一道曲面積分題目的四種解法

馬志輝

摘 要：給出了一道曲面積分題目的四種解法，洞悉高等數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；曲面積分；解法

The Six Approaches to the Problem of the Surface Integral with Respect to Surface Area

MA Zhihui

（College of Sciences， Shihezi University， Shihezi XinJiang 832000）

Abstract： The four approaches to solve the problem of the surface integral with respect to surface area are given，and we insight into the higher mathematics relation between every part of content， so as to improve the students mathematical quality.

Key words： Higher mathematics； surface integral； solution

高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個誤區(qū)就是”照搬帶公式”，不僅使學(xué)生逐漸喪失學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，而且使其喪失了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意義.所謂的一題多解就是采用不同的方法解決同一問題.追求一題多解，不僅可以洞悉高等數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，最終達(dá)到提高學(xué)生邏輯思維能力、創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力.

例 計算曲面積分

其中∑為：的上側(cè).

解法一 利用第二型曲面積分的性質(zhì).設(shè)∑在和平面的投影分別為Dzx和Dxy，由于∑關(guān)于平面對稱和輪換對稱性知

因此

解法二 利用Gauss公式.因為積分區(qū)域∑不封閉，做輔助曲面

∑1：

取下側(cè)，則∑1與∑構(gòu)成一個封閉曲面去外側(cè)，記它所圍成的空間閉區(qū)域為Ω，由Gauss公式，得

其中是半徑為球的體積的.

因為

于是

解法三 利用兩類曲面積分之間聯(lián)系.由于∑為：的上側(cè)，所以法向量為

所以是有向曲面∑在點處的

法向量的方向余弦.

由兩類曲面積分之間聯(lián)系知

其中是半徑為球的表面積的.

解法四 利用參數(shù)方程.由于積分曲面∑為：為半球面，設(shè)

所以

因此

通過上面四種方法的講解，不但可以使學(xué)生掌握曲面積分計算方法，而且還有利于洞悉高等數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

參考文獻(xiàn)

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