《實變函數》教學中的幾個難點解析

摘要：針對勒貝格積分和黎曼積分的關系以及幾條重要概念和定理，教師進行了詳細地解析，從而大大降低了實變函數的難度和抽象性，改善了課堂的教學效果，以便學生更快更好地掌握《實變函數》這門核心課程。

關鍵詞：勒貝格積分；黎曼積分；實變函數

中圖分類號：G42 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）09-0247-02

《實變函數》是數學專業重要的分析基礎課之一，它為學生進一步學習其他數學分支如泛函分析、函數論、微分方程、概率論等提供了必不可少的基礎知識。現在《實變函數》已經成為大學數學院系中的必修課程，在整個本科教學中起著十分重要的作用[1-5]。《實變函數》也是本科教學中學生普遍反映的學習難度較大的重要課程之一，如何教好這門課程目前已經成了國內同行們關注的焦點。本文主要對勒貝格積分和黎曼積分的關系以及幾條較難理解的重要概念和定理進行了詳細地解析，大大降低了實變函數的難度和抽象性，以便學生更快更好地掌握《實變函數》這門專業核心課程。

在實際教學中筆者發現，很多學生不明白實變函數與數學分析之間的區別和聯系，從而嚴重挫傷了他們學習《實變函數》課程的積極性。筆者在實際教學中強調數學分析中學到的是黎曼積分，實變函數中學到的是勒貝格積分，并通過以下六條對黎曼積分和勒貝格積分進行了詳細的對比。

1.黎曼積分的可積函數范圍太小，即使像Dirichlet函數這樣形式上比較簡單的函數也不是黎曼可積函數，只有幾乎處處連續的函數才是黎曼可積函數。此外黎曼可積函數形成的函數空間是不完備的，而完備性對函數空間是十分必要的。勒貝格積分不僅會大大擴大可積函數的范圍，使得Dirichlet函數也是可積函數，而且勒貝格可積函數是基本上連續的，范圍要比黎曼可積函數大得多，另外由勒貝格可積函數形成的函數空間是完備的。

2.黎曼積分只能定義在有界閉區間[a，b]或n維歐式空間的有界閉連通區域上，而很多特殊的集合如[a，b]的有理數集或無理數集都無法充當黎曼積分的積分區域，所以黎曼積分的積分區域范圍太小。此外黎曼積分的積分區域是用約當測度測量的，而約當測度只具備有限可加性。勒貝格積分不僅會大大擴大積分區域的范圍，因為它的積分區域是用勒貝格測度測量的，而且勒貝格測度則具備可數可加性。

3.從積分性質角度出發，則可以看出勒貝格積分具備絕對可積性而黎曼積分不具備；勒貝格積分具備積分區域的可數可加性，而黎曼積分只具備積分區域的有限可加性。

4.積分與極限換序中黎曼積分要求一致收斂的條件，而這一條件是很強的條件，很多函數列一般不滿足這一條件。另一方面即使滿足也很難驗證，這大大限制了黎曼積分在實際問題中的應用。Arzela定理雖然利用處處收斂這個較弱的條件代替一致收斂，但是由于黎曼可積函數列的極限函數不一定是黎曼可積的，所以Arzela定理仍然要求黎曼可積函數列的極限函數是黎曼可積的，這一條件也是比較強的。有例子表明即使單調遞增的黎曼可積函數列，它的極限函數也不一定是黎曼可積的。勒貝格積分的勒貝格控制收斂定理不僅用處處收斂條件代替一致收斂的條件，而且也去掉了Arzela定理中可積函數列的極限函數是可積這一較強的條件。

5.微分（或積分）和無窮函數項級數換序時，一般要求無窮函數項級數滿足一致收斂的條件，顯然這一條件很強，既不容易滿足，也不容易驗證。勒貝格積分在很大程度上也會減弱一致收斂的條件。

6.黎曼積分在導函數仍然是在黎曼可積的前提下才能使得微積分基本定理成立，而在實際應用中，即使是導函數有界這樣性質比較好的函數也不一定保證其導函數是黎曼可積的。勒貝格積分在很大程度上也會減弱導函數仍然可積這一較強的條件。

以上對比使得學生對實變函數和數學分析的區別和聯系有了清醒的認識，大大提高了他們的學習積極性，在實際教學中取得了良好效果。

實變函數中出現了大量新的概念和定理，每一條對于初學者而言都有一定的難度和較高的抽象性。下面主要從以下五個方面進行詳細的解析，具體如下。

1.Egoroff定理的含義。對于測度有限的可測集合上的幾乎處處收斂的可測函數列，如果該函數列的極限函數的函數值有限，則對任意小的正數，總存在E的可測子集e的測度小于這個正數，且函數列在E-e上是一致收斂的。這表明幾乎處處收斂的可測函數序列在E去掉一個測度任意小（有可能是空集、非空零測集或者測度大于0但是任意小的可測集）的集合之后剩下的可測集上是一致收斂的。因此處處收斂的函數列若滿足Egoroff定理的條件，則在很大程度上或者基本上就是一致收斂的，從而推翻了處處收斂與一致收斂差別很大的想法。

2.Lusin定理的含義。對任意小的正數，總存在閉集F？奐E，使得可測函數f（x）在F上是連續的，并且不連續點集E-F的測度小于這個正數。這表明對于所有的可測函數，在E去掉一個測度任意小（有可能是空集、非空零測集或者測度大于0但是任意小的可測集）的集合之后剩下的閉集上是連續的，從而表明可測函數基本上是連續的，但是比幾乎處處連續的程度要差一些。

3.勒貝格積分中的分劃與黎曼積分中的分劃的區別與聯系。以R1中的E=[a，b]為例。對應于黎曼積分中的每一個分劃Δ：E=■Ei，其中Ei=[xi-1，xi]，i=1，…，n，就有唯一的勒貝格分劃D：E=■E'i與之對應，其中E'1=[x0，x1]，E'i=[xi-1，xi]， i=2，3，…，n。除此之外，對于E=[a，b]，勒貝格積分還有很多由比較特殊的可測子集組成的分劃，并且這些分劃不是黎曼積分中的分劃，例如E中的無理數集合以及有理數集合組成的分劃。對于二維空間以上的分劃，黎曼積分的積分區域以及每個分劃對應的小子集都是約當可測集，而勒貝格積分的積分區域以及每個分劃對應的小子集都是勒貝格可測集，這種差別也表明后者的范圍要大得多。

4.引入可測函數的原因以及可測函數的含義。勒貝格積分的極限定義一般要求Ei=E[x：yi-1a]都可測，又Ei=E[x：f（x）>yi-1]-E[x：f（x）>yi]，則Ei顯然是可測的。雖然a是無窮多的，但是所有的集合E[x：f（x）>a]只是E的全部子集的一部分，而且對于不同的函數f（x），E[x：f（x）>a]的個數也不一定是無窮多的，譬如Dirichlet函數對應的E[x：f（x）>a]的個數就是有限多的。一般地，如果函數f（x）能夠使得E[x：f（x）>a]的那些子集可測，才認為f（x）是可測函數。

5.黎曼可積的充要條件。函數不連續點集的測度為0。[a，b]上的連續函數、有限多個不連續點的有界函數、單調有界函數、Riemann函數的不連續點集都是零測集，所以都是黎曼可積函數。不連續點是無窮多且不是黎曼可積的函數的典型例子為Dirichlet函數，因為它的不連續點集不是零測集。

綜上所述，如何加強實變函數的基本概念和重要定理內容的解析，對實變函數和數學分析相關內容進行詳細的對比，從而降低實變函數的難度和抽象性，明確學生學習實變函數的目的，進而提高他們的學習熱情是實際教學中的關鍵所在。如果能夠做到本文中提到的幾點要求，就會大大改善《實變函數》的教學效果，使得學生更多更好地掌握《實變函數》的知識，達到教學大綱的要求。

參考文獻：

[1]夏道行，等.實變函數論與泛函分析[M].第二版.北京：高等教育出版社，1995.

[2]周民強.實變函數論[M].北京大學出版社，2001.

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[5]蘇孟龍，杜智慧，李建華，夏興無.實變函數論[M].吉林：吉林大學出版社，2009.