基于值域包含的不適定算子方程的收斂速度

尹忠旗

(四川師范大學數學與軟件科學學院,四川成都610066)

令X、Y、Z為可分的Hilbert空間,A:X→Z是一對一的有界線性算子.B:Y→Z是一個線性算子,它可能是無界的.考慮如下的算子方程

考慮算子A的值域不閉的情況,即這表明A的逆算子A-1:R(A)→X是不連續的.這是一個不適定的問題[1-3]:初始數據g的微小改變可能導致方程(1)的解f的巨大改變.于是,需要尋求一種正則化技術來確定方程(1)在噪聲水平為δ,精確數據g0∈Y,Bg0∈R(A)下的穩定的近似解f0.所謂的噪聲水平δ是指‖gδ-g0‖Y≤δ.引入Tikhonov正則化[4-6]:

其中,實數α叫做正則化參數.記(2)式的唯一極小值解為fα,δ,它是問題(2)的正則化解,滿足方程

感興趣的是與最優收斂速度有關的正則化參數α的先驗選擇策略.文獻[7]討論了B=I,Y=Z,即Af=g；證明了對某些合適的函數Ψ有收斂速度‖fα,δ-f0‖X=O(Ψ0(δ)).文獻[8]考慮了算子方程Ax=y在不同光滑性條件下的正則化問題,其中方程的解屬于某一個自伴算子G:X→X的值域R(G)且有包含關系R(G)?φ(A*A),而φ是一個嚴格單調增加的連續函數,它滿足初始條件φ(0)=0.關于先驗假設情況下的收斂問題,更多的文獻可以參考文獻[9-13]等相關專著和文章.本文的新穎之處在于所考慮的情形與值域包含有關,即R(A)?R(B)而且B可能是無界的.容易知道,本文的結果已經包含了文獻[7]的結果.在本文中,由于B可能無界,因此要求不同于以往的方法來處理相應的收斂速度問題.還假設算子A*B可以分解為2個有界算子的復合.

1 相關假設和主要結果

先給出文中要使用的一些假設,然后給出本文的主要結果.

令I為指標函數的集合,即

令G為X上的一對一的,正的緊自伴算子,它具有對應于其特征值的規范的正交基{φn}n∈N,它的特征值是以單調增加的方式排列的

用{Xρ(G)}ρ∈I表示可變尺度的 Hilbert空間[14-15].Xρ(G)是如下集合的閉包:

2 準備知識

在本節中,給出幾個預備引理.第1個引理刻畫了方程(3)在沒有擾動的情況下的正則解與在有δ擾動的情況下的正則解之間的誤差.第2個引理描述了方程(1)的解與其正則化解,即與方程(3)在沒有擾動下的解之間的誤差.它們的證明可以參考文獻[8].

引理 2.1令fα,δ是問題(2)的極小值解,fα是算子方程(A*A+αI)f=A*Bg0的解.那么有如下估計成立

3 證明主要結果

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