進行證明。

解決這類問題的方法是根據條件，結合已學的知識、數學思想方法，通過分析、歸納逐步得出結論；或通過觀察、實驗、猜想、論證的方法求解。求解此類問題時，切勿憑空亂想，應仔細對照條件，觀察圖形特征，聯想已學知識、方法或已解決過的問題，全方位、多角度地做全面分析。

例2.如圖2，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦OD⊥CB于點E，交圓于點D。

（1）請寫出三個不同類型的正確結論；

（2）連結CD，設∠CDB=α∠ABC=β，試找出α與β之間的一種關系式并給出證明。

解析：（1）不同類型的正確結論不唯一。（2）結論也不唯一，如若得出α與β的關系式為α>β，證明正確的也判對。

例3.已知一元二次方程有一個根是2，那么，這個方程可以是（填上你認為正確的一個方程即可）。

分析：只要把2代入所給一元二次方程成立即可。

3.題型三：方法探索性試題

這類問題的主要特征是既有開放性，又具有探索性，是典型的綜合題，有方法的探索，還有對規律的探索，以后要加強對教材中探究性問題和研究性問題的重視。

一般來說，題目常分多步，第一步往往較基礎，要解題者思考合適的解題方法，尋找合理的解題途徑，去探求滿足題意的結論；接下來幾步可以看作閱讀理解，可采用類似的方法來處理。

4.題型四：信息遷移型問題

這類題型的特點是設計或定義一個陌生的數學情景。要求考生在理解的基礎上將所學知識和方法靈活地進行遷移。由于數學是學好物理、化學、地理等課程的基礎，因此在近幾年的中考命題中，以其他學科的問題為載體設計的數學問題隨處可見，令人耳目全新。既能體現數學的作用，又能考查學生綜合運用知識的能力，更符合當前課程改革的需要。在今后的中考試題中，信息遷移型問題仍是命題的熱點。

解決此類問題的常用方法：

（1）假設存在，直接推斷；

（2）剖析特例，發現結論（有些比較抽象，規律隱蔽的題目，可通過構造實例進行剖析與比較）；

（3）等價轉化，迂回探索。

5.題型五：方案設計型問題

一般來說，方案設計問題是近幾年全國各地中考命題的熱點，解決此類問題的思路如下：

（1）閱讀理解，即認真閱讀題目，理解題意；

（2）建立模型，即針對題意，完成由實際問題向數學問題的轉化；

（3）模型求解，即運用具備的數學知識，技能和方法，完成對所建模型的解答；

（4）回歸實際，由于數學模型的解答不一定完全符合題的實際意義，所以應根據實際情況給出正確解答。

例4.市政公司為綠化一段沿江風光帶，計劃購買甲、乙兩種樹苗共500株，甲種樹苗每株50元，乙種樹苗每株80元。有關統計表明：甲、乙兩種樹苗的成活率分別為90%和95%。

（1）若購買樹苗共用了28000元，求甲、乙兩種樹苗各多少株？

（2）若購買樹苗的錢不超過34000元，應如何選購樹苗？

（3）若希望這批樹苗的成活率不低于92%，且購買樹苗的費用最低，應如何選購樹苗？

總之，開放性試題緊密聯系生活實際，把生活問題提煉為數學問題，調動生活經驗用于數學問題的創造性活動積極性，以利于學生運用所學知識解決實際問題，體會數學的實用價值，體驗數學知識來源于生活，又服務于生活的真諦。數學開放性問題在促進學生發展方面具有重要意義，有助于培養學生的創造意識和創新能力，以上僅僅是筆者十幾年來教學的心得體會，有不完善的地方還需要在今后的教學中不斷探索、實踐，但我們的目標是堅定的，為培養開放型、創造型人才而努力工作。

參考文獻：

[1]倪高文.試論開放性問題教學策略在初中數學教學中的應用[J].新課程研究：基礎教育，2009（10）.

[2]任志鴻.初中總復習優化訓練教學.學苑出版社，2004-06.