帶次優無偏噪聲估值器的KF短期負荷預測

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(1.三峽大學 電氣與新能源學院，湖北 宜昌 443002；2.國家電網直流建設分公司 ，北京 100052)

1 引言

卡爾曼濾波算法是R.E.Kalman于1960年提出的適合數字計算機的遞推濾波方法，它采用狀態方程和量測方程組成的狀態空間來描述濾波器，該方法所研究的信號過程除了可以是平穩的純量隨機過程，也可包括非平穩的向量隨機過程。本文將所有引起負荷變化的因素(如氣候、降雨、溫度)歸為隨機系統的隨機因素來處理；為了對噪聲協方差有比較準確的估計，運用時變次優無偏噪聲估值器對噪聲協方差進行自適應估計，提高了濾波預測精度。用實際數據進行Matlab仿真驗證的結果表明，該方法使誤差得到了有效控制。

卡爾曼濾波是基于最小均方誤差地遞推預測算法，通過對模型參數的辨識，實現對觀測序列的預測。其用于負荷預測算法的指導思想是：將負荷分為確定分量和隨機分量，確定分量一般采用線性回歸模型預測，隨機分量采用卡爾曼濾波算法預測。文獻[2]較早地將隨機系統狀態模型辨識技術用于電力系統負荷預報；文獻[3]提出了用卡爾曼濾波結合最小二乘法線性擬合及3次樣條插值的數學方法；文獻[4]提出了自校正移動窗卡爾曼濾波-最小二乘算法，該算法通過移動窗最小二乘算法得到較精確的參數估計；文獻[5]則根據對測量新息做出估計，實現了一步預測基礎上的二次修正；文獻[6]分別以負荷需求序列和時變參數序列為狀態變量建立了兩個狀態空間模型，采用兩段自適應卡爾曼濾波方法進行負荷預測；文獻[7]提出了在預測值的基礎上加上溫度修正值的負荷預測方法。

2 卡爾曼濾波理論簡介

假設有如下的自由狀態定常線性系統模型。

(1)

z(k)=Hx(k)+v(k)

(2)

當系統的初始狀態x(k0)及系統干擾ω(k)和測量噪聲v(k)是隨機過程，為了使問題簡化，需要對系統干擾、測量噪聲及系統的初始狀態作一定的假設。系統干擾和測量噪聲是零均值或非零均值的白噪聲過程或高斯白噪聲過程，即

(3)

式中，Q(k)非負定矩陣，是ω(k)的強度函數；R(k)為對稱正定矩陣，是v(k)的方差強度矩陣；d(k)是狄拉克函數；A是n×n維狀態轉移矩陣；H是1×n維測量矩陣。系統干擾和測量噪聲互不相關，且與初始狀態x(k0)無關

Cov[ω(k),v(k)]=0

Cov[x(k0),ω(k)]=0

Cov[x(k0),v(k)]=0

(4)

利用正交投影定理推導卡爾曼濾波遞推公式如下：

狀態預測方程：

(5)

誤差協方差預

Pk|k-1=APk-1AT+Qk-1

(6)

狀態估計校正：

(7)

誤差協方差估計校正：

Pk|k=(I-KkHk)Pk|k-1

(8)

卡爾曼增益：

(9)

詳細推導過程見文獻[8]。

3 次優無偏估值器的應用改進

為盡量減少隨機噪聲因素對預測結果的影響，在利用觀測數據進行遞推濾波的同時，需要不斷了不斷地修正模型中噪聲協方差陣，以提高濾波精度。

確定系統干擾ω(k)、v(k)統計特性，也就是噪聲強度矩陣Q(k)、R(k)的確定。Q(k)、R(k)選取好壞對濾波精度有直接的影響，動態模型越不精確，這種影響就越大。但在實際應用中，通過已知信息很難得到比較準確的Q、R值，況且隨著新息的不斷加入，Q、R值的不準確性越來越明顯，這樣就直接導致了預測結果偏差比較大。

因此，在對遞推方程(6)、(9)進行計算時，有必要對噪聲協方差采取自適應的方法，引入次優無偏噪聲估值器[9]。

(10)

(11)

以上運用次優無偏估值器計算簡單，可同時在線估計出系統噪聲協方差和測量噪聲協方差，但是在ε(k+1)出現較大值或系統階數較高時，濾波器易發散。

(12)

(13)

4 算例分析

本文以某實際電網2011年夏季8月7日至15日每天24小時的負荷作為歷史負荷。歷史負荷曲線見圖1，抽離平均值后的隨機負荷頻數直方圖見圖2。從圖1可見日負荷曲線雖然呈較強的非線性，但是也有明顯的以天為周期的周期性，且峰谷負荷出現在固定的時間段。從圖2可見隨機負荷服從正太分布。

在進行數據分析前先要對異常數據進行處理，再用上文所述方法進行仿真預測。

圖1 歷史負荷曲線圖

圖2 隨機負荷頻數直方圖

4.1 模型參數辨識

4.1.1 模型階數辨識

設已知被辨識系統的隨機負荷序列l0,l1,…,lN。并按下式構造Hankel矩陣(簡稱H矩陣)。

(14)

其維數為m×m。在弱噪聲情況下，可分別令m=1,2,3,…，求出每個m值下H陣行列式值，當行列式值達到極大時的m值，即為系統的階數n；在強噪聲情況下，不能直接用隨機負荷序列，而是采用隨機負荷序列的自相關系數構造H矩陣，即用隨機負荷序列的自相關系數ρi代替li，然后計算H陣的行陣式的值，當行陣式值取極小值時的m即為系統階數[9]。

4.1.2 模型轉移矩陣和測量矩陣的辨識

本文采用相關函數——最小二乘相結合的方法辨識系統模型的轉移矩陣?；舅枷胧前驯孀R分兩步進行。第一步，利用相關函數法對隨機負荷分量進行一次相關分析，獲得被辨識對象的相關函數；第二步利用最小二乘法進一步估計模型的參數。

狀態轉移矩陣A、測量矩陣H采用與其等價的，辨識參數最少的典范性[2]。

H=[1 0 … 0]1×n

輸出隨機負荷序列的相關函數為：

R(n)=E{Z(k+n)Z(k)}

(15)

根據平穩過程遍歷性，統計均值可以用時間平均代替，(15)式可改寫為：

(16)

可以推得(16)式的遞推式為：

(17)

式子中ak為A中第一行參數，利用(16)、(17)式，采用最小二乘法即可計算出模型參數ak的值。

4.2 算法步驟

(1)分析歷史負荷數據，處理異常數據點。

(2)根據4.1求模型參數，模型參數及遞推初始值見表1。

表1 模型參數

4.3 仿真結果

下面給出利用上述方法得到的預測誤差和預測結果，預測相對誤差見圖3，預測結果對比見圖4。為了衡量負荷預測的有效性用百分相對誤差(Relative Percentage Error ，RPE)來計算某一時刻的誤差，用平均絕對百分誤差(Mean Absolute Percentage Error,MAPE)來反映誤差總體大小。其計算式如下：

(18)

(19)

圖3 相對誤差圖

圖4 負荷對比圖

其平均相對誤差為-0.38%，平均絕對誤差為1.24%。由此可見對次優無偏噪聲估值器的應用改進是有效的。

5 結論

本文運用帶次優無偏噪聲估值器的卡爾曼濾波理論建立了短期負荷預測模型，并進行短期負荷預測。通過Matlab仿真計算證明了該預測模型的可行性。同時針對負荷預測的特點，通過對次優無偏噪聲估值器的改進，提高了預測精度。

參數辨識后的帶次優無偏估值器的卡爾曼濾波器始終處于穩定狀態，說明卡爾曼濾波模型參數辨識方法是可行的。

另外，將其他影響負荷的因素(如溫度，降雨，體感溫度)等與本文的方法綜合考慮，可期望得到更好的預測結果。

[1] P.C.Gupta,K.Yamada.Adaptive short-term forecasting of hourly loads usingweather information[J],IEEE Transactions powerApparatusSystem,PAS-91,1972:2085-2094.

[2] 李洪心，易允文.隨機辨識系統在電力系統負荷預報中的應用[J].信息與控制，1985(3):31-34.

[3] 張民，鮑海，晏玲，等.基于卡爾曼濾波的短期負荷預測方法的研究[J].電網技術，2003,27(10)：39-42.

[4] 王正歐，張建平，等.電力系統超短期負荷預報的一種方法[J].天津大學學報，1992(2)：125-130.

[5] 孟思齊，楊洪耕.基于卡爾曼濾波二次修正的短期負荷預測[J]，電網與水力發電進展,2008,24(2)：78-82.

[6] 馬靜波，楊洪耕.自適應卡爾曼濾波在電力系統短期負荷預測中的應用[J].電網技術，2005,29(1)：75-79.

[7] 李明干，孫健利，劉沛.基于卡爾曼濾波的電力系統短期負荷預測[J].繼電器，2004,32(4)：9-12.

[8] 王志賢.最優狀態估計與系統辨識[M].西安：西北工業大學出版社，2004.

[9] 劉勝，張紅梅.最優估計理論[M].北京：科學出版社，2011.