小學數學錯例的價值研究及運用初探

田武彬+范立軍

摘 要：“數學思考”是新修訂的全日制義務教育數學課程標準的四大課程目標之一，是學生受到良好數學教育的標志，它對學生的全面、持續、和諧發展有著重要的意義。數學思考亦即數學思維，指以數學知識方法為載體的思維活動過程。真實的課堂不存在完全正確的答案，課堂中的錯誤往往是學生最樸實的想法，其中蘊含著對問題的思考，也不乏智慧的閃光點。對于學生在課堂上出現的錯誤，教師可以通過預設錯誤、利用錯誤、制造錯誤和經歷來發展培養學生的數學思考能力。

關鍵詞：研究錯誤；數學思考；策略探尋

課堂是出錯的地方，學生的錯誤是難免的，又是合理的。新課程教學呼喚學生“自主、合作、探究”地學習，而實實在在的探究必然伴隨大量錯誤的生成。可是在現實的數學教學中，教師常常滿足于學生的一帆風順，視學生的錯誤為洪水猛獸，想方設法以言堵之，結果堵住了學生的錯，也堵住了學生的數學思考。尤為可惜的是，錯例蘊含的教學價值沒有得到充分認識和運用。如果能挖掘數學錯例中的價值，合理利用學生的錯誤資源，并以此來培養學生的數學思考能力，那豈不是有了“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的效果？這樣既糾正了學生的錯誤，又落實了課程目標，一舉兩得，何樂而不為？

一、預設“錯誤”，使數學思考能“未雨綢繆”

教師需要煉就一雙慧眼，在教材中，在課堂教學中估計學生易犯的錯誤，善于發現錯誤背后隱藏的教學價值，引領學生從錯誤中進行數學思考。

1.在深挖教材的基礎上預設錯誤

教師要深入讀懂習題，把握習題，能根據習題挖掘出學生錯誤的原因和背后的難點，搞清知識結構的關系，弄明白教材內容反映在學生主體上會產生哪些可能，提前預設學生可能出現哪些錯誤，做到心中有數。

教材“用‘進一法和‘去尾法解決問題”的練習中有這樣一道習題：“在一個長7分米、寬5分米的長方形紙上，要剪出邊長是2分米的正方形，最多能剪出這樣的正方形多少個？”大部分學生面對這個問題會這樣來解決：7×5=35（平方米），2×2=4（平方米），35÷4=8（個）……3（平方米）。答：最多能剪出這樣的正方形8個。

從這題的錯誤來看，學生對計算結果應“進一”還是“去尾”的判斷都是正確的，說明本節課的教學目標的達成效度還是比較高的。但面對著學生的這個普遍性的錯誤，教師若能引導學生在做題前先通過動筆畫一畫來理解題意的話，能正確解答的學生就會增多。

2.在讀懂學生的基礎上預設錯誤

在課堂上，教師要具備為學生服務的意識。只有切實傾聽學生的聲音，尊重學生的發現和問題，才能引領學生從錯誤中求知，在錯誤中探索。

如在教學軸對稱圖形時，出示已學過的平面圖形，讓學生說說它們是不是軸對稱圖形？

生：我認為平行四邊形是軸對稱圖形。因為只要把右邊的三角形剪下來，拼在左邊的三角形下面，它就成了一個長方形，變成長方形之后，把它對折當中的那條線就是軸。它左右兩邊就相同了，它就叫軸對稱圖形。

師：挺有道理。你想發表不同意見？說說！

生：我覺得平行四邊形不是軸對稱圖形，因為它對折之后，兩邊的圖形沒有完全重合，所以不是軸對稱圖形。

師：好了，不多說了，兩種觀點，怎么辦？這樣，教師先了解一下，好不好？認為平行四邊形不是軸對稱圖形的舉手。（生舉手。）

師：手放下。認為平行四邊形是軸對稱圖形的舉個手。

師：平分秋色，還有一個男同學舉了兩次手，搖擺不定，沒事，現在既然是勢均力敵，各方擺出自己的觀點，這樣，認為是的同學亮出你的觀點，認為不是的再次亮出你的觀點。好不好？你認為它不是，你的理由是什么？教師這可以給你提供一個大一點的，以為教師發現你想拿是吧！就幾個男同學想說，你想說就說吧！

生：因為我把這個平行四邊形對折后，它沒有完全重合，所以我覺得它不是平行四邊形。

師：聽起來多有道理啊！反方，還有舉手啊！你說，哦！你說過了，保留一點好不好！但是你怎么反駁她，她說給它一點不就好了嗎？

生：我認為平行四邊形只是面積相同，而不是軸對稱圖形。

師：你的意思是把它剪成長方形以后只是面積相等，但是圖形的一些性質可能發生變化，是這樣嗎？可以保留你的意見，你繼續說。

生：以為把那個角剪切后它不再是平行四邊形而是長方形。所以我認為平行四邊形不是軸對稱圖形。

師：你的發言中有閃光的地方，也有一些小問題。先說你的問題好嗎？平行四邊形割成長方形后是平行四邊形嗎？想想平行四邊形是長方形嗎？長方形還是平行四邊形，但是你的發言當中可貴的一點是：你的意思是我們探討的是這個平行四邊形的特征，而不是改裝以后的其他圖形的特性，是這意思嗎？

師：如果我們就認為指定這個平行四邊形，你怎么看，你還認為他是軸對稱圖形嗎？說說你的想法就是了。

生：如果單講這個平行四邊形的話，不能裁剪了，就不是軸對稱圖形。

師：其余同學，你們同意嗎？

生：同意。

師：你的退讓，讓我們又進一步接近了真理，謝謝！沒錯！我發現正反兩方其實都是非常好的觀點，但是，當我們把目光聚焦在這個平行四邊形上的時候，請問，這個平行四邊形它是不是軸對稱圖形？

生：不是。

……

學生在教師的鼓勵下，思考發言更準確和精彩了，數學思考的嚴密性在這里體現無疑。試想：學生說平行四邊形是軸對稱圖形時，教師如果立即否定這是錯誤的，如果教師沒有具備如何去讀懂學生的意識，沒有去傾聽學生是如何思考方式的意識，學生就不會真正理解知識的內涵和外延了。

二、利用“錯誤”，使數學思考能“因勢利導”

錯誤是正確的先導，是通向成功的階梯，有時更是創新火花的閃現。教師在教學中要善于把握機會，要創造性地對待學生的“錯誤”，讓學生在糾錯的過程培養學習的興趣，從錯誤中獲得更多更完美的知識。

1.利用錯誤資源，激發學習興趣

新數學課程標準指出，“要關注學生在數學活動中所表現出來的情感與態度，幫助學生認識自我，建立自信心”。良好的數學情感與態度是學生參與數學活動的重要動力，是克服困難和探索創新的力量源泉。來源于學生學習過程的錯誤資源最貼近學生，學生對來自于自身的錯誤本身就存在很強的好奇心，這比教師硬塞給他們幾個問題要有用得多。所以只要合理利用“錯誤資源”，就能較好地促進學生情感的發展，對激發學生的學習興趣，喚起學生的求知欲具有特殊的作用。

2.利用錯誤資源，培養創造思維

數學是思維的體操。如果教師能在平時的教學中很好地利用學生的錯誤資源，使其能更好地為學生創造性思維的培養服務，這無疑將是一舉兩得的事。

這是一節“打電話”的數學實踐課。學生興致盎然地學完了新課知識后，教師讓學生完成這樣一道題目：打電話給129位同學最少需要多少分鐘？絕大多數同學都認為最少需要用8分鐘，這時，有一個學生卻站起來說：“教師，不對，應該是7.5分鐘。”“不，是8分鐘”，“7.5分鐘”……就這樣，一石激起千層浪，瞬間，教室里響起了爭論聲，成了一場“數學辯論會”。爭了半分鐘左右，學生才停了下來。既然有學生提了不同意見，何不將學生拋過來的球再拋給學生，讓出現的問題轉化成一種教學的資源，讓學生主動去探究呢？教師微笑著對學生說：“請大家安靜，想想，7分鐘后可以通知多少位同學，還剩下多少位同學沒有通知到，小組演示一下，看看有沒有結果？”“有！”同學們異口同聲地說。“那就請大家以四人小組為單位研究一下吧。”過了一分多鐘，有學生叫了起來：“老師，確實是8分鐘呀！”“是8分鐘！”全班學生異口同聲，都已經有了肯定的結論。“你們是怎么知道只要花8分鐘呢？能跟大家說說嗎？”教師讓第一個說7.5分鐘的同學回答。“老師，我們小組是將通過模擬打電話的方法得知的。”說完，他當場演示了一番。

教師在課堂中，應該靈活地處理學生隨機出現的錯誤，引導學生從不同角度去修正錯誤，訓練學生的思維創新能力，引導學生全方位審視條件、問題、結論之間的內在聯系，這是培養學生創造性思維的一種有效辦法。

三、制造“錯誤”，使數學思考能“欲擒故縱”

教師在課堂中巧妙地制造錯誤，給學生創設良好的思維空間，引導學生多角度思考，全方位審視條件、問題、結論之間的內在聯系，這是深化認識、培養學生“數學思考”的有效辦法。

1.制造錯誤，拓寬數學思考的深度

如在教學行程問題時，教師有意設計了一道練習題：“在一條公路上有相距1000米的兩個村莊，小紅和小明同時從兩村出發。小明每分鐘行100米，小紅每分鐘行80米，5分鐘后兩人相距多少米？”結果會有學生說這道題出得有問題，缺少行走方向這個條件，不能解。這時教師答道：“確實差這個條件，謝謝細心的同學及時發現并提出來。現在你將怎樣設計兩人的行走方向呢？請你們先設計兩人的行走方向，再計算兩人相距多少米，行嗎？”“然后小組合作，比一比哪組設計的情況多。”

生1：同向左行，列式為1000-（100-80）×5

生2：相向而行，列式為1000-（100+80）×5

生3：同向右行，列式為1000+（100-80）×5

生4：背向而行，列式為1000+（100+80）×5

正是教師蹲下身來的真誠和精心制造的“錯誤”，為學生的學習營造了寬松的環境，營造了探究的思維空間，生成了課堂的精彩，延伸了教學內容，發展了學生“數學思考”的深度和廣度。

2.制造錯誤，展現數學思考的趣味

這是一節“三角形的分類”，由學生按角把三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形后，教師安排了“認三角形”的練習“猜一猜”：只露出三角形一個角，另外兩個角遮住。巧妙的是教師先讓學生猜只露出一個直角、一個鈍角的三角形。學生根據三角形中只能有一個直角或鈍角，很快就猜對了這兩個三角形。這時，教師又出示了個銳角，學生都說是銳角三角形。教師再問一次：“沒有別的意見嗎？”學生又齊答“沒有！”教師叫起一名學生問其原因，他回答：“因為露出的是銳角，所以肯定是銳角三角形。”教師對他說：“好，那么就一起來把這個三角形叫出來！”教師點擊鼠標，一個直角三角形躍入眼簾。幾秒的驚訝與沉寂過后，學生明白了：每種三角形都至少有兩個銳角，所以憑一個銳角是不能判斷它是什么三角形的。

在這個過程中，教師通過故意制造錯誤，讓學生充分暴露錯誤，也讓學生自己能不斷認識錯誤，糾正錯誤，完善概念的本質，體會數學思考的嚴密性，感受數學思考的趣味性。

正確，可能只是一種模仿；而錯誤，卻絕對是一種經歷。教師需要始終站在關注學生發展需求的角度來審視自己的教學行為，去追尋學生思維發展的有效途徑，挖掘隱藏在教材中的數學思考，捕捉學生錯誤中所所蘊含的數學思考。

參考文獻：

[1]劉娟娟.有效教學——小學數學教學中的問題與對策[M].長春：東北師范大學出版社，2007.

[2]張秋爽.讀懂學生，反思自我——三道期末考試題的剖析[J].教學月刊（小學數學），2010（10）.