在概念學習過程中掌握數學方法

解克勤

【摘 要】概念的教學過程應該精心設計，重點放在概念的形成過程上，并通過應用使概念的感性基礎得到充實。只有充分挖掘、拓展數學概念，才能將“死”知識變成“活”內容，從而激發學生興趣，拓展學生思維，達到理想的教學效果。

【關鍵詞】概念形成 了解方法 形成能力

一、對數學概念學習效果的反思

數學能力是建立在掌握的數學基本知識基礎上的，因此，基礎知識中概念的學習就顯得更加重要。概念是數學內容的基本點，是導出定理、公式、法則的出發點，是建立數學理論系統的著眼點，是數學學習的核心。由于多年應試教育，我們在教學過程中，以填鴨式的教學模式為主，概念只作簡單介紹，因此我們有必要對數學概念的學習重新認識、重新定位，還數學概念在數學學習中原本的地位。

二、數學概念有效學習的過程分析

學生學習數學概念的三種基本形式是：概念的形成、概念的同化、概念的形成與同化比較結合。

1.概念的形成。

在用概念形成的方式進行概念教學時，必須扎實地引導學生在概念形成過程中的每一個步驟，為學生揭示所涉及的數學思想、方法，建立新的概念，以培養學生的數學思想。

2.概念的同化。

在概念同化教學時，應該開動學生的智力，拓展概念的內涵與外延，給學生提供應用概念推理論證的機會，讓學生利用自己已有的認知結構對概念進行重新建構。

3.概念的形成與同化比較結合。

在數學概念的實際學習過程中，概念的形成與概念的同化這兩種方式往往是結合使用的。這既符合學生學習概念時由具體到抽象的認知規律，又能使學生在較短的時間內較快地理解概念所反映的事物的本質屬性，掌握數學概念背后的豐富事實，提高學習概念的有效性。

三、例談數學概念學習過程中對數學思想、方法的認識

數學概念學習的目的不是為了得到一個數學概念，了解一個知識點，而是充分挖掘和利用在概念產生的過程中蘊涵的許多數學條件與思想方法。這對掌握數學知識、形成數學能力、拓寬解題方法思路會有很大的幫助。

1.充分理解概念的限制條件，正確應用解題。

很多數學概念在定義的過程中都有一定的限制條件，而這些限制條件是解決數學問題首先要考慮的，否則容易擴大定義的范圍，得出錯誤的結論。

如函數的定義域的問題：

（1）判斷y=的奇偶性。

分析：先求函數定義域-1≤x<0或0

（2）求函數y=log（12x-27-x2）的單調增區間。

有學生將原式化為y=log[-（x-6）2+9]，然后得到函數的單調增區間為[6，+∞）。其實這是一個錯誤的答案。因為原函數中先討論：12x-27-x2>0，解得函數的定義域為（3，9）。單調性討論應在這個范圍內進行，單調增區間應為[6，9）。

2.用概念產生過程中所隱含的“定義方法”解題。

有一些數學概念是一種方法性的定義，在解決定義的同時也提供了解決相關問題的一些方法，如能正確加以應用，問題便可迎刃而解。如：

（1）對立事件的定義反映了思考問題的正反二重性，即解決數學問題時常用的“正難則反”原則，例如：三人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為 ，則能夠將此密碼譯出的概率為 。

分析：直接求法：至少一人譯出即可，要分七種情況討論，比較繁瑣。

間接求法：由對立事件可知，密碼譯出事件A的對立事件是 （譯不出密碼）。

可求得：P（A）=··=，P（A）=1-P（A）=。

（2）單調函數概念的定義表述是：設函數f（x）的定義域為I，如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1f（x2），那么就說f（x）在這個區間上是減函數。

我們可根據定義總結出判斷函數單調性的操作方法：

第一步：設給定區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，且不妨設x1

（3）圓的參數方程的定義中所顯示的換元法。圓的參數方程不只是圓的一個表達式，它還提供給我們三角換元的解題方法，例如：已知x2+y2=4，求x+y，xy的取值范圍。

分析：此題方法較多，但三角換元求解是比較簡單的方法。

設x=2cosα，y=2sinα則x+y=2cosα+2sinα=2sin（α+），則x+y∈[-2，2]，xy=2cosα·2sinα=2sin2α，則xy∈[-2，2]。

3.利用概念定義中所隱含的數學思想方法解題。

數學概念定義的產生有其復雜的歷史背景，其中不乏大量的數學思想方法，有些定義中的數學思想方法往往是解決數學問題的關鍵所在，如能靈活地進行運用，便能迅速地找到解決問題的入手點。如：

（1）二項式系數產生的證明過程，轉化為組合求解，可用類比的方法解決下列問題。

如：求（2a-b+3c）2的展開式中a2b2c2的系數。

可將原式類似寫成：（2a-b+3c）6=（2a-b+3c）……（2a-b+3c）的六式相乘，則a含項的產生是由六式中任意兩式里取含a的項，剩下的四式中任意兩式里取含b的項，最后兩式里取含c的項，應用組合相關知識寫出式子：（2a）（-b）（3c）2=1080a2b2c2，則a2b2c2的系數為1080。

（2）絕對值概念中所含的數形結合思想。

一個數（式）絕對值除了取非負值外，還有一定的幾何意義，如：可看成非負數，也可看成數軸上刻度為x的點到刻度為a的點的距離，這正好與向量的模的幾何特性相一致，用來解題比較快捷。如：

x+3+x-2≥a對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍。

x+3+x-2可看成數軸上刻度x的點到刻度為-3和2的兩點的距離和，其最小值為5，若5≥a恒成立，則a的范圍為a≤5。

全面而透徹地的對數學概念進行了解，是學生學好數學的基礎，是學生走向數學殿堂的第一座橋梁。課本中的數學概念都蘊涵了豐富的數學思想、方法，只有充分挖掘、拓展數學概念，才能激發學生的學習興趣，達到拓展學生思維的理想效果。

（作者單位：南京市建鄴高級中學）

【摘 要】概念的教學過程應該精心設計，重點放在概念的形成過程上，并通過應用使概念的感性基礎得到充實。只有充分挖掘、拓展數學概念，才能將“死”知識變成“活”內容，從而激發學生興趣，拓展學生思維，達到理想的教學效果。

【關鍵詞】概念形成 了解方法 形成能力

一、對數學概念學習效果的反思

數學能力是建立在掌握的數學基本知識基礎上的，因此，基礎知識中概念的學習就顯得更加重要。概念是數學內容的基本點，是導出定理、公式、法則的出發點，是建立數學理論系統的著眼點，是數學學習的核心。由于多年應試教育，我們在教學過程中，以填鴨式的教學模式為主，概念只作簡單介紹，因此我們有必要對數學概念的學習重新認識、重新定位，還數學概念在數學學習中原本的地位。

二、數學概念有效學習的過程分析

學生學習數學概念的三種基本形式是：概念的形成、概念的同化、概念的形成與同化比較結合。

1.概念的形成。

在用概念形成的方式進行概念教學時，必須扎實地引導學生在概念形成過程中的每一個步驟，為學生揭示所涉及的數學思想、方法，建立新的概念，以培養學生的數學思想。

2.概念的同化。

在概念同化教學時，應該開動學生的智力，拓展概念的內涵與外延，給學生提供應用概念推理論證的機會，讓學生利用自己已有的認知結構對概念進行重新建構。

3.概念的形成與同化比較結合。

在數學概念的實際學習過程中，概念的形成與概念的同化這兩種方式往往是結合使用的。這既符合學生學習概念時由具體到抽象的認知規律，又能使學生在較短的時間內較快地理解概念所反映的事物的本質屬性，掌握數學概念背后的豐富事實，提高學習概念的有效性。

三、例談數學概念學習過程中對數學思想、方法的認識

數學概念學習的目的不是為了得到一個數學概念，了解一個知識點，而是充分挖掘和利用在概念產生的過程中蘊涵的許多數學條件與思想方法。這對掌握數學知識、形成數學能力、拓寬解題方法思路會有很大的幫助。

1.充分理解概念的限制條件，正確應用解題。

很多數學概念在定義的過程中都有一定的限制條件，而這些限制條件是解決數學問題首先要考慮的，否則容易擴大定義的范圍，得出錯誤的結論。

如函數的定義域的問題：

（1）判斷y=的奇偶性。

分析：先求函數定義域-1≤x<0或0

（2）求函數y=log（12x-27-x2）的單調增區間。

有學生將原式化為y=log[-（x-6）2+9]，然后得到函數的單調增區間為[6，+∞）。其實這是一個錯誤的答案。因為原函數中先討論：12x-27-x2>0，解得函數的定義域為（3，9）。單調性討論應在這個范圍內進行，單調增區間應為[6，9）。

2.用概念產生過程中所隱含的“定義方法”解題。

有一些數學概念是一種方法性的定義，在解決定義的同時也提供了解決相關問題的一些方法，如能正確加以應用，問題便可迎刃而解。如：

（1）對立事件的定義反映了思考問題的正反二重性，即解決數學問題時常用的“正難則反”原則，例如：三人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為 ，則能夠將此密碼譯出的概率為 。

分析：直接求法：至少一人譯出即可，要分七種情況討論，比較繁瑣。

間接求法：由對立事件可知，密碼譯出事件A的對立事件是 （譯不出密碼）。

可求得：P（A）=··=，P（A）=1-P（A）=。

（2）單調函數概念的定義表述是：設函數f（x）的定義域為I，如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1f（x2），那么就說f（x）在這個區間上是減函數。

我們可根據定義總結出判斷函數單調性的操作方法：

第一步：設給定區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，且不妨設x1

（3）圓的參數方程的定義中所顯示的換元法。圓的參數方程不只是圓的一個表達式，它還提供給我們三角換元的解題方法，例如：已知x2+y2=4，求x+y，xy的取值范圍。

分析：此題方法較多，但三角換元求解是比較簡單的方法。

設x=2cosα，y=2sinα則x+y=2cosα+2sinα=2sin（α+），則x+y∈[-2，2]，xy=2cosα·2sinα=2sin2α，則xy∈[-2，2]。

3.利用概念定義中所隱含的數學思想方法解題。

數學概念定義的產生有其復雜的歷史背景，其中不乏大量的數學思想方法，有些定義中的數學思想方法往往是解決數學問題的關鍵所在，如能靈活地進行運用，便能迅速地找到解決問題的入手點。如：

（1）二項式系數產生的證明過程，轉化為組合求解，可用類比的方法解決下列問題。

如：求（2a-b+3c）2的展開式中a2b2c2的系數。

可將原式類似寫成：（2a-b+3c）6=（2a-b+3c）……（2a-b+3c）的六式相乘，則a含項的產生是由六式中任意兩式里取含a的項，剩下的四式中任意兩式里取含b的項，最后兩式里取含c的項，應用組合相關知識寫出式子：（2a）（-b）（3c）2=1080a2b2c2，則a2b2c2的系數為1080。

（2）絕對值概念中所含的數形結合思想。

一個數（式）絕對值除了取非負值外，還有一定的幾何意義，如：可看成非負數，也可看成數軸上刻度為x的點到刻度為a的點的距離，這正好與向量的模的幾何特性相一致，用來解題比較快捷。如：

x+3+x-2≥a對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍。

x+3+x-2可看成數軸上刻度x的點到刻度為-3和2的兩點的距離和，其最小值為5，若5≥a恒成立，則a的范圍為a≤5。

全面而透徹地的對數學概念進行了解，是學生學好數學的基礎，是學生走向數學殿堂的第一座橋梁。課本中的數學概念都蘊涵了豐富的數學思想、方法，只有充分挖掘、拓展數學概念，才能激發學生的學習興趣，達到拓展學生思維的理想效果。

（作者單位：南京市建鄴高級中學）

【摘 要】概念的教學過程應該精心設計，重點放在概念的形成過程上，并通過應用使概念的感性基礎得到充實。只有充分挖掘、拓展數學概念，才能將“死”知識變成“活”內容，從而激發學生興趣，拓展學生思維，達到理想的教學效果。

【關鍵詞】概念形成 了解方法 形成能力

一、對數學概念學習效果的反思

數學能力是建立在掌握的數學基本知識基礎上的，因此，基礎知識中概念的學習就顯得更加重要。概念是數學內容的基本點，是導出定理、公式、法則的出發點，是建立數學理論系統的著眼點，是數學學習的核心。由于多年應試教育，我們在教學過程中，以填鴨式的教學模式為主，概念只作簡單介紹，因此我們有必要對數學概念的學習重新認識、重新定位，還數學概念在數學學習中原本的地位。

二、數學概念有效學習的過程分析

學生學習數學概念的三種基本形式是：概念的形成、概念的同化、概念的形成與同化比較結合。

1.概念的形成。

在用概念形成的方式進行概念教學時，必須扎實地引導學生在概念形成過程中的每一個步驟，為學生揭示所涉及的數學思想、方法，建立新的概念，以培養學生的數學思想。

2.概念的同化。

在概念同化教學時，應該開動學生的智力，拓展概念的內涵與外延，給學生提供應用概念推理論證的機會，讓學生利用自己已有的認知結構對概念進行重新建構。

3.概念的形成與同化比較結合。

在數學概念的實際學習過程中，概念的形成與概念的同化這兩種方式往往是結合使用的。這既符合學生學習概念時由具體到抽象的認知規律，又能使學生在較短的時間內較快地理解概念所反映的事物的本質屬性，掌握數學概念背后的豐富事實，提高學習概念的有效性。

三、例談數學概念學習過程中對數學思想、方法的認識

數學概念學習的目的不是為了得到一個數學概念，了解一個知識點，而是充分挖掘和利用在概念產生的過程中蘊涵的許多數學條件與思想方法。這對掌握數學知識、形成數學能力、拓寬解題方法思路會有很大的幫助。

1.充分理解概念的限制條件，正確應用解題。

很多數學概念在定義的過程中都有一定的限制條件，而這些限制條件是解決數學問題首先要考慮的，否則容易擴大定義的范圍，得出錯誤的結論。

如函數的定義域的問題：

（1）判斷y=的奇偶性。

分析：先求函數定義域-1≤x<0或0

（2）求函數y=log（12x-27-x2）的單調增區間。

有學生將原式化為y=log[-（x-6）2+9]，然后得到函數的單調增區間為[6，+∞）。其實這是一個錯誤的答案。因為原函數中先討論：12x-27-x2>0，解得函數的定義域為（3，9）。單調性討論應在這個范圍內進行，單調增區間應為[6，9）。

2.用概念產生過程中所隱含的“定義方法”解題。

有一些數學概念是一種方法性的定義，在解決定義的同時也提供了解決相關問題的一些方法，如能正確加以應用，問題便可迎刃而解。如：

（1）對立事件的定義反映了思考問題的正反二重性，即解決數學問題時常用的“正難則反”原則，例如：三人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為 ，則能夠將此密碼譯出的概率為 。

分析：直接求法：至少一人譯出即可，要分七種情況討論，比較繁瑣。

間接求法：由對立事件可知，密碼譯出事件A的對立事件是 （譯不出密碼）。

可求得：P（A）=··=，P（A）=1-P（A）=。

（2）單調函數概念的定義表述是：設函數f（x）的定義域為I，如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1f（x2），那么就說f（x）在這個區間上是減函數。

我們可根據定義總結出判斷函數單調性的操作方法：

第一步：設給定區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，且不妨設x1

（3）圓的參數方程的定義中所顯示的換元法。圓的參數方程不只是圓的一個表達式，它還提供給我們三角換元的解題方法，例如：已知x2+y2=4，求x+y，xy的取值范圍。

分析：此題方法較多，但三角換元求解是比較簡單的方法。

設x=2cosα，y=2sinα則x+y=2cosα+2sinα=2sin（α+），則x+y∈[-2，2]，xy=2cosα·2sinα=2sin2α，則xy∈[-2，2]。

3.利用概念定義中所隱含的數學思想方法解題。

數學概念定義的產生有其復雜的歷史背景，其中不乏大量的數學思想方法，有些定義中的數學思想方法往往是解決數學問題的關鍵所在，如能靈活地進行運用，便能迅速地找到解決問題的入手點。如：

（1）二項式系數產生的證明過程，轉化為組合求解，可用類比的方法解決下列問題。

如：求（2a-b+3c）2的展開式中a2b2c2的系數。

可將原式類似寫成：（2a-b+3c）6=（2a-b+3c）……（2a-b+3c）的六式相乘，則a含項的產生是由六式中任意兩式里取含a的項，剩下的四式中任意兩式里取含b的項，最后兩式里取含c的項，應用組合相關知識寫出式子：（2a）（-b）（3c）2=1080a2b2c2，則a2b2c2的系數為1080。

（2）絕對值概念中所含的數形結合思想。

一個數（式）絕對值除了取非負值外，還有一定的幾何意義，如：可看成非負數，也可看成數軸上刻度為x的點到刻度為a的點的距離，這正好與向量的模的幾何特性相一致，用來解題比較快捷。如：

x+3+x-2≥a對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍。

x+3+x-2可看成數軸上刻度x的點到刻度為-3和2的兩點的距離和，其最小值為5，若5≥a恒成立，則a的范圍為a≤5。

全面而透徹地的對數學概念進行了解，是學生學好數學的基礎，是學生走向數學殿堂的第一座橋梁。課本中的數學概念都蘊涵了豐富的數學思想、方法，只有充分挖掘、拓展數學概念，才能激發學生的學習興趣，達到拓展學生思維的理想效果。

（作者單位：南京市建鄴高級中學）