轉化與化歸思想在高考復習中的應用

楊仕良

摘 要： 高中數學的許多問題都可以利用轉化與化歸思想解決.高考十分注重對轉化與化歸思想的考查，利用轉化與化歸思想解決問題占了較大的比重，成了歷年高考數學考試的重點之一.通過對高考復習轉化與化歸思想的具體應用進行分析，可以進一步提高學生對轉化與化歸思想重要性的認識，提高應用轉化與化歸思想解決各種數學問題的能力.本文以立體幾何為例，探討轉化與化歸思想在高考復習中的應用.

關鍵字： 轉化與化歸 高考復習 立體幾何

在解決數學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，需將原問題轉化為一個新問題通過對新問題的求解，達到解決原問題的目的.這種解決問題的方法用到的便是轉化與化歸思想.在轉化與化歸思想模式下，利用某種手段或方法將問題通過變換使之轉化，從而達到解決問題的目的.在高考復習過程中，轉化與化歸是一個重要的考點，因此，對轉化與化歸思想應用的復習是一個十分重要的內容.本文以立體幾何為例，分析高考復習中轉化與化歸思想在立體幾何中的應用問題.

一、高考復習中應用轉化與化歸思想的指導原則

高考對轉化與化歸思想的考查范圍較廣，涉及各方面數學問題和知識.首先，數形轉化問題，例如函數單調性和解析幾何中斜率問題等.其次，常量和變量之間的轉化問題，例如求范圍和分離變量等.最后，關于數學各分支的轉化問題，例如向量和解析幾何等的轉化，以及函數與立體幾何的轉化等.另外，還包括將各種實際問題轉化為數學模型的情況.其中在立體幾何中轉化與思想貫穿于解題的全過程，是立體幾何問題的基本思想和方法，在高考復習立體幾何中應用轉化與化歸思想時，應遵循以下指導原則，提高復習的實效性.

1.以學生為主體

在以往的高考數學復習過程中，教師往往處于整個復習的主導地位，統領一切.學生只能機械地跟隨教師的安排展開復習，處于被動狀態.但是，高考對數學教育的要求使得高考數學復習過程中要注意以人為本，保證學生處于主體地位，具有較高的自主性.因此，在具體的復習過程中，教師要注意轉變自身角色，扮演好引導者的角色，幫助學生自主復習.并積極采取有效措施，調動學生的復習積極性，增強復習效果.

2.以大綱為指導

在復習過程中，一定要注意緊密圍繞考試大綱的具體要求，以考試大綱為指導.教師要注意帶領學生一起深入分析研究最新的考試大綱的具體內容和要求，并回顧往年的考試大綱，找出區別，做到對考試內容和考點心中有數.同時，教師還要注意做好歸納總結工作，將考試大綱對不同數學知識的要求進行總結，并帶領學生一起圍繞考綱展開復習.

3.注重能力培養

高考十分注重對學生能力的考查，培養學生能力是高考教學復習的主要目的之一.因此，在復習過程中，要注意使學生獲得各種利用轉化與化歸思想解決數學問題的能力，幫助學生養成良好的學習習慣，為進一步學習打好應用基礎.

二、高考復習立體幾何中轉化與化歸思想的應用

在解決各種高中立體幾何問題時，可以利用轉化和化歸思想，將抽象的空間問題進行合理轉化，變為具體的實數運算.從而降低運算難度，簡化運算過程，提高解題效率.在具體應用向量知識解決立體幾何問題時，首先要考慮需要用什么向量知識進行解題，具體需要用的向量有哪些.然后根據題意分析所需要的向量是否已知，則可利用已知條件轉化成具體的向量.如果需要的向量不能直接轉化，則要考慮選擇用哪個未知向量進行表示，難度如何.在所需向量表示出來之后，便要分析怎樣對其進行具體運算，以得到需要的結果和結論.

1.利用向量知識論證立體幾何中的線面關系問題

例1：已知m、n是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（ ）

A.若m//α，n//α，則m//n B.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

C.若m//α，m//β，則α//β D.若m⊥α，n⊥α，則m//n

解析：根據向量中空間線與線，線與面的平行、垂直的相關知識，可以得出如果m⊥α，n⊥α，則m//n，即選項D為正確答案.

2.運用向量的坐標運算建立空間直角坐標系

例2：如圖2，直三棱柱ABC—ABC，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA=2，M、N分別是AB、AA的中點.

圖2

（1）求的長；

（2）求cos<，>的值；

（3）證明：AB⊥CM.

分析：在解題時，我們可以利用向量知識，建立空間直角坐標系O-xyz，找到點的具體坐標，并得出向量的坐標.在建立坐標系之后，要能夠準確找到點的具體坐標.我們可以先在底面坐標面xOy內找到點A、B、C的具體坐標，并利用向量的模和具體的方向，將其他點的具體坐標找出來.

（1）解：如上圖2所示，我們以點C為原點，建立空間直角坐標系O-xyz.

由題意可得：點B、N的坐標分別為：B（0，1，0），N（1，0，1）.

∴可得||==.

（2）解：由題意可得點A，C，B的坐標：A（1，0，2），C（0，0，0），B（0，1，2）.

∴=（1，-1，2），=（0，1，2）

·=1×0+（-1）×1+2×2=3

||==

∴||=

cos<>=

（3）證明：由題意可得C（0，0，2），M（，，2）

∴=（，，0），=（-1，1，-2）

∴·=（-1）×+1×+（-2）×0=0，

∴⊥

∴AB⊥CM.

3.利用向量知識解決立體幾何中的角度問題

例3：如下圖1所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

圖1

（1）求證：CC⊥BD.

（2）試求的值為多少的時候，A1C垂直于面CBD？

解析：這道題目考查的主要是立體集合中的垂直和夾角等問題，培養學生解讀幾何圖形的能力.通過分析題意，我們選擇利用向量知識，實現線面位置關系和數量關系之間的轉化.我們可以利用a⊥ba·b=0，即互相垂直的兩條直線的向量的數量積為零，證明兩條直線的垂直關系.

解答：

（1）證明：設=a，=b，=c.則由題意可得|a|=|b|.

設、、兩兩所成夾角均為θ，可得=-=a-b，

即·=c（a-b）=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0，

∴CC⊥BD.

（2）解：想要證明AC⊥面CBD，則需要證明AC⊥BD，AC⊥DC，

由·=（+）·（-）=（a+b+c）·（a-c）

=|a|+a·b-b·c-|c|=|a|-|c|+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0，

可得，當|a|=|c|時，AC⊥DC.

同理可得，當|a|=|c|時，AC⊥BD，

∴當=1時，AC⊥面CBD.

三、結語

作為一種重要的高中數學思想，轉化與化歸思想是高考復習的重點內容.深入領會轉化與化歸思想，并掌握轉化與化歸思想的應用方法等，對提高高考數學復習效率和質量是大有裨益的.在高考復習中，教師應幫助學生深刻領悟并掌握轉化與化歸思想，充分發揮學生的主觀能動性，最大限度地提高高考復習效率.

參考文獻：

[1]王陳勇，陳智猛.化歸與轉化思想視角下幾何問題的變式與探究[J].福建中學數學，2012，（3）：4-6.

[2]王曉萍.淺談化歸思想在立體幾何教學中的應用[J].新課程學習·中旬，2013，（7）：102-102.

[3]武紹芳.例談轉化與化歸在高中數學解題中的有效應用[J].理科考試研究（高中版），2013，（4）：11-12.endprint

摘 要： 高中數學的許多問題都可以利用轉化與化歸思想解決.高考十分注重對轉化與化歸思想的考查，利用轉化與化歸思想解決問題占了較大的比重，成了歷年高考數學考試的重點之一.通過對高考復習轉化與化歸思想的具體應用進行分析，可以進一步提高學生對轉化與化歸思想重要性的認識，提高應用轉化與化歸思想解決各種數學問題的能力.本文以立體幾何為例，探討轉化與化歸思想在高考復習中的應用.

關鍵字： 轉化與化歸 高考復習 立體幾何

在解決數學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，需將原問題轉化為一個新問題通過對新問題的求解，達到解決原問題的目的.這種解決問題的方法用到的便是轉化與化歸思想.在轉化與化歸思想模式下，利用某種手段或方法將問題通過變換使之轉化，從而達到解決問題的目的.在高考復習過程中，轉化與化歸是一個重要的考點，因此，對轉化與化歸思想應用的復習是一個十分重要的內容.本文以立體幾何為例，分析高考復習中轉化與化歸思想在立體幾何中的應用問題.

一、高考復習中應用轉化與化歸思想的指導原則

高考對轉化與化歸思想的考查范圍較廣，涉及各方面數學問題和知識.首先，數形轉化問題，例如函數單調性和解析幾何中斜率問題等.其次，常量和變量之間的轉化問題，例如求范圍和分離變量等.最后，關于數學各分支的轉化問題，例如向量和解析幾何等的轉化，以及函數與立體幾何的轉化等.另外，還包括將各種實際問題轉化為數學模型的情況.其中在立體幾何中轉化與思想貫穿于解題的全過程，是立體幾何問題的基本思想和方法，在高考復習立體幾何中應用轉化與化歸思想時，應遵循以下指導原則，提高復習的實效性.

1.以學生為主體

在以往的高考數學復習過程中，教師往往處于整個復習的主導地位，統領一切.學生只能機械地跟隨教師的安排展開復習，處于被動狀態.但是，高考對數學教育的要求使得高考數學復習過程中要注意以人為本，保證學生處于主體地位，具有較高的自主性.因此，在具體的復習過程中，教師要注意轉變自身角色，扮演好引導者的角色，幫助學生自主復習.并積極采取有效措施，調動學生的復習積極性，增強復習效果.

2.以大綱為指導

在復習過程中，一定要注意緊密圍繞考試大綱的具體要求，以考試大綱為指導.教師要注意帶領學生一起深入分析研究最新的考試大綱的具體內容和要求，并回顧往年的考試大綱，找出區別，做到對考試內容和考點心中有數.同時，教師還要注意做好歸納總結工作，將考試大綱對不同數學知識的要求進行總結，并帶領學生一起圍繞考綱展開復習.

3.注重能力培養

高考十分注重對學生能力的考查，培養學生能力是高考教學復習的主要目的之一.因此，在復習過程中，要注意使學生獲得各種利用轉化與化歸思想解決數學問題的能力，幫助學生養成良好的學習習慣，為進一步學習打好應用基礎.

二、高考復習立體幾何中轉化與化歸思想的應用

在解決各種高中立體幾何問題時，可以利用轉化和化歸思想，將抽象的空間問題進行合理轉化，變為具體的實數運算.從而降低運算難度，簡化運算過程，提高解題效率.在具體應用向量知識解決立體幾何問題時，首先要考慮需要用什么向量知識進行解題，具體需要用的向量有哪些.然后根據題意分析所需要的向量是否已知，則可利用已知條件轉化成具體的向量.如果需要的向量不能直接轉化，則要考慮選擇用哪個未知向量進行表示，難度如何.在所需向量表示出來之后，便要分析怎樣對其進行具體運算，以得到需要的結果和結論.

1.利用向量知識論證立體幾何中的線面關系問題

例1：已知m、n是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（ ）

A.若m//α，n//α，則m//n B.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

C.若m//α，m//β，則α//β D.若m⊥α，n⊥α，則m//n

解析：根據向量中空間線與線，線與面的平行、垂直的相關知識，可以得出如果m⊥α，n⊥α，則m//n，即選項D為正確答案.

2.運用向量的坐標運算建立空間直角坐標系

例2：如圖2，直三棱柱ABC—ABC，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA=2，M、N分別是AB、AA的中點.

圖2

（1）求的長；

（2）求cos<，>的值；

（3）證明：AB⊥CM.

分析：在解題時，我們可以利用向量知識，建立空間直角坐標系O-xyz，找到點的具體坐標，并得出向量的坐標.在建立坐標系之后，要能夠準確找到點的具體坐標.我們可以先在底面坐標面xOy內找到點A、B、C的具體坐標，并利用向量的模和具體的方向，將其他點的具體坐標找出來.

（1）解：如上圖2所示，我們以點C為原點，建立空間直角坐標系O-xyz.

由題意可得：點B、N的坐標分別為：B（0，1，0），N（1，0，1）.

∴可得||==.

（2）解：由題意可得點A，C，B的坐標：A（1，0，2），C（0，0，0），B（0，1，2）.

∴=（1，-1，2），=（0，1，2）

·=1×0+（-1）×1+2×2=3

||==

∴||=

cos<>=

（3）證明：由題意可得C（0，0，2），M（，，2）

∴=（，，0），=（-1，1，-2）

∴·=（-1）×+1×+（-2）×0=0，

∴⊥

∴AB⊥CM.

3.利用向量知識解決立體幾何中的角度問題

例3：如下圖1所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

圖1

（1）求證：CC⊥BD.

（2）試求的值為多少的時候，A1C垂直于面CBD？

解析：這道題目考查的主要是立體集合中的垂直和夾角等問題，培養學生解讀幾何圖形的能力.通過分析題意，我們選擇利用向量知識，實現線面位置關系和數量關系之間的轉化.我們可以利用a⊥ba·b=0，即互相垂直的兩條直線的向量的數量積為零，證明兩條直線的垂直關系.

解答：

（1）證明：設=a，=b，=c.則由題意可得|a|=|b|.

設、、兩兩所成夾角均為θ，可得=-=a-b，

即·=c（a-b）=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0，

∴CC⊥BD.

（2）解：想要證明AC⊥面CBD，則需要證明AC⊥BD，AC⊥DC，

由·=（+）·（-）=（a+b+c）·（a-c）

=|a|+a·b-b·c-|c|=|a|-|c|+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0，

可得，當|a|=|c|時，AC⊥DC.

同理可得，當|a|=|c|時，AC⊥BD，

∴當=1時，AC⊥面CBD.

三、結語

作為一種重要的高中數學思想，轉化與化歸思想是高考復習的重點內容.深入領會轉化與化歸思想，并掌握轉化與化歸思想的應用方法等，對提高高考數學復習效率和質量是大有裨益的.在高考復習中，教師應幫助學生深刻領悟并掌握轉化與化歸思想，充分發揮學生的主觀能動性，最大限度地提高高考復習效率.

參考文獻：

[1]王陳勇，陳智猛.化歸與轉化思想視角下幾何問題的變式與探究[J].福建中學數學，2012，（3）：4-6.

[2]王曉萍.淺談化歸思想在立體幾何教學中的應用[J].新課程學習·中旬，2013，（7）：102-102.

[3]武紹芳.例談轉化與化歸在高中數學解題中的有效應用[J].理科考試研究（高中版），2013，（4）：11-12.endprint

摘 要： 高中數學的許多問題都可以利用轉化與化歸思想解決.高考十分注重對轉化與化歸思想的考查，利用轉化與化歸思想解決問題占了較大的比重，成了歷年高考數學考試的重點之一.通過對高考復習轉化與化歸思想的具體應用進行分析，可以進一步提高學生對轉化與化歸思想重要性的認識，提高應用轉化與化歸思想解決各種數學問題的能力.本文以立體幾何為例，探討轉化與化歸思想在高考復習中的應用.

關鍵字： 轉化與化歸 高考復習 立體幾何

在解決數學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，需將原問題轉化為一個新問題通過對新問題的求解，達到解決原問題的目的.這種解決問題的方法用到的便是轉化與化歸思想.在轉化與化歸思想模式下，利用某種手段或方法將問題通過變換使之轉化，從而達到解決問題的目的.在高考復習過程中，轉化與化歸是一個重要的考點，因此，對轉化與化歸思想應用的復習是一個十分重要的內容.本文以立體幾何為例，分析高考復習中轉化與化歸思想在立體幾何中的應用問題.

一、高考復習中應用轉化與化歸思想的指導原則

高考對轉化與化歸思想的考查范圍較廣，涉及各方面數學問題和知識.首先，數形轉化問題，例如函數單調性和解析幾何中斜率問題等.其次，常量和變量之間的轉化問題，例如求范圍和分離變量等.最后，關于數學各分支的轉化問題，例如向量和解析幾何等的轉化，以及函數與立體幾何的轉化等.另外，還包括將各種實際問題轉化為數學模型的情況.其中在立體幾何中轉化與思想貫穿于解題的全過程，是立體幾何問題的基本思想和方法，在高考復習立體幾何中應用轉化與化歸思想時，應遵循以下指導原則，提高復習的實效性.

1.以學生為主體

在以往的高考數學復習過程中，教師往往處于整個復習的主導地位，統領一切.學生只能機械地跟隨教師的安排展開復習，處于被動狀態.但是，高考對數學教育的要求使得高考數學復習過程中要注意以人為本，保證學生處于主體地位，具有較高的自主性.因此，在具體的復習過程中，教師要注意轉變自身角色，扮演好引導者的角色，幫助學生自主復習.并積極采取有效措施，調動學生的復習積極性，增強復習效果.

2.以大綱為指導

在復習過程中，一定要注意緊密圍繞考試大綱的具體要求，以考試大綱為指導.教師要注意帶領學生一起深入分析研究最新的考試大綱的具體內容和要求，并回顧往年的考試大綱，找出區別，做到對考試內容和考點心中有數.同時，教師還要注意做好歸納總結工作，將考試大綱對不同數學知識的要求進行總結，并帶領學生一起圍繞考綱展開復習.

3.注重能力培養

高考十分注重對學生能力的考查，培養學生能力是高考教學復習的主要目的之一.因此，在復習過程中，要注意使學生獲得各種利用轉化與化歸思想解決數學問題的能力，幫助學生養成良好的學習習慣，為進一步學習打好應用基礎.

二、高考復習立體幾何中轉化與化歸思想的應用

在解決各種高中立體幾何問題時，可以利用轉化和化歸思想，將抽象的空間問題進行合理轉化，變為具體的實數運算.從而降低運算難度，簡化運算過程，提高解題效率.在具體應用向量知識解決立體幾何問題時，首先要考慮需要用什么向量知識進行解題，具體需要用的向量有哪些.然后根據題意分析所需要的向量是否已知，則可利用已知條件轉化成具體的向量.如果需要的向量不能直接轉化，則要考慮選擇用哪個未知向量進行表示，難度如何.在所需向量表示出來之后，便要分析怎樣對其進行具體運算，以得到需要的結果和結論.

1.利用向量知識論證立體幾何中的線面關系問題

例1：已知m、n是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（ ）

A.若m//α，n//α，則m//n B.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

C.若m//α，m//β，則α//β D.若m⊥α，n⊥α，則m//n

解析：根據向量中空間線與線，線與面的平行、垂直的相關知識，可以得出如果m⊥α，n⊥α，則m//n，即選項D為正確答案.

2.運用向量的坐標運算建立空間直角坐標系

例2：如圖2，直三棱柱ABC—ABC，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA=2，M、N分別是AB、AA的中點.

圖2

（1）求的長；

（2）求cos<，>的值；

（3）證明：AB⊥CM.

分析：在解題時，我們可以利用向量知識，建立空間直角坐標系O-xyz，找到點的具體坐標，并得出向量的坐標.在建立坐標系之后，要能夠準確找到點的具體坐標.我們可以先在底面坐標面xOy內找到點A、B、C的具體坐標，并利用向量的模和具體的方向，將其他點的具體坐標找出來.

（1）解：如上圖2所示，我們以點C為原點，建立空間直角坐標系O-xyz.

由題意可得：點B、N的坐標分別為：B（0，1，0），N（1，0，1）.

∴可得||==.

（2）解：由題意可得點A，C，B的坐標：A（1，0，2），C（0，0，0），B（0，1，2）.

∴=（1，-1，2），=（0，1，2）

·=1×0+（-1）×1+2×2=3

||==

∴||=

cos<>=

（3）證明：由題意可得C（0，0，2），M（，，2）

∴=（，，0），=（-1，1，-2）

∴·=（-1）×+1×+（-2）×0=0，

∴⊥

∴AB⊥CM.

3.利用向量知識解決立體幾何中的角度問題

例3：如下圖1所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

圖1

（1）求證：CC⊥BD.

（2）試求的值為多少的時候，A1C垂直于面CBD？

解析：這道題目考查的主要是立體集合中的垂直和夾角等問題，培養學生解讀幾何圖形的能力.通過分析題意，我們選擇利用向量知識，實現線面位置關系和數量關系之間的轉化.我們可以利用a⊥ba·b=0，即互相垂直的兩條直線的向量的數量積為零，證明兩條直線的垂直關系.

解答：

（1）證明：設=a，=b，=c.則由題意可得|a|=|b|.

設、、兩兩所成夾角均為θ，可得=-=a-b，

即·=c（a-b）=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0，

∴CC⊥BD.

（2）解：想要證明AC⊥面CBD，則需要證明AC⊥BD，AC⊥DC，

由·=（+）·（-）=（a+b+c）·（a-c）

=|a|+a·b-b·c-|c|=|a|-|c|+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0，

可得，當|a|=|c|時，AC⊥DC.

同理可得，當|a|=|c|時，AC⊥BD，

∴當=1時，AC⊥面CBD.

三、結語

作為一種重要的高中數學思想，轉化與化歸思想是高考復習的重點內容.深入領會轉化與化歸思想，并掌握轉化與化歸思想的應用方法等，對提高高考數學復習效率和質量是大有裨益的.在高考復習中，教師應幫助學生深刻領悟并掌握轉化與化歸思想，充分發揮學生的主觀能動性，最大限度地提高高考復習效率.

參考文獻：

[1]王陳勇，陳智猛.化歸與轉化思想視角下幾何問題的變式與探究[J].福建中學數學，2012，（3）：4-6.

[2]王曉萍.淺談化歸思想在立體幾何教學中的應用[J].新課程學習·中旬，2013，（7）：102-102.

[3]武紹芳.例談轉化與化歸在高中數學解題中的有效應用[J].理科考試研究（高中版），2013，（4）：11-12.endprint