例說“極端性”原理在物理解題中的應用

鄭艷秋

“極端性”原理是解決物理問題的一個重要方法，從極端情形（最大值、最小值、極端有利、極端不利、邊界情形、極端位置等）入手分析，往往能發現解決問題的突破口，此法不僅在競賽問題中用途廣泛，事實上，在平時的解題過程中，為了尋求更清晰的解題思路、更簡捷的運算方法，我們也會不經意地“走極端”，本文舉例說明。

一、利用極端，巧探范圍

物理解題中經常會遇到求范圍的問題，若能預先求出范圍的上界（或下界），則所求的范圍將應運而生。

例1：如圖1所示，MN為正對的兩個平行板，可以吸附打到板上的電子，兩板間距離為d，板長為7d，在兩個平行板間只有方向垂直于紙面向里的勻強磁場，若有電量為e的電子流，從左側不同位置進入兩板間的電子能打到兩板上，被兩板吸收，磁場的磁感應強度大小取值可能是下述四個值中的（ ）

①B= ②B= ③B= ④B=

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

圖1

析與解：從左右兩側得出磁場的臨界半徑為r=，r=25d，所以磁場范圍應為>B>，故答案應為A項。

例2：如圖2所示，在光滑水平面上，小球A以v=2m/s的速度與靜止的球B發生彈性正碰，則碰撞后小球B的速度可能為（ ）

圖2

A.0.5m/s B.2m/s C.3.5m/s D.5m/s

析與解：兩球發生彈性碰撞，有：

mv=mv+mv

mv=mv+mv解之得：v=

討論：當m≥m時，v→0；當m=m時，v→2v=4m/s。

這表明球B的速度可能在區間0～4m/s內，由此可選A、B、C。

二、利用極端，簡化計算

物理中的有些計算，若用常規方法進行求解，可能計算會比較復雜，而從極端情形考慮，“框定”運算范圍，往往能簡化運算。

例3：如圖3所示，小桶和桶內的砂質量為m，小車和車內的砂質量為m，釋放小車后小車做勻速直線運動，如果從小車中取出質量為△m的砂放入小桶中，再釋放小車，則小車的加速度可能為：（ ）

A.g B.g C.g-g D.g

析與解：本題用極端代入，令△m=0，應有a=0，將△m=0代入四個選項中，只有B、D兩個選項取值為零，故A、C不正確。

令△m=m應有a=g，將△m=m代入B、D兩個選項中，只有D取值為g，故本題的正確答案為D。

例4：兩個相同的正方體鐵絲如圖4中（1）所示放置，并沿對角線方向以速度v、v向兩邊運動，已知v=v、v=2v，則兩線框的交點M的運動速度v多大？

析與解：先考慮兩種特殊情況：

（1）v=0，v=2v，見圖（2），此時，M點的速度為v=vcos45°=v。

（2）v=v，v=0，見圖（3），此時，M點的運動速度為v=vcos45°=v。再考慮題設情形，v=v，v=2v，只要將v和v作疊加即可，v=v。

三、利用極端，化不等為等

等與不等是物理中普遍存在的問題，不等的邊界是等，若能將不等的問題轉化為相等問題進行處理，往往會使問題的難度降低，縮短解題的過程和時間。

例5：在光滑水平軌道上，有兩個半徑都是r的小球A、B，質量分別為m、2m，當兩球心間的距離等于或小于L時，兩球間存在恒定的相互作用斥力F，設球A從遠離球B為L處以速度v0沿兩個小球球心連線向原來靜止的B球運動，如圖5所示，欲使兩個小球不發生碰撞，求v0必須滿足的條件？

圖5

析與解：設從兩球心相距為L開始，經過時間t后，兩球A、B的位移分別為s、s，則：

s=vt-t，s=t，若兩球剛好接觸，有s-s=L-2r代入得：

t-vt+（L-2r）=0，要兩球不發生接觸，則t無實解，有△<0，即：

（-v）-4×（L-2r）<0得：

v<。

四、利用極端，起極端作用

例6：沿水平方向做勻速直線運動的物體，通過某一段位移S后作用的時間為t，而通過下一段相等的位移S所用的時間為t，試求加速度a的大小。

析與解：對本題，可列出方程S=vt-at ①

S=（v-at）t-at ②

由①、②兩式得：a=，所得出的結果是否可信，可做如下檢驗，令t=t，這時物體的運動將蛻化為勻速直線運動，現將t=t代入a的表達式，即得a=0，所以答案可信。