變速器殼體有限元分析中網格最優劃分方法的研究*

褚超美，杜玉昊，張 斌，劉延波

(上海理工大學機械工程學院，上海 200093)

前言

變速器殼體是汽車變速傳動系統的支撐體，由于受到齒輪軸和外部車身傳遞沖擊力的作用，極易因結構強度不足而引起局部斷裂，導致齒輪傳動的可靠性能下降。因此通常在殼體設計階段須應用有限元分析法對其進行結構強度分析，使之達到使用要求。網格劃分是建立有限元模型的一個重要環節，網格劃分的合理性，將會對有限元計算精度和計算規模產生直接影響。

有限元網格劃分須根據不同的對象采取不同的網格劃分方法和單元類型，因此須針對具體目標設定合理的網格劃分方案。為滿足整車空間布置、結構輕量化和可靠性設計的要求，變速器殼體大多被設計成一個形狀不規則、內外部結構復雜，壁厚不均勻，且在任一方向上都不對稱的特殊結構體。對于類似變速器殼體這種復雜的幾何模型，一種高質量、高計算效率的有限元模型網格劃分方法，是取得高可信度有限元分析結果的重要保障。

1 網格劃分對求解精度和經濟性的影響

為了得到較高精度的計算結果，常選用高精度的高階單元或小單元尺寸對復雜體進行整體網格加密。但應用實踐表明:單純的網格劃分方法和單一的單元類型對變速器殼體有限元分析求解精度和經濟性的效果并不理想。為定性分析常用網格劃分方法對變速器殼體有限元分析效果的影響，現以變速器殼體的最大應力和位移結果為依據，對采用不同網格劃分方法分析的計算精度、分析效率和計算資源等綜合效果進行對比分析。

1.1 單元尺寸的影響分析

基于高階四面體的三維實體單元，分別以4、3、2.5和2mm為基本單元尺寸，對變速器殼體進行網格劃分，比較單元尺寸對強度分析效果的影響。表1示出不同單元尺寸下的單元數量。以圖1～圖4所示的不同單元尺寸有限元模型位移云圖為例，可明顯看出變速器殼體有限元分析結果隨基本單元尺寸的改變產生的差異。

表1 不同單元尺寸下的單元數量

圖5和圖6所示為單元尺寸對求解精度和經濟性的影響。由圖可見:當單元尺寸從4mm加密至3mm時，最大應力和位移的計算值都有較大增加，而計算時間和占用空間僅略有增加;當繼續減小特征尺寸至2.5mm時，最大應力和位移變化幅度均不大，分別為5.7%和4.8%，但是由于殼體有限元模型中的節點和單元數量增長卻很快，計算經濟性迅速下降。其中:計算時間增加了1.5倍，占用空間增加了9%;當單元尺寸繼續從2.5mm減小至2mm時，最大應力和最大位移值幾乎沒有增加，但是計算時間卻增加了1倍，占用空間也提高了62%。因此，從提高工作效率的角度看，整體過密的網格分布，對提高求解精度意義不大［1］。綜合考慮計算精度和求解經濟性認為:變速器殼體有限元模型基本單元尺寸取3mm較為合理。

1.2 單元類型的影響分析

根據對單元尺寸的研究結論，選取3mm為基本單元尺寸分別對殼體進行高階四面體和低階四面體網格劃分和強度分析，結果如表2和圖7、圖8所示。

表2 不同階數四面體網格計算信息對比

通過對表2中模型單元、節點數、計算時間和占用空間對比可見，相同單元數時，高階四面體節點數量遠大于低階四面體節點數量，兩者占用空間雖然相差不大，但是采用高階四面體模型的計算時間遠大于低階四面體模型。由圖7和圖8可見:同等網格密度下，高階四面體單元位移計算結果與理論解更為接近。綜上所述，高階四面體單元具有高精度計算優勢，低階四面體單元具有高效性優勢。

2 網格劃分方法計算誤差分析

通過網格收斂性分析，綜合比較求解精確性和計算經濟性，得到較為合適的基本單元尺寸，但仍無法滿足對于關注部位的求解精度要求。為獲得更為精確的計算結果，須對網格劃分方法進行計算誤差分析。根據有限元理論，任一有限元子空間上的計算誤差是由內部殘值和邊界殘值造成的［2-3］，即

式中:r(uh)為內部殘值;R(uh)為邊界殘值;τ為兩匹配單元ε、ε'的公共邊;V是空間。

當 τ = ?ε∩?Ω時，有 R(uh)=Rε(uh)，稱 r(uh)與Rε(uh)為單元ε的單元殘值，基于單元殘值與式(1)，可得

將單元ε內殘值r(uh)與Rε(uh)在全域所產生的誤差表示為eε，滿足如下變分問題:

由式(4)與疊加法可得

由局部誤差和全局誤差理論得知，有限元分析過程中，如果網格劃分不合理，高應力梯度區域和應力集中點等關鍵性區域會產生較大的殘值，自身易產生較大的局部誤差，并導致其他區域較大全局誤差的產生［5］。事實上，對于滿足協調性與完備性要求的有限元求解模型，所有關鍵性區域的網格劃分水平決定了整個有限元模型的計算精度。因此，對殼體有限元模型中所有關鍵性區域進行合理網格劃分，重點關注部位的誤差特性和導致誤差產生的具體因素，便可同時解決模型中任一子區域或單元的局部誤差與全局誤差兩方面的問題［6］，從而獲得較高精度的計算結果。

3 殼體關鍵性區域網格劃分方法

提高殼體關鍵性區域有限元計算精度的主要方法是提高單元階次和進行網格加密［7］。通過對變速器殼體有限元模型單元類型的計算精度和經濟性綜合對比分析，認為高階四面體模型是相對理想的單元類型。因此提出運用高階四面體模型，對關鍵性區域進行局部網格加密的方法，實現提高局部計算效果的目的。

3.1 殼體關鍵性區域的建立

由于構件空間拓撲形狀比較復雜和外載荷的原因，工程中大多數有限元模型中總存在一些高應力梯度區域或應力集中點。如果有限元模型網格劃分太疏或質量較差，高應力梯度區域和應力集中點附近殘值較大，可能會導致較大的局部誤差產生［8-9］。在某高應力梯度子域Ωk內，令

對于待求解問題，假定C=const，0＜C＜1，關鍵性區域是有限元求解模型中的應力集中點部位或高應力梯度子區域，在其內部α1≤C。但是對于實際工程問題，真解uEX(X)無法得到，所以αi也無法得到，只能通過仿真計算進行粗略估計。因此，在實際工程應用中，對于關鍵性區域，無法通過上述方式進行劃分，只能通過對粗糙模型的計算分析，確定出關鍵性區域。工程結構中，應力集中點區域相對于整體結構而言較小，加密的網格和由細密網格到稀疏網格的過渡網格所占據的區域應足以包含應力集中區域［10］。根據圣維南原理，只要細密網格與稀疏網格之間的過渡邊界與關注部位保持一定距離即可得到較為精確的計算結果［6］。

3.2 關鍵性區域網格加密法的應用

根據高階四面體3mm有限元模型計算結果，可以區分出高應力梯度區域，并視為有限元分析的關鍵性區域，直接對其有限元模型2D網格進行加密(圖9)。分別采用1和0.5mm對關鍵性區域進行網格劃分，并進行收斂性趨勢分析。表3為關鍵性區域網格信息。由表可見:采用不同單元尺寸進行局部細化時，當關鍵性區域單元尺寸從3減小至1mm時，關鍵性區域倒角處分布有5個單元，關鍵性區域的應力增加較為明顯，增幅為7.9%，計算精度明顯提高，但網格數增量不大，計算時間和占用空間沒有較大增加;當網格細化至0.5mm后，再繼續減小尺寸，關鍵性區域的最大應力由133.2增加至137.2MPa，計算精度提高甚微，此時的計算時間和占用空間相對應力值有較為明顯的增加。因此，認為單元尺寸收斂規律的拐點在1mm處;綜合考慮求解精度和計算經濟性等因素，確定采用1mm作為殼體關鍵性區域網格加密的理想單元尺寸。

表3 關鍵性區域網格信息

4 結論

(1)對不同階次單元的變速器殼體有限元計算結果表明:同等網格密度下，高階四面體單元應力、位移計算結果與有限元理論更接近，計算精度明顯優于低階四面體單元。

(2)對所研究的目標變速器殼體不同單元尺寸高階四面體殼體模型收斂性、計算精度和計算經濟性的綜合分析結果表明:3mm是該有限元模型最為理想的網格劃分基本單元尺寸;根據此方法，同樣可尋找其他不同結構、尺寸和復雜程度變速器殼體的最佳有限元模型網格劃分基本單元尺寸。

(3)由于關鍵性區域局部誤差對求解誤差有著至關重要的影響，因此運用對高應力梯度區域網格基本單元加密，是提高汽車變速器殼體類復雜零件有限元分析精度的有效方法。

(4)通過對變速器殼體關鍵性區域網格質量優化測試得知:1mm單元是該目標變速器殼體關鍵性區域網格加密的理想單元尺寸。

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