基于ANSYS的高加速度轉子部件輪廓拓撲優化研究

王成林，李曉杰

（北京物資學院，北京 101149）

0 引言

拓撲優化主要目的是致力于尋求優化結構的某些性能或減輕結構重量的途徑。20世紀80年代，程耿東[1]在彈性板的最優厚度分布研究中首次將最優拓撲問題轉化為尺寸優化問題；Bendsoe和Kikuchi發表的基于均勻化理論的結構拓撲優化設計，引入單胞微結構，使結構的拓撲優化研究對象從離散體轉入到連續體，開創了連續體結構拓撲優化設計研究的新局面[2]；后續研究有新型優化準則類COC算法、非線性規劃法、漸進結構優化法、ICM方法、ESO法、遺傳算法、改進遺傳算法等來求解結構的拓撲優化設計問題。

隨著形狀優化和尺寸優化設計的不斷成熟與完善，拓撲優化逐漸成為結構優化設計的研究熱點與難點問題，利用拓撲優化方法處理各類工程問題，尤其在水利工程以及橋梁設計中應用的十分廣泛，但是在轉子部件輪廓優化上的應用卻十分少見。

1 拓撲優化理論

1.1 拓撲優化的理論依據

拓撲優化主要是指形狀優化或外型優化，其優化目標主要是尋找承受單載荷或多載荷物體的最佳材料分配方案[3]。將其應用到轉子部件的設計中，可以縮短設計周期，顯著提高設計質量。優化問題可以表述為在特定域中滿足一定的約束條件下，選取適當的變量X，使得目標函數 達到最優解[4]，一般拓撲優化數學模型表達為：

拓撲優化中研究比較充分的優化模型為結構柔順度最小模型，這種模型在拓撲優化中表現為“最小結構柔順度”問題，即通常構造為在指定設計域內及給定材料體積（或結構重量）約束下的最小柔順度（或最小應變能、最大剛度）的優化設計[6]。因此，以結構柔順度為優化目標的拓撲優化模型可表示為：

式中，C為結構柔順度矩陣，K為剛度矩陣，u是節點位移矢量，P是節點載荷矢量，V為實際材料用量，V0為設計域，θ為體積優化百分比（材料體積與設計域體積的比值）。

1.2 拓撲優化的設計流程

對轉子部件外輪廓進行拓撲優化設計時，主要流程如圖1所示。

圖1 拓撲優化分析流程

建立轉子部件的初始幾何模型，在有限元分析軟件中，進行網格劃分，然后對劃分好的有限元模型，施加載荷和約束條件，設定拓撲優化的目標函數和約束函數，進行優化計算，之后對優化結果的收斂性進行判斷，最后提取優化結果[7]。

2 轉子部件拓撲優化算例分析

2.1 轉子部件基本參數設置

高加速度旋轉實驗廣泛應用于高速加工制造、清潔能源、生物工程、綠色物流等諸多技術領域，本文所涉高加速度承載實驗臺轉子部件的直徑長度為120mm，厚度為40mm，承載加速度值為150,000g，轉速為46980.92r/min，角速度為4917rad/s。綜合考慮材料的密度、許用應力、加工難易度等因素，選用TC4合金作為分析對象，其密度是4450kg/m3，彈性模量為110GPa，泊松比為0.34，許用應力極值為830MPa。在設定工作條件下對具有一定承載及裝配結構（如安裝孔）的轉子部件進行拓撲優化分析，從而獲得轉子部件周向輪廓一般優化方案。優化對象中具有兩個安裝孔的轉子部件模型如圖2（a）所示。在既定工作條件下轉子部件的應力分布云圖如圖2（b）所示，由于轉子部件的約束載荷位置和特殊結構形式所致，應力極值出現于安裝孔內，靠近回轉軸線位置。

圖2 轉子部件結構模型及應力分布云圖

2.2 轉子部件載荷、約束施加方式及結果分析

轉子部件施加載荷之前，整體劃分單元網格，為保證實驗器件安裝位置，設定安裝孔及轉軸不參與拓撲優化，其他正常參與拓撲優化。根據轉子部件工作情況，其載荷及約束分布如圖3所示。

圖3 轉子部件載荷及約束分布

載荷及約束施加完成后，進行以結構柔順度極小為目標的結構拓撲優化。本文設置結構柔順度為目標函數，取其極小值為最優結果；以體積為設計變量，通過拓撲優化減少材料體積的50%；迭代次數為30次；收斂公差為0.00001。通過查看結構柔順度收斂曲線，來判斷優化結果是否收斂。具有兩個安裝孔的轉子部件結構柔順度收斂曲線如圖4（a)所示，橫坐標為迭代次數，縱坐標為結構柔順度，曲線穩定收斂，拓撲優化成功；提取偽密度值為0.8至1.0之間的拓撲結果，優化后轉子部件結構圖如圖4（b）所示，在高加速度載荷的作用下，周向輪廓呈橢圓形的結構可有效的降低結構柔順度。

圖4 具有兩個安裝孔的轉子部件拓撲優化結果

具有三個安裝孔的轉子部件結構柔順度收斂曲線如圖5（a）所示；提取偽密度值為0.8至1.0之間的拓撲結果，優化后轉子部件結構圖如圖5（b） 所示，在高加速度載荷的作用下，周向輪廓呈近似三角形形狀且三邊均向遠離軸心方向外凸。

圖5 具有三個安裝孔的轉子部件拓撲優化結果

具有四個安裝孔的轉子部件結構柔順度收斂曲線如圖6（a）所示；提取偽密度值為0.8至1.0之間的拓撲結果，優化后轉子部件結構圖如圖6（b）所示，在高加速度載荷的作用下，周向輪廓呈近似四邊形形狀且四邊均向靠近軸心方向內凹。

圖6 具有四個安裝孔的轉子部件拓撲優化結果

結合圖2（b）轉子部件應力分布云圖，通過以上結果可以得出進行以結構柔順度極小為目標的結構拓撲優化的一般優化規律：轉子部件安裝孔及轉軸等結構為設備功能實現結構并且所承載應力較大，因此不進行優化；將轉子部件周向遠離安裝孔的部分視為輔助支撐轉子部件的位置，由于并不具備功能實現需求且所承受應力較小，因此可以對該位置體積進行適當的控制以達到優化目的。優化結構的徑向尺寸變化規律近似服從于以任意安裝孔所在徑向位置為零點的余弦函數變化規律：

其中，y值為轉子部件徑向長度；為從起點所轉過角度；n為安裝孔數；為轉子部件徑向最大長度，取在安裝孔所處位置；為轉子部件徑向最短距離，取在相鄰兩安裝孔構成的圓心角角分線上；為轉子部件轉軸半徑。此轉子部件外輪廓優化結構，可以有效地降低轉子部件柔順度，提高其力學性能。

2.3 轉子部件拓撲優化結果分析

利用拓撲優化的原理，對轉子部件進行力學性能優化時主要采取的方法是控制轉子部件無承載及裝配需求結構的體積，對于該優化方案的可靠程度還需進行有限元分析計算，從而確定其優化效果的優劣。本文僅針對具有兩個安裝孔的轉子部件進行對比計算，以表1所示轉子部件優化前輪廓主要參數作為基本參數，取模型的1/2進行有限元仿真，仿真結果如圖7所示。

表1 優化前轉子部件輪廓參數表

圖7 優化前等效應力、應變云圖

由圖7（a）可知，應力最大值出現在孔的邊沿靠近軸一側的位置，其最大值為255MPa，轉子部件心部應力值為171MPa，由圖7（b）可知，最大應變同樣出現在孔的邊沿，大小為0.002345。根據拓撲結果對轉子的外輪廓幾何參數進行優化，優化后的參數如表2所示。

表2 優化后轉子部件輪廓參數表

采用表2所示參數進行轉子有限元仿真，仿真結果如圖8所示，由圖8（a）可知，應力最大值出現位置發生變化，出現在轉子盤與安裝軸連接處，最大值減小到239MPa，這主要是由于結構非圓滑過渡導致應力集中所引起，通過設置倒角等結構或多維度結構優化可以有效控制該處的應力集中；而轉子部件心部最大應力值為133MPa，與傳統圓盤轉子部件相比其心部應力值降低22%，有較好的優化效果；由圖8（b）可知，最大應變相對值也減小到0.002174，降低了7%。

圖8 優化后等效應力、應變云圖

本文僅對具有兩個安裝孔的轉子部件徑向輪廓優化前后進行對比計算，由于轉子部件應力極值出現于安裝孔內靠近回轉軸線位置，其力學性能隨孔的回轉半徑、孔深以及孔徑有關，外輪廓的改變對該處的影響不大[8]，因此從轉子部件中心處應力極值降低22%可以看出，該拓撲結構對轉子部件力學性能有很大的提升，優化效果明顯。

3 轉子部件拓撲結構外輪廓主要參數影響分析

影響轉子部件力學特性的因素主要包括幾何參數、輪廓形狀、制造誤差、工況參數等。本文根據拓撲優化結果，以具有兩個安裝孔的轉子部件為例，在不考慮其他因素情況下，僅分析轉子部件周向輪廓形狀對于優化結果的影響。建立周向輪廓為橢圓形模型，外輪廓主要參數為長徑、短徑值，橢圓外輪廓曲率的變化亦隨長短徑的比值變化而變化。本文取具有安裝孔結構的徑向尺寸為長軸定為a，取與之垂直的徑向尺寸為短軸定義為b，取模型的1/2進行分析，其他參數不變，圖8為短徑與長徑比值為0.5時轉子部件應力、應變云圖；

根據拓撲優化結果，安排有限元分析實驗，實驗數據安排及對應應力分析結果如表3所示。根據實驗結果繪制影響曲線，部分實驗數據如圖8所示。

表3 徑向橢圓輪廓主要參數有限元分析實驗數據

圖9為短徑與長徑之比對應力極值影響曲線圖。

圖9 短徑與長徑之比對應力極值影響曲線

由圖9可知，轉子部件心部最大應力值與b/a的值呈正相關關系，b/a的值由1.0逐步降低，轉子部件心部的最大應力值呈現較顯著的優化效果，水平軸坐標從0.8～1.0區間，b/a的值減少1/5對應應力極值降低近13%。隨著b/a的值逐步降低，優化效果趨于平緩，至時，邊際效應趨于零，此時降低b/a的值對于應力值的影響并不顯著，因此在進行轉子部件橢圓輪廓優化時，根據優化結果以及加工的難易程度、成本等因素，確定主要結構參數時宜選擇長徑為短徑的二倍這一數量關系，從而實現相對優化效果。

4 結束語

建立了轉子部件的三維實體模型，在ANSYS軟件中進行求解分析，進行了周向輪廓拓撲優化設計，得到了與其相應的拓撲優化圖，并對輪廓主要參數進行分析得；

通過多組拓撲優化結果得出對承載應力較小、無裝配及工作要求的轉子部分結構進行優化，以降低轉子部件結構柔順度的外輪廓結構優化方法。對比具有兩個安裝孔結構的轉子部件優化結果得拓撲優化結果可以獲得較好的力學性能優化效果，針對周向輪廓為橢圓形轉子部件分析，其輪廓主要參數對部件力學性能有著顯著影響，短徑與長徑比值對部件心部應力值的影響呈顯著的非線性相關關系。因此在進行周向輪廓優化時應注意選取適當最大徑向長度與最小徑向長度的比值。

[1]Cheng K T, Olhoff N.An investigation concerning optimal design of solid elastic plates[J].International Journal of Solids and Structures,1981,17(3):305-323.

[2]Bends e M P, Kikuchi N.Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method[J].Computer methods in applied mechanics and engineering,1988,71(2):197-224.

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[4]Wang Y,Chen X,Liu Q,et al.Optimisation of machining fixture layout under multi-constraints[J].International Journal of Machine Tools and Manufacture,2006,46(12):1291-1300.

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[8]王成林,李廣龍,李曉杰.基于ANSYS的高加速度旋轉實驗轉子部件形狀優化研究[J].制造業自動化,2013,35(11):115-118.