有界對稱域上Ω代數中的Jackson定理

王志軍，陳英偉

（河北經貿大學數學與統計學學院，河北石家莊 050061）

在逼近論中，中心逼近定理即為Jackson定理和Bernstein定理，其揭示了插值空間理論和整函數理論的緊密聯系.Jackson定理［1］是逼近論中處理函數關于多項式偏差的重要結果.經典的結果主要是在連續函數及周期連續函數，然而，通過全純擴展或考慮周期連續函數在單位圓盤中的調和延拓，自然會考慮單位圓盤上函數的逼近定理.基于此，Lipschitz函數類中的Jackson定理已拓展到復平面上的Jordan域［2］及單位圓盤上Qp空間［3］中.更多的結果可見文獻［1，4－8］.

對于多復函數空間，最近，多復變專家利用向量形式把新的Jackson定理延拓到多圓柱上的一些全純函數空間［9］，例如Bergman型空間，Hardy空間［10］.筆者也曾推廣至另一些空間［11－12］.

令U表示復平面C上的單位圓盤.Sewell考慮了圓盤代數上的多項式逼近A（U）：＝H（U）∩C

定理1［13］對任f∈A（U），k∈N，有

其中Mk為次數不超過k的多項式集.

問題是如何利用高階光滑模在更廣的定義域上建立更廣義Jackson定理.

本文中，Ω表示Cn中的有界對稱域.本文目的是引入球代數A（Ω）函數空間，拓展了Jackson定理，并得到Lipschitz函數類的正逼近結果.

定義1 代數A（Ω）為Ω中的全純函數集合且連續開拓至Ω邊界，模為

在Ω代數中，函數逼近采用了如下高階光滑模.

定義2 令χ為Ω上具有半模‖·‖x的函數空間.對任f∈χ，δ＞0，r∈N，f的r階光滑模

定義3 定義Ek（f，χ）：＝inf‖f－Mk‖χ為最佳多項式逼近，其中下確界取為遍歷次數不超過k的多項式集Mk.

本文中，C表示與k和z無關的正常數，不同的地方取值可能不同.

1 多項式逼近

令r∈N∪｛0｝，引入重要積分算子

將作為最佳逼近多項式.這里（φ）為廣義Jackson核

證明：對任固定ρ∈（0，1），取變量變換λ＝ρeiφ，可得

對任｜ω｜＜1，由二項展開，易得

注意到第2項在單位圓盤｜λ｜＜1上全純，由留數定理可知其在｜λ｜＝ρ上積分為0.從第1項可得

易知gm（λ）在單位圓盤上除原點外全純，由留數定理得

為計算留數，利用f的Taylor展開和二項展開

可得式（2）右側的Laurent展開

從而

結合式（3）和式（1），知

故

引理2［1］令k，β∈N，

步驟4 計算偏移量小數部分：在上一步的基礎上，設置搜索步長0.01，對子帶1和子帶3進行微調，當對比度達到最大時，停止搜索，得到偏移量的小數值；

1）存在常數Cl，β（k）滿足

2）存在常數Cβ滿足

引理3［1］設0＜δ，λ＜＋∞，f∈A（U），則

引理4 設0＜δ，λ＜＋∞，f∈A（Ω），則

證明： 對任ζ∈?Ω，考慮f的slice函數fζ，其中fζ（w）＝f（wζ），w∈U，則引理3可得

由定義2，對任ζ∈?Ω，ωr（δ，fζ，A（U））≤ωr（δ，f，A（Ω）），

2 偏差估計

由定義，知

定理2 對任k－1∈N，f∈H（Ω），有

證明：對任ρ∈（0，1），由引理1得

其中

從而

其中

易知［14－15］，對任0＜η≤1都存在非負常數C（η）滿足：對任h∈H和0＜r＜1，有

在式（5）中取h（λ）＝g（λ，z）并結合式（4），得

需要指出定理2對情況0＜η≤1也是成立的，其一般情況也具有其應用價值.

3 Jackson定理

現在給出本文的主要結果（即A（Ω）中的Jackson定理）如下.

定理3 設f∈A（Ω），則對任k－1，r∈N，有

證明： 對任ζ∈?Ω，由的定義和定理1知

注意到Ik［f］（z）為次數不超過k－1的多項式.再由引理4（取λ＝k｜φ｜和δ＝1／k）可得

故，

得證.

最后給出球代數空間A（Ω）中的一類子空間具體的Jackson不等式.

定義4Lipschitz型空間Lipγ（A（Ω）），0＜γ≤1，包含所有全純函數f∈A（Ω）且滿足

這里L＞0被稱為Lipschitz常數.

易知對任f（z）∈A（Ω）和0＜γ≤1，

推論1 設f∈Lipγ（A（Ω）），則對任k－1∈N，r＝1，有

［1] DEVORE R A，LORENTZ G G.Constructive approximation［M］.Berlin：Springer－Verlag，1993.

［2] ANDERSSON J M，HINKKANEN A，LESLEY F D.On theorems of Jackson and Bernstein type in the complex plane［J］.Constr Approx，1988，4：307－319.

［3] CHEN Yingwei，REN Guangbin.Jackson's rheorem inQpspaces［J］.Science in China Series A：Mathematics，2010，53：367－372.

［4] ANDRIEVSII V.Harmonic version of Jackson's theorem in the complex plane［J］.J Approx Theory，1997，90：224－234.

［5] KRYAKIN Y，TREBELS W.q－moduli of continuity inHp（D），p＞0，and an inequality of Hardy and Littlewood［J］.J Approx Theory，2002，115：238－259.

［6] KOSTOVA V A.On a generalization of Jackson's theorem inRm［J］.Math Balkanica：N S，1998，12：109－118.

［7] REN Guangbin，CHEN Yingwei.Gradient estimates and Jackson's theorem inQμspaces related to measures［J］.J Approx Theory，2008，155：97－110.

［8] ZYGMUND A.Trigonometric series［M］.Cambridge：Cambridge Univ Press，1959.

［9] REN Guangbin，WANG Mingzhi.Holomorphic Jackson's theorems in polydiscs［J］.J Approx Theory，2005，134：175－198.

［10] RUDIN W.Function theory in polydiscs［M］.New York：Benjamin，1969.

［11] 陳英偉，王志軍，劉玉軍.Hardy型空間Aμ中Jackson定理［J］.河北師范大學學報：自然科學版，2013，37（2）：113－118.CHEN Yingwei，WANG Zhijun，LIU Yujun.Jackson's theorem in Hardy typeAμspaces［J］.Journal of Hebei Normal University：Natural Science Edition，2013，37（2）：113－118.

［12] CHEN Yingwei，WANG Zhijun，DONG Wenlei.Jackson's theorem in Hardy－Sobolev type space in the unit polydiscs［J］.ICICA2012，CCIS，2012，307：360－367.

［13] SEWELL W E.Degree of approximation by polynomials in the complex domain［M］.Princeton：Prinston Univ.Press，1942.

［14] GARNETT J B.Bounded analytic functions［M］.New York：Springer，2007.

［15] STORO?ENKOèA.Approximation of functions of classHp，0＜p≤1［J］.Math USSR－Sb，1978，34：527－545.