《幾何畫板》在高中數學教學中的應用

席建彬

對于數學科學來說，主要是抽象思維和理論思維，這是事實；但從人類數學思維系統的發展來說，形象思維是最早出現的，并在數學研究和教學中都起著重要作用。不難想象，一個形象思維能力不高的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，如果一個學生根本不具備數學想象力，那么要把數學學好也是不可能的。正如前蘇聯著名數學家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！币虼?，隨著計算機多媒體的出現和飛速發展，網絡技術廣泛應用于各個領域，同時也給學校教育帶來了一場深刻的變革——用計算機輔助教學，改善人們的認知環境——越來越受到重視。從國外引進的教育軟件《幾何畫板》以其學習入門容易和操作簡單的優點及其強大的圖形和圖像功能、方便的動畫功能被國內許多數學教師看好，并已成為制作中學數學課件的主要創作平臺之一。那么，《幾何畫板》在高中數學教學中有哪些應用呢？作為一名高中數學教師，筆者就此談談體會。

一、《幾何畫板》在高中代數教學中的應用

“函數”是中學數學中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數學的各個部分；同時，函數是以運動變化的觀點對現實世界數量關系的一種刻畫，這又決定了它是對學生進行素質教育的重要材料。正如華羅庚所說：“數缺形少直觀，形缺數難入微?！焙瘮档膬煞N表達方式——解析式和圖像——之間常常需要對照（如研究函數的單調性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數函數和對數函數圖像之間的關系等）。為了解決數形結合的問題，在有關函數的傳統教學中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂教學效率，收到事倍功半的效果。

具體說來，可以用《幾何畫板》根據函數的解析式快速作出函數圖像，并可以在同一個坐標系中作出多個函數的圖像，如在同一個直角坐標系中作出函數y=x、y=x和y=x的圖像，比較各圖像的形狀和位置，歸納冪函數的性質；還可以作出含有若干參數的函數圖像，當參數變化時函數圖像也相應地變化，如在講函數y=Asin（ωx+φ）的圖像時，傳統教學只能將A、ω、φ代入有限個值，觀察各種情況時的函數圖像之間的關系；利用《幾何畫板》則可以以線段b、T的長度和A點到x軸的距離為參數作圖（如圖1），當拖動兩條線段的某一端點（即改變兩條線段的長度）時分別改變三角函數的首相和周期，拖動點A則改變其振幅，這樣在教學時既快速靈活又不失一般性。

《幾何畫板》在高中代數的其他方面有很多用途。例如，借助于圖形對不等式的一些性質、定理和解法進行直觀分析——由“半徑不小于半弦”證明不等式“a+b≥2（a、b∈R）等；又如，講解數列的極限的概念時，作出數列a=10的圖形（即作出一個由離散點組成的函數圖像），觀察曲線的變化趨勢，并利用《幾何畫板》的制表功能以“項數、這一項的值、這一項與0的絕對值”列表，幫助學生直觀地理解這一較難的概念。

二、《幾何畫板》在立體幾何教學中的應用

立體幾何是在學生已有的平面圖形知識的基礎上討論空間圖形的性質；它所用的研究方法以公理為基礎，直接依據圖形的點、線、面的關系研究圖形的性質。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認識上的一次飛躍。初學立體幾何時，大多數學生不具備豐富的空間想象能力及較強的平面與空間圖形的轉化能力，主要原因在于人是依靠對二維平面圖形的直觀感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學生不得不根據歪曲真相的圖形想象真實情況，這便給學生認識立體幾何圖形增加了困難。而應用《幾何畫板》將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關系和度量關系惟妙惟肖，使學生從各個不同的角度觀察圖形。這樣，不僅能幫助學生理解和接受立體幾何知識，還能讓學生的想象力和創造力得到充分發揮。

像在講二面角的定義時（如圖2），當拖動點A時，點A所在的半平面也隨之轉動，即改變二面角的大小，圖形的直觀變動有利于幫助學生建立空間觀念和空間想象力；在講棱臺的概念時，可以演示由棱錐分割成棱臺的過程（如圖3），更可以讓棱錐和棱臺都轉動起來，使學生在直觀掌握棱臺的定義，并通過棱臺與棱錐的關系由棱錐的性質得出棱臺的性質的同時，欣賞到數學的美，激發學生學習數學的興趣；在講錐體的體積時，可以演示將三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐的過程（如圖4），既避免學生因空洞的想象而難以理解，又鍛煉學生用分割幾何體的方法解決問題的能力；在用祖恒原理推導球的體積時，運用動畫和軌跡功能作圖5，當拖動點O時，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應地變動，直觀美麗的畫面在學生學得知識的同時，給人以美的感受，營造出輕松、樂學的氛圍。

三、《幾何畫板》在平面解析幾何教學中的應用

平面解析幾何是用代數方法研究幾何問題的一門數學學科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據已知條件，選擇適當的坐標系，借助形和數的對應關系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉化為數研究；再通過方程，研究平面曲線的性質，把數的研究轉化為形討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導致點、線按不同的方式做運動，曲線和方程的對應關系比較抽象，學生不易理解。顯而易見，展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》又以其極強的運算功能和圖形圖像功能在解析幾何的教與學中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數方程、極坐標方程）的曲線；能對動態的對象進行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化研究兩個或兩個以上曲線的位置關系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時，如圖6所示，分別拖動圖（1）中的點A和圖（2）中的點B時，可以相應的看到一組斜率為1的平行直線和過定點（0，2）的一組直線（不包括y軸）。又如在講橢圓的定義時，可以從“到兩定點F、F的距離之和為定值的點的軌跡”入手——如圖7，令線段AB的長為“定值”，在線段AB上取一點E，分別以F為圓心、AE的長為半徑和以F為圓心、AE的長為半徑作圓，則兩圓的交點軌跡即滿足要求。先讓學生猜測這樣的點的軌跡是什么圖形，學生各抒己見之后，老師演示圖7（1），學生豁然開朗：原來是橢圓。這時老師用鼠標拖動點B（即改變線段AB的長），使得|AB|=|FF|，如圖7（2），滿足條件的點的軌跡變成了一條線段FF，學生開始謹慎起來并認真思索，得出圖7（3）（|AB|<

|FF|時）的情形。經過這個過程，學生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，而且能鍛煉思維的嚴密性。

圖7

綜上所述，使用《幾何畫板》進行數學教學，通過具體感性的信息呈現，能給學生留下深刻的印象，使學生不是把數學作為單純的知識理解，而是更有實感地把握。這樣，既能激發學生情感、培養學生興趣，又能大大提高課堂教學效率。