背景風險下基于Mean—Variance的最優(yōu)套期保值比率模型

吳瓊

摘 要：在均值-方差框架下，考慮一個獨立的背景風險對于投資者最優(yōu)套期保值率的影響。證明了背景風險的存在對于投資者的風險態(tài)度具有重要影響，推導出一組條件，在該條件下投資者的投資行為表現的更加謹慎。

關鍵詞：最有套期保值率；均值-方差偏好；背景風險；風險厭惡；謹慎

0 引言

在瞬息萬變的金融市場中，為了規(guī)避現貨市場價格的波動性帶來的風險，投資者通常選擇持有一定數量期貨合約，以對沖這種可能的風險。因而，套期保值是期貨市場存在的重要原因和基礎。而在套期保值過程中，投資者如何選擇最優(yōu)期貨和現貨數量比，從而把可能面臨的風險降到最低是一個至關重要的問題。如何來確定最優(yōu)的套期保值比率一直以來是學界和業(yè)界關心的熱點問題，國內外很多學者也使用不同的方法來確定最優(yōu)套期保值比率。Chen（2003）對于相關文獻進行詳盡的梳理。

在現有大部分套期保值模型中，通常假定金融市場是完全的，也就是說所有的風險都可以控制和對沖的，而現實金融市場并非如此。在文獻中通常把這類無法交易無法對沖的風險稱為"背景風險"（Background Risk），背景風險的存在使得投資決策問題變得更加復雜，也對投資者的投資行為產生極大影響。因此，近年來有關背景風險的研究也逐漸成為金融學研究的熱點問題。由此衍生出更多風險厭惡的概念，例如：適當風險厭惡（Proper Risk Aversion），標準風險厭惡（Standard Risk Aversion），風險敏感性（Risk Vulnerability）。這些概念都是建立在期望效用框架下。最近，Wagener，Lajeri-Chaherli等學者將這些概念引人到均值-方差效用框架下。

然而，在背景風險存在情形下，投資者的套期保值行為會有何種變化？至今仍然沒有相關文獻對其進行討論。而本文的主要的目的，是考慮一個"不可取"（Undesirable）的背景風險的存在，如何影響投資者的套期保值行為。

1 背景風險下均值-方差套期保值模型

由于現貨價格的波動或許給投資者帶來一定的損失，為了規(guī)避這種風險，投資者試圖通過一定數量期貨合約來對沖風險，假定他持有Cs單位現貨的多頭頭寸，同時持有Cf單位的空頭期貨合約，假定現貨和期貨的在t期時的價格分別是St和Ft，則套期資產組合的回報為：

R■=■=R■-hR■ （1）

然而，投資者或許面臨著一個無法控制的背景風險B，文獻中通常假定背景風險是"不可取的"（undesirable），即它的均值滿足？滋■<0。因此其套期資產組合為：

R■=R■-hR■+？姿B （2）

其中，參數？姿是一個正實數，引入該參數僅僅是為了便于討論背景風險B對于投資者套期保值行為的影響。套期組合對應的期望？滋■h和方差？滓■■h分別為：

？滋■h=？滋R■-h？滋■+？姿？滋■ （3）

？滓■■h=？滓■■+h■？滓■■-2h？滓■+？姿■？滓■■ （4）

顯然，？滋■h和？滓■■h都是套期保值率h的函數。

假定投資具有均值-方差偏好U？滋■h，？滓■R■■h，則投資者決策問題是：

■U？滋■h，？滓■R■■h （5）

這里二元函數U？滋，？滓■ 是二階連續(xù)可微的，并且是？滋，？滓■的凹函數，此外我們假定它滿足下列性質：

iU■？滋，？滓■<0，iiU■？滋，？滓■>0 （6）

這兩個性質充分反應了投資者的風險厭惡態(tài)度，因為它暗示在（？滋，？滓■）平面上，投資者的無差異曲線是向上傾斜的，在均值-方差框架下Ormiston and Schlee，Wagener，Lajeri-Chaherli等人定義了類似期望效用框架下的"絕對風險厭惡系數"，具體如下：

？琢？滋，？滓■=-■ （7）

它代表了無差異曲線的斜率。

最優(yōu)選擇問題（7）的一階條件為：

■=-？滋R■U■？滋■h，？滓■■h+2h？滓■■-？滓R■R■U■？滋■h，？滓■■h （8）

下面討論，背景風險對于投資者的最優(yōu)套期保值比率的影響。

2 主要結果

用h*表示方差最小化標準下的最優(yōu)套期保值比率；■*表示背景風險不存在情形下，具有均值-方差偏好投資者的最優(yōu)套期保值比率；而符號■■■？姿表示存在背景風險B情形下的最優(yōu)套期保值比率。根據一階條件（10），我們有如下結論：

定理1：最優(yōu)套期保值比率h*、■* 和■■■？姿滿足下列不等式：（1）■*≤h*；（2）■■■？姿≤h*，其中h*=■。

證明：僅僅需要證明（2），由（4）式子可知，當h=■時候，■=2h？滓■■-2？滓■R■R■=0

從而h*=■。由于U？滋，？滓■ 是（？滋，？滓■）的凹函數，從而U■<0，U■<0和U■>0，對于（8）式關于h求導可知，U？滋，？滓■是h的凹函數。將h*=■帶入（6）式可知：

■|h*=-？滋■U■？滋Rhh*，？滓■■h*<0

由U？滋h，？滓■h的凹性可知：■■■≤h* 。

Q.E.D.

定理1表明，在一般均值-方差偏好下，投資持有的最優(yōu)套期保值率小于方差最小化標準下的最優(yōu)套期保值率。下面討論背景風險對于投資者套期保值策略的影響。以■■■？姿表示參數為？姿時，投資者選擇的最優(yōu)套期保值率。

定理：2：當投資者的風險厭惡系數？琢？滋，？滓■0 ？琢■滿足條件： ？琢■？滋，？滓■≤，？滋，？滓■≥0，最優(yōu)套期保值比率滿足：■■■？姿≤■■？姿。

證明：當？姿>0時候，■■■？姿表示背景風險存在情形下，投資者的最優(yōu)套期保值比率。將一階條件（10）改寫為以下形式：

Th*■■？姿，？姿，？滋■，？滓■■=■-？琢？滋■h*■？姿，？滓■■h*■？姿=0

在等式兩端關于參數？姿求偏導可得：

■=-？琢■？滋■h*■？姿，？滓■■h*■？姿？滋■-？姿？琢■？滋■h*■？姿，？滓■■h*■？姿？滓■■

由假設背景風險B是"不可取的"，從而滿？滋■<0。由題設條件？琢■（？滋，？滓■）≤0和？琢？滓■（？滋，？滓■）≥0可知：■≤0。

由函數U？滋h，？滓■h是h的凹函數可知：

■≤0

由隱函數定理可知：■=-■≤0

因此在題設條件下，h*■？姿 是？姿的減函數。所以當？姿>0 時，有■*■？姿≤■*■0=■*。

Q.E.D.

定理2中的條件：？琢■（？滋，？滓■）≤0和？琢■（？滋，？滓■）≥0，被Wagener，Lajeri-Chaherli等人提出，等價于均值-方差框架下的"風險敏感性"（Risk Vulnerability）。定理2表明，當投資者具有"風險敏感性"時，他所選擇的最優(yōu)套期保值比率更低，其投資行為更加保守。

3 結論

本文在一般的均值-方差框架下，討論了背景風險的存在對于投資者套期保值策略的影響。當具有均值-方差偏好的投資者，展現出"風險敏感性"時，他所持有的最優(yōu)套期保值比率小于背景風險不存在時的情形。

本文僅僅是從理論上，對于背景風險下的套期保值問題進行討論，然而并未進行相關的實證檢驗。未來的工作，我將致力于該問題。

參考文獻：

[1] T. Eichner， "Mean variance vulnerability"， Management Science， vol.54， no.3 ，2008 ，pp.586-593.

[2] F. Lajeri-Chaherli， F and L.T. Nielsen，`` Parametric characterizations of risk aversion and prudence， Economic Theory， vol.15， no.2， 2000， pp.469-476.

[3] A. Wagener， ``Prudence and risk vulnerability in two-moment decision models"， Economics Letters， vol.74， no.2， 2002，pp.229-235.

[4] M. B. Ormiston， and E. E. Schlee， `` Mean-variance preferences and investor behaviour"， The Economic Journal， vol.111， no.474， 2001，pp.849-861.

[5] F. Lajeri-Chaherli， `` More on properness： the case of mean-variance preferences"， The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory， vol.27， no.1， pp.49-60， 2002.

[6] T. Eichner and A.Wagener， ``Multiple risks and mean-variance preferences"， Operations Research， vol.57， 2009 ，pp.1142-1154.

[7] T. Eichner and A.Wagener， `` Variance vulnerability， background risks， and mean-vaiance preferences"， The Geneva Papers on Risk and Insureance Theory， vol.28， no.2， 2003 ，pp.173-184.

[8]柴尚蕾，郭崇慧. 基于Mean-CVaR 約束的股指期貨動態(tài)套期保值模型研究 [J]. 管理工程學報， 2012，26（2）： 141-148.

[9] Sheng-Syan Chen， Cheng-few Lee and Keshab Shrestha. Futures hedges ratio： a review[J]. The Quarterly Review of Economics and Finance， 2003，43：433-465.

[10] 遲國泰，趙廣軍，楊中原. 基于CVaR的期貨最優(yōu)套期比率模型及應用[J]. 系統(tǒng)管理學報， 2009， 18（1）：27-33.

本文感謝江西省教育廳科技課題（GJJ14726）和九江學院校級課題（8899209）的支持。