例談初中數學定理教學

趙華云

數學定理是經過數學證明確認其真實性的命題。數學定理是數學的靈魂，也是學習數學的航標。初中階段是學生系統學習數學定理的起始階段，數學定理是初中數學的重要教學內容，是培養學生數學推理能力、邏輯思維能力和創新意識的重要途徑，學生只有系統地掌握數學定理，才能不斷提高數學基本能力，順利解答有關數學問題。

1.了解定理的由來，引導學生發現定理

現代教育理論認為，教師在課堂教學中的任務是為學生創設學習情境，恰當地組織和引導學生的學習活動，使學生能夠自主獲得知識，并促進智能的發展。

了解定理的由來，不僅有助于學生理解和記憶定理的具體內容，而且有利于培養學生的數學發現和數學創造能力。數學定理是從現實世界的空間形式或數量關系中抽象出來的。要使學生了解定理的由來，通常可采用兩種方法：一是通過對具體事物的觀察、測量、計算、作圖等實踐活動去猜想；二是通過一定的推理來發現。

例如，學習平行四邊形的性質定理時，讓學生觀察手中準備好的平行四邊形的邊、角和對角線，通過測量、計算、旋轉、平移、對折等方法，記錄下有關數據驗證猜想：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。又如學習三角形內角和定理時，可以用硬紙做一個三角形，把它的三個內角剪開后拼在一起，看看能否拼成一個平角；或者用量角器度量出三角形的內角，算算三個內角的和是否等于180°，從而發現這個定理所做的判斷。

2.明確定理的題設（條件）和結論

認識定理的結構是證明定理的基本出發點，它的主要任務是幫助學生分析定理的條件和結論，發掘定理所涉及的概念的特征或圖形的性質，利用有關數學符號，把已知和求證確切而簡練地表達出來。

正確書寫證明過程的前提是學會用符號語言書寫幾何定理，因為幾何定理的符號語言是證明過程中的基本單位，可采用“一劃、二畫、三寫”的步驟，讓學生盡快熟悉每一個定理的題設和結論。

例如，角平分線的性質定理：“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。”

一劃：就是劃出定理的題設和結論。用直線劃題設，用波浪線劃結論。

題設是“角平分線上的點”，結論是“點到角的兩邊的距離相等”。定理中所說的角平分線上的點，是指角的平分線上的“一切點”或“任一點”。所以這一定理實質上就是：“角的平分線上的任一點，到這個角的兩邊的距離相等。”用假言命題來表述，就是：“如果一點在一個角的平分線上，那么這點到這個角的兩邊的距離相等。”

二畫：根據定理的題設（條件）和結論，畫出所對應的基本圖形。

圖1

這里，題設和結論都包含需要進一步明確的概念：“角的平分線”、“點到直線的距離”，只有把這兩個概念具體化，才能用數學符號表述命題的已知和求證。

三寫：根據定理內容及所畫基本圖形，用符號語言表達定理的已知和求證。

已知：如圖1所示，∠AOC=∠BOC，點P是OC上的一點，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，求證：PD=PE。

這樣，學生就不難理解定理的本質，也容易發現證明定理的方法。

3.研究證明的方法、途徑

定理的證明是定理學習的重點，通過證明可以幫助學生弄清事物間的本質聯系，加深對數學定理的理解，不僅知其然，而且知其所以然，便于記憶和應用。教材給出的定理的證明方法，一般都具有一定的代表性。掌握這些證明方法，有助于發展學生的邏輯思維，使學生逐步養成嚴謹地思考問題的習慣，提高分析和解決問題的能力。

學習定理的證明，應使學生明確證明結構，掌握常用的各種證明方法，在證明過程中遵守證明的規則。為此，必須加強分析，把分析法和結合法結合起來使用。對于結構比較復雜的定理，可以先以分析法為主尋求證明思路，分析證明方法的來龍去脈；然后用綜合法表述證明過程，把整個證明連貫地、完整地敘述出來，注意書寫的格式和每一步推理的依據。

4.加強定理的應用

學生掌握定理是有一個過程的，一般是先懂—再會—后熟。應用所學定理解答有關的實際問題，實現這一過程的重要環節，可以結合例題和習題，通過動筆、動口、動腦，自己總結定理的使用范圍，明確應用時的注意事項，把握所解決的問題的基本類型。

例如，一元二次方程的根與系數的關系，常用以解答以下各類基本問題：（1）求解含有參數的一元二次方程；（2）不解方程，求一元二次方程的兩根的齊次式的值；（3）求作一元二次方程，使它的根分別是已知數x■和x■；（4）已知兩數的和與積，求此兩數；（5）不解方程，判斷一元二次方程的根的符號；（6）已知含參數的一元二次方程兩根所滿足的條件，求參數間的關系。通過這樣的總結，可以全面把握一元二次方程根與系數的關系的應用，了解它所解答的數學題的特點，從尋求解題依據的角度提高解題能力。

5.系統地整理定理

弄清各個定理在數學體系中的地位、作用，以及定理之間的內在聯系，可以從總體上把握數學定理的全貌。了解每個定理在知識體系中的來龍去脈；在總結復習時，可運用圖示、表解等方法，把學過的定理進行系統整理。

例如，點和圓、直線和圓、圓和圓的位置關系，復習時可以整理成下表，溝通定理間的內在聯系。

表中R、r表示圓的半徑；d在點和圓的位置關系中表示圓心到點的距離，在直線和圓的位置關系中表示圓心到直線的距離，在圓和圓的位置關系中表示兩圓心間的距離。

數學中的定理是揭露和反映數學概念本質屬性間的聯系的一種重要形式。學生要積極參與定理的探索、發現、推導的過程，不斷在數學思想方法指導下，弄清每一個題設、結論的因果關系，親身體驗到創造性思維活動中所經歷和應用到的數學思想和方法。在學習定理時，避免死記硬背、生搬硬套，要做到“活學活用”，靈活巧妙地應用定理，提高實際應用能力。