提升素養,智創絢麗多“猜”的數學舞臺

黃哲

一、源起，小學生數學猜想能力的勃興

１．數學猜想能力內涵界定

數學猜想是依據某些數學知識和事實，對未知量及其關系做出的似真判斷，是科學假說在數學中的體現，是數學理論的先導。

數學猜想能力是指根據已知的數學知識和掌握的數學辦法，通過理性思維方式對未知量及其關系做出猜測性推斷的能力。

２．理論奠基數學猜想

《數學課程標準》指出：“數學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創造力等方面有著獨特的作用?！边@說明數學對猜想能力形成的影響。數學猜想能力也利于學生推理能力的形成?！稊祵W課程標準》還指出：“推理能力主要表現在：能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據，給出證明或舉出反例；能清晰、有條理地表達自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據?！庇纱俗C明，猜想能力的培養不容忽視。

３．創造性呼喚數學猜想

“問題是數學的心臟”，而問題首先就來自于猜想。數學猜想具有科學性、假定性和創新性等特征，其中創造性對數學的發展起到了推動作用。

創造性思維的培養有利于學生形成猜想能力。數學猜想的創造性極具教育價值，既有利于提高學生分析、解決問題的能力，培養學生的創造性思維，又有利于學生領會和掌握科學研究與發現的一般方法等。

二、解構，影響數學猜想能力發展的因素

數學的發展和定理的建立，主要的創造性工作在于產生命題的猜想。而猜想的產生又受到我們自身的影響，主要因素有以下幾個方面。

１．元認知開啟猜想大門

數學解題的元認知是指對自身所從事的解題活動（策略選擇、過程組織等）的自我意識、自我分析和調整。一個人的元認知水平與問題的成功解決幾率成正比，因此，提高元認知水平有利于猜想的順利進行。

２．圖式構建創新思維體系

圖式是人腦中已經組織好了的信息結構或知識單元，是已有知識抽象化與具體化的一種綜合，為新的認知活動提供必要的框架。問題解決者根據已有的認知結構與問題的不斷篩選，從而有所猜想。如果個體內部表示網絡聯系不豐富，產生想法的可能性就越??；反之，則越有利于創造，因為創造的結果促成了新的理解。因此，理解相關數學知識對于進行數學創造性思維起到基礎作用。

課例：“萬以內數大小的比較”（黃愛華）

師（開展比數比賽，生抽數字卡片并放在數位表上）：從第一張卡片開始。

■

師：長江隊多厲害，一下子就抽到一張９。

生１：不好！

師：為什么不好？

生２：我認為每隊袋子中只有一個最大的數字，抽了最大的數字，剩下的數字就會小，這樣組成的數就小了。

師：你還挺會理解的。你們為什么不問一下老師，袋子里都有哪些數字？要不要我告訴你們？

生（眾）：要。

師：每個袋子里的數字卡片有０、１、２……９，共有兩套，所以不要以為抽到數字９不好，在某種情況下，抽到數學9也是有用的。

生３：千位、百位、十位的數都一樣時，就只能看個位上的數字了。

師：你瞧，黃河隊的同學多好，他們會幫著你們想問題了。當千位、百位、十位上的數都一樣時，不就看個位的數了嗎？當然，這種情況可能性不是很大。要不要看第二張卡片？

……

上述案例中，學生先利用已有知識——最大的一位數為９及對排列組合的認識，對比賽結果進行猜想，接著分析９在什么情況下被摸到是好或不好。其實，這就是在進行合情推理，也體現了“數學能夠幫助人們處理數據、進行計算、推理和證明”的結論。論證后，猜想得到認可，這就鼓勵了學生在以后的學習中能夠進行大膽猜測。

３．問題對猜想能力的影響

“問題——猜想——證明”是數學研究常用的公式，它在課堂中的應用，對培養學生提出問題、解決問題、探索未知、獲取新知的能力具有重要作用。猜想與假設是探究活動的核心環節之一，它的質量決定了探究活動的質量和深入程度。而決定猜想質量的是問題本身，還有問題的呈現方式及探究者的興趣、認知風格等。

課例：“萬以內數大小的比較”（黃愛華）

師：接下來比較的方法是老師講給你們聽，還是我們一起玩游戲？

生（眾）：玩游戲。

師：在數學課上玩游戲，你們要答應我要思考數學問題，好不好？那思考什么樣的問題呢？這節課我們需要解決什么問題？

生１：我們要學習比較數的大小的方法。

師：說得真好！這位同學能夠主動提出學數學過程當中需要研究的問題，了不起。還有誰？還有什么問題要提？

生２：怎么比？如何判斷大??？

師：怎么比？比的過程是怎樣的？有沒有一眼就能看出大和小的方法？好，這樣我們有了兩個問題：（１）比較的方法；（２）有沒有簡便的方法來比較。

師：你們想拿很多數來比，還是用生活實例中的數量來比？

生（眾）：用生活當中的。

師：這樣比較好，我們既長了見識，又學了數學。

……

上述教學中，我們感受到問題的作用。一方面，學生針對問題進行直覺判別（回答），這是學生對比較數的大小的迅速識別及直接理解。接著，學生又根據直覺推斷，對問題進行多次轉換，看似沒有固定模式，但卻有內在邏輯。由此可見，這些問答是教師對學生學習的啟發和猜想能力的培養。另一方面，由對于舊知“三位數大小的比較”的理解到對“四位數大小的比較”的合理猜想，我們看到學生的知識在不斷遷移，使他們體會到理解對形成數學猜想能力的重要性。

三、搭建，提升技能科學，構造多“猜”舞臺

１．立足教材，豐富手段

數學猜想是數學學習的重要手段，培養學生的猜想意識，有利于其形成正確的學習思維。教學中不論是概念的產生、公式和定理的發現、規律的探索，還是解決問題的方法與途徑等，教師都可以引導學生去猜想。因此，教師既應挖掘教材資源，又要充分發揮引導作用，利用各種教學手段培養學生的猜想能力。

２．重視激發，完善過程

實際教學中，教師不僅要鼓勵學生善疑善問，更要精心設問，創設合適的問題情境，用提問來激發學生猜想的沖動，并給學生提供時間和環境，使之完成猜想。猜想過程中，教師還要教會學生進行演繹論證，培養學生猜想的自信心。課堂中，教師引導學生進行積極而有效的猜想，會使學生探究學習的目標更加明確，進而激發學生進行發現與探究的主動性。

（責編劉宇帆）

一、源起，小學生數學猜想能力的勃興

１．數學猜想能力內涵界定

數學猜想是依據某些數學知識和事實，對未知量及其關系做出的似真判斷，是科學假說在數學中的體現，是數學理論的先導。

數學猜想能力是指根據已知的數學知識和掌握的數學辦法，通過理性思維方式對未知量及其關系做出猜測性推斷的能力。

２．理論奠基數學猜想

《數學課程標準》指出：“數學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創造力等方面有著獨特的作用?！边@說明數學對猜想能力形成的影響。數學猜想能力也利于學生推理能力的形成?！稊祵W課程標準》還指出：“推理能力主要表現在：能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據，給出證明或舉出反例；能清晰、有條理地表達自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據?！庇纱俗C明，猜想能力的培養不容忽視。

３．創造性呼喚數學猜想

“問題是數學的心臟”，而問題首先就來自于猜想。數學猜想具有科學性、假定性和創新性等特征，其中創造性對數學的發展起到了推動作用。

創造性思維的培養有利于學生形成猜想能力。數學猜想的創造性極具教育價值，既有利于提高學生分析、解決問題的能力，培養學生的創造性思維，又有利于學生領會和掌握科學研究與發現的一般方法等。

二、解構，影響數學猜想能力發展的因素

數學的發展和定理的建立，主要的創造性工作在于產生命題的猜想。而猜想的產生又受到我們自身的影響，主要因素有以下幾個方面。

１．元認知開啟猜想大門

數學解題的元認知是指對自身所從事的解題活動（策略選擇、過程組織等）的自我意識、自我分析和調整。一個人的元認知水平與問題的成功解決幾率成正比，因此，提高元認知水平有利于猜想的順利進行。

２．圖式構建創新思維體系

圖式是人腦中已經組織好了的信息結構或知識單元，是已有知識抽象化與具體化的一種綜合，為新的認知活動提供必要的框架。問題解決者根據已有的認知結構與問題的不斷篩選，從而有所猜想。如果個體內部表示網絡聯系不豐富，產生想法的可能性就越??；反之，則越有利于創造，因為創造的結果促成了新的理解。因此，理解相關數學知識對于進行數學創造性思維起到基礎作用。

課例：“萬以內數大小的比較”（黃愛華）

師（開展比數比賽，生抽數字卡片并放在數位表上）：從第一張卡片開始。

■

師：長江隊多厲害，一下子就抽到一張９。

生１：不好！

師：為什么不好？

生２：我認為每隊袋子中只有一個最大的數字，抽了最大的數字，剩下的數字就會小，這樣組成的數就小了。

師：你還挺會理解的。你們為什么不問一下老師，袋子里都有哪些數字？要不要我告訴你們？

生（眾）：要。

師：每個袋子里的數字卡片有０、１、２……９，共有兩套，所以不要以為抽到數字９不好，在某種情況下，抽到數學9也是有用的。

生３：千位、百位、十位的數都一樣時，就只能看個位上的數字了。

師：你瞧，黃河隊的同學多好，他們會幫著你們想問題了。當千位、百位、十位上的數都一樣時，不就看個位的數了嗎？當然，這種情況可能性不是很大。要不要看第二張卡片？

……

上述案例中，學生先利用已有知識——最大的一位數為９及對排列組合的認識，對比賽結果進行猜想，接著分析９在什么情況下被摸到是好或不好。其實，這就是在進行合情推理，也體現了“數學能夠幫助人們處理數據、進行計算、推理和證明”的結論。論證后，猜想得到認可，這就鼓勵了學生在以后的學習中能夠進行大膽猜測。

３．問題對猜想能力的影響

“問題——猜想——證明”是數學研究常用的公式，它在課堂中的應用，對培養學生提出問題、解決問題、探索未知、獲取新知的能力具有重要作用。猜想與假設是探究活動的核心環節之一，它的質量決定了探究活動的質量和深入程度。而決定猜想質量的是問題本身，還有問題的呈現方式及探究者的興趣、認知風格等。

課例：“萬以內數大小的比較”（黃愛華）

師：接下來比較的方法是老師講給你們聽，還是我們一起玩游戲？

生（眾）：玩游戲。

師：在數學課上玩游戲，你們要答應我要思考數學問題，好不好？那思考什么樣的問題呢？這節課我們需要解決什么問題？

生１：我們要學習比較數的大小的方法。

師：說得真好！這位同學能夠主動提出學數學過程當中需要研究的問題，了不起。還有誰？還有什么問題要提？

生２：怎么比？如何判斷大??？

師：怎么比？比的過程是怎樣的？有沒有一眼就能看出大和小的方法？好，這樣我們有了兩個問題：（１）比較的方法；（２）有沒有簡便的方法來比較。

師：你們想拿很多數來比，還是用生活實例中的數量來比？

生（眾）：用生活當中的。

師：這樣比較好，我們既長了見識，又學了數學。

……

上述教學中，我們感受到問題的作用。一方面，學生針對問題進行直覺判別（回答），這是學生對比較數的大小的迅速識別及直接理解。接著，學生又根據直覺推斷，對問題進行多次轉換，看似沒有固定模式，但卻有內在邏輯。由此可見，這些問答是教師對學生學習的啟發和猜想能力的培養。另一方面，由對于舊知“三位數大小的比較”的理解到對“四位數大小的比較”的合理猜想，我們看到學生的知識在不斷遷移，使他們體會到理解對形成數學猜想能力的重要性。

三、搭建，提升技能科學，構造多“猜”舞臺

１．立足教材，豐富手段

數學猜想是數學學習的重要手段，培養學生的猜想意識，有利于其形成正確的學習思維。教學中不論是概念的產生、公式和定理的發現、規律的探索，還是解決問題的方法與途徑等，教師都可以引導學生去猜想。因此，教師既應挖掘教材資源，又要充分發揮引導作用，利用各種教學手段培養學生的猜想能力。

２．重視激發，完善過程

實際教學中，教師不僅要鼓勵學生善疑善問，更要精心設問，創設合適的問題情境，用提問來激發學生猜想的沖動，并給學生提供時間和環境，使之完成猜想。猜想過程中，教師還要教會學生進行演繹論證，培養學生猜想的自信心。課堂中，教師引導學生進行積極而有效的猜想，會使學生探究學習的目標更加明確，進而激發學生進行發現與探究的主動性。

（責編劉宇帆）

一、源起，小學生數學猜想能力的勃興

１．數學猜想能力內涵界定

數學猜想是依據某些數學知識和事實，對未知量及其關系做出的似真判斷，是科學假說在數學中的體現，是數學理論的先導。

數學猜想能力是指根據已知的數學知識和掌握的數學辦法，通過理性思維方式對未知量及其關系做出猜測性推斷的能力。

２．理論奠基數學猜想

《數學課程標準》指出：“數學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創造力等方面有著獨特的作用?！边@說明數學對猜想能力形成的影響。數學猜想能力也利于學生推理能力的形成?！稊祵W課程標準》還指出：“推理能力主要表現在：能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據，給出證明或舉出反例；能清晰、有條理地表達自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據?！庇纱俗C明，猜想能力的培養不容忽視。

３．創造性呼喚數學猜想

“問題是數學的心臟”，而問題首先就來自于猜想。數學猜想具有科學性、假定性和創新性等特征，其中創造性對數學的發展起到了推動作用。

創造性思維的培養有利于學生形成猜想能力。數學猜想的創造性極具教育價值，既有利于提高學生分析、解決問題的能力，培養學生的創造性思維，又有利于學生領會和掌握科學研究與發現的一般方法等。

二、解構，影響數學猜想能力發展的因素

數學的發展和定理的建立，主要的創造性工作在于產生命題的猜想。而猜想的產生又受到我們自身的影響，主要因素有以下幾個方面。

１．元認知開啟猜想大門

數學解題的元認知是指對自身所從事的解題活動（策略選擇、過程組織等）的自我意識、自我分析和調整。一個人的元認知水平與問題的成功解決幾率成正比，因此，提高元認知水平有利于猜想的順利進行。

２．圖式構建創新思維體系

圖式是人腦中已經組織好了的信息結構或知識單元，是已有知識抽象化與具體化的一種綜合，為新的認知活動提供必要的框架。問題解決者根據已有的認知結構與問題的不斷篩選，從而有所猜想。如果個體內部表示網絡聯系不豐富，產生想法的可能性就越??；反之，則越有利于創造，因為創造的結果促成了新的理解。因此，理解相關數學知識對于進行數學創造性思維起到基礎作用。

課例：“萬以內數大小的比較”（黃愛華）

師（開展比數比賽，生抽數字卡片并放在數位表上）：從第一張卡片開始。

■

師：長江隊多厲害，一下子就抽到一張９。

生１：不好！

師：為什么不好？

生２：我認為每隊袋子中只有一個最大的數字，抽了最大的數字，剩下的數字就會小，這樣組成的數就小了。

師：你還挺會理解的。你們為什么不問一下老師，袋子里都有哪些數字？要不要我告訴你們？

生（眾）：要。

師：每個袋子里的數字卡片有０、１、２……９，共有兩套，所以不要以為抽到數字９不好，在某種情況下，抽到數學9也是有用的。

生３：千位、百位、十位的數都一樣時，就只能看個位上的數字了。

師：你瞧，黃河隊的同學多好，他們會幫著你們想問題了。當千位、百位、十位上的數都一樣時，不就看個位的數了嗎？當然，這種情況可能性不是很大。要不要看第二張卡片？

……

上述案例中，學生先利用已有知識——最大的一位數為９及對排列組合的認識，對比賽結果進行猜想，接著分析９在什么情況下被摸到是好或不好。其實，這就是在進行合情推理，也體現了“數學能夠幫助人們處理數據、進行計算、推理和證明”的結論。論證后，猜想得到認可，這就鼓勵了學生在以后的學習中能夠進行大膽猜測。

３．問題對猜想能力的影響

“問題——猜想——證明”是數學研究常用的公式，它在課堂中的應用，對培養學生提出問題、解決問題、探索未知、獲取新知的能力具有重要作用。猜想與假設是探究活動的核心環節之一，它的質量決定了探究活動的質量和深入程度。而決定猜想質量的是問題本身，還有問題的呈現方式及探究者的興趣、認知風格等。

課例：“萬以內數大小的比較”（黃愛華）

師：接下來比較的方法是老師講給你們聽，還是我們一起玩游戲？

生（眾）：玩游戲。

師：在數學課上玩游戲，你們要答應我要思考數學問題，好不好？那思考什么樣的問題呢？這節課我們需要解決什么問題？

生１：我們要學習比較數的大小的方法。

師：說得真好！這位同學能夠主動提出學數學過程當中需要研究的問題，了不起。還有誰？還有什么問題要提？

生２：怎么比？如何判斷大?。?/p>

師：怎么比？比的過程是怎樣的？有沒有一眼就能看出大和小的方法？好，這樣我們有了兩個問題：（１）比較的方法；（２）有沒有簡便的方法來比較。

師：你們想拿很多數來比，還是用生活實例中的數量來比？

生（眾）：用生活當中的。

師：這樣比較好，我們既長了見識，又學了數學。

……

上述教學中，我們感受到問題的作用。一方面，學生針對問題進行直覺判別（回答），這是學生對比較數的大小的迅速識別及直接理解。接著，學生又根據直覺推斷，對問題進行多次轉換，看似沒有固定模式，但卻有內在邏輯。由此可見，這些問答是教師對學生學習的啟發和猜想能力的培養。另一方面，由對于舊知“三位數大小的比較”的理解到對“四位數大小的比較”的合理猜想，我們看到學生的知識在不斷遷移，使他們體會到理解對形成數學猜想能力的重要性。

三、搭建，提升技能科學，構造多“猜”舞臺

１．立足教材，豐富手段

數學猜想是數學學習的重要手段，培養學生的猜想意識，有利于其形成正確的學習思維。教學中不論是概念的產生、公式和定理的發現、規律的探索，還是解決問題的方法與途徑等，教師都可以引導學生去猜想。因此，教師既應挖掘教材資源，又要充分發揮引導作用，利用各種教學手段培養學生的猜想能力。

２．重視激發，完善過程

實際教學中，教師不僅要鼓勵學生善疑善問，更要精心設問，創設合適的問題情境，用提問來激發學生猜想的沖動，并給學生提供時間和環境，使之完成猜想。猜想過程中，教師還要教會學生進行演繹論證，培養學生猜想的自信心。課堂中，教師引導學生進行積極而有效的猜想，會使學生探究學習的目標更加明確，進而激發學生進行發現與探究的主動性。

（責編劉宇帆）