函數最值的幾種求法

梁義

摘 要： 關于函數最值問題一直是高考數學中的熱點及重點，而對于學生而言由于函數最值問題涉及的范圍廣、內容多，因此函數最值問題一直是學生學習的難點.本文主要探討了求函數最值的三種基本方法.

關鍵詞： 函數 最值 求解方法

近年來，高考數學試題越來越側重于考查考生的能力，而最值就是典型的能力考查題.據不完全統計每年高考中與其相關的試題近25%（3—4個小題，2—3個大題），如此高的分值比例說明求函數（代數式）的最值（范圍）是高考熱點中的熱點、重點中的重點，而其又是數學應用的關鍵切入點，是激發學生的數學學習興趣、提高數學綜合能力的重要題型，是證明不等式，解不等式，研究函數、方程的圖像，性質如值域、零點等方面不可或缺的知識.同時最值問題內容豐富而廣泛，遍及代數、幾何、三角等各數學模塊之中，因此求最值又是難點中的難點.

函數（代數式）最值（范圍）的確定名目繁多，方法多樣，但筆者依結構不同主要歸納為以下三種方法.

一、一元函數（代數式中只有一個未知數）

此類問題主要方法是函數的方法，即先確立該函數的單調性、定義域，由單調性和定義域共同求其最值.偶爾也用“不等式”方法，包括均值不等式、柯西不等式等，如

例1.設a>1，函數f（x）=log在區間[a，2a]上的最大值與最小值之差為，則a= .

點評：∵a>1，∴f（x）在[a，2a]上是增函數，由f（x）的單調性及定義域直接求出最值.

例2.定義域在R上的偶函數f（x）在[0，+∞]上遞增，f（）=0，則滿足f（logx）>0的x的取值范圍是 .

點評：1.由f（x）的奇偶性、單調性，知f（x）在R上的單調性，推出：logx>或logx<-進而得解.

2.求最值務必先確立單調性，問題隨之迎刃而解.

例3.已知函數y=f（x）是偶函數，當x>0時，f（x）=x+，且當x∈[-3，-2]時，n≤f（x）≤m恒成立，求m-n的值.

點評：此題可有兩種方法，即，

1.先確定x>0時，f（x）=x+的單調性，進而求解.

2.可直接使用“不等式”求得x>0時，f（x）的最值，進而得解.

二、二元函數（代數式中含有兩個未知數）

此類問題的主要方法是依所給條件所定，如所給條件及目標函數都有較重要的幾何意義，其主要方法是線性規劃法及其思想，如所給條件的幾何意義不明顯，則使用方法三.

例1.已知點P（x，y）的坐標同時滿足以下不等式：x+y≤4，y≥x，x≥1，如果點O為坐標原點，那么|OP|的最小值等于 ，最大值等于 .

點評：因為其幾何意義十分明顯，可直接使用線性規劃法.

例2.設實數x，y滿足不等式組x≥1y≥1x-y+1≥0x+y≤6，求z=的范圍.

點評：1.條件顯然有明顯的幾何意義，而目標z====2+是“斜率”的增函數，即確定了目標的幾何意義，問題得解.

2.幾何意義是可以通過“變形”發現的.

三、多元函數（代數式中含有兩個及兩個以上未知數）

此類問題多使用“不等式”方法，即用均值不等式、柯西不等式等結合“一正、二常、三等號”的原則構造結構，確定范圍.

例1.x，y∈R，x+xy+y=3，求u=？

點評：此題可用不等式x+y≥2xy可解，也可用代入法化為方法一求解.

例2.已知a+b+c=1，求證：

（Ⅰ）ab+ac+bc≤；（Ⅱ）++≥1.

點評：1.第1問：由（a+b+c）=1，a+b≥2ab，b+c≥2bc，a+c≥2ac易證.

第2問：++=（++）（a+b+c）=a+b+c++++++≥a+b+c+2ac+2ab+2ac=1.

2.此題顯然不適合用方法一二，只能采用方法三.

例3.a，b∈R，a+b=1，求的最大值.

點評：此題一二三種方法都可以解決，但是用柯西不等式簡捷、明了，是最適用的方法.

以上三種方法是我要介紹的求最值（范圍）最有效也是最常用的方法，是我處理此類問題的基本策略，令我受益匪淺，希望能給各位同仁提供參考.