用列表格法分析數(shù)量關(guān)系解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題

張以德

從小學(xué)到初中，大多數(shù)學(xué)生遇到文字比較長的應(yīng)用題一直不知道怎樣去分析，去尋找題中的數(shù)量關(guān)系，不知道怎樣把實(shí)際問題化成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型。從上學(xué)期開始，我嘗試采取用表格分析的方法，幫助學(xué)生解決列方程解應(yīng)用題。先列表格，把求解目標(biāo)、已知條件分列出來，使數(shù)量關(guān)系明朗化，列方程就容易了。

列表法就是借助于列出表格的形式進(jìn)行解題的一種方法，在有些應(yīng)用題里，各種數(shù)量間的關(guān)系比較隱蔽，一下子不容易看出，而且條件繁多，變化復(fù)雜，遇到這些題目時(shí)，可以采用列表法來分析條件。列表時(shí)，可以先根據(jù)題意畫出表格，然后把問題中所有的已知量、未知量、隱蔽條件和所求量，用通用的記號(hào)、符號(hào)、字母等來代替，逐一填入表格中。而把問題中無關(guān)要緊的語句去掉，使我們能集中注意力考慮問題，迅速地找到等量關(guān)系，從而使問題得到正確解決。下面舉幾個(gè)例子加以說明。

例1：廣東宏遠(yuǎn)隊(duì)的朱芳雨是中國男籃的主力前鋒，在一場(chǎng)洲際杯比賽中，他一人獨(dú)得23分（不含罰球得分）.已知他投進(jìn)3分球比2分球少4個(gè)，他一共投進(jìn)了幾個(gè)3分球和幾個(gè)2分球？

認(rèn)真閱讀上述題目，我們思考以下問題：

1.題中涉及哪幾個(gè)量？

2.投中3分球個(gè)數(shù)和2分球的個(gè)數(shù)關(guān)系如何？得分是多少？

3.題目中的相等關(guān)系是什么？（3分球得分+2分球得分=23；2分球個(gè)數(shù)-3分球個(gè)數(shù)=4）.

假設(shè)投中3分球個(gè)數(shù)為x個(gè)，填寫以下表格，根據(jù)表格和相等關(guān)系列出方程求解，并想一想你能列出其他方式的表格嗎？

到了七年級(jí)，學(xué)習(xí)了二元一次方程組，本題可以假設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，利用以上兩個(gè)等量關(guān)系，列出兩個(gè)方程，構(gòu)成方程組求解，更易于理解。

如此，我在問題情景中，初步體驗(yàn)用表格分析問題各量間的相互關(guān)系，感受到列表格是解決問題的一個(gè)重要手段.

例2：某商店以2400元購進(jìn)某種盒裝茶葉，1月份每盒按進(jìn)價(jià)增加20%作為售價(jià)，售出50盒。2月份每盒以低于進(jìn)價(jià)5元作為售價(jià)，售完余下的茶葉。在整個(gè)買賣過程中盈利350元。求每盒茶葉的進(jìn)價(jià)。

第一步，靜心讀題理頭緒

題意敘述了購進(jìn)茶葉以及分兩個(gè)月售完茶葉的過程；題目中有三類不同實(shí)際意義的數(shù)量：單價(jià)，茶葉的盒數(shù)，總價(jià)；理清這兩方面的頭緒后，就用表格框架表示出來。

第二步，分析數(shù)量填表格

先設(shè)購進(jìn)茶葉的單價(jià)為每盒元x，再在表內(nèi)填入已知數(shù)量：購進(jìn)茶葉的總價(jià)2400元，1月份售出茶葉50盒。然后用的x代數(shù)式分別表示，1、2月份售出茶葉的單價(jià)，表示購進(jìn)茶葉的盒數(shù)和二月份售出茶葉的盒數(shù)。在這基礎(chǔ)上，以單價(jià)與盒數(shù)相乘，分別表示1、2月份售出茶葉的總價(jià)，得到如下表格（見下表）：

第三步，兩個(gè)方面作比較

題目還有個(gè)條件：盈利350元。就是把兩個(gè)月售出的總價(jià)之和與購進(jìn)的總價(jià)比較，售出的總價(jià)之和多350元。

第四步，平衡多少列方程

從“多=少+差”的角度平衡這兩方面，列出方程：

50（1+20%）x+（x-5）（2400/x-50）=2400+350

（下略，答案是：每盒茶葉的進(jìn)價(jià)是40元）

用列表法分析條件，不但眉目清楚，而且條件也不會(huì)遺漏，對(duì)初學(xué)者來說，是比較實(shí)用的。下面再舉一例。

例3：七年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校10千米的博物館參觀，一部分同學(xué)騎自行車先走，過了20分鐘，其余同學(xué)乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)。已知汽車的速度是騎車同學(xué)速度的2倍，求騎車同學(xué)的速度。

思考：這是勻速運(yùn)動(dòng)問題，它涉及到三個(gè)量：路程，速度，時(shí)間，其關(guān)系式為S=Vt，現(xiàn)分自行車、汽車兩種情況列表如下：

在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，這類問題一般編有兩層或兩方面的內(nèi)容（如本題中的自行車和汽車），而在三個(gè)關(guān)系量中，每方面只具體地給出一個(gè)已知量（如本題的距離10千米），其他兩個(gè)量不明確給出（如本題兩種車的速度和這兩種車到達(dá)博物館所用的時(shí)間），題中還給出了三個(gè)量之間的等量關(guān)系（如題中有：⑴自行車比汽車多用20分鐘。⑵汽車的速度是自行車速度的2倍）。

現(xiàn)把已知條件填入上表，進(jìn)行觀察：

？

由上表可以看出，本題共有4個(gè)未知量，若想列一元方程來解，就假設(shè)一個(gè)未知數(shù)x來表示這4個(gè)未知量中的任何一個(gè)，這樣一來就有4種設(shè)法，到底采用哪一種設(shè)法較好呢？一般地說：（1）題目要求什么，就設(shè)什么為x；（2）列未知數(shù)的系數(shù)為整數(shù)優(yōu)于分?jǐn)?shù)。

根據(jù)公式S=Vt（隱含著的等量關(guān)系）和上面所說的設(shè)元方法，現(xiàn)設(shè)自行車的速度為x千米/時(shí)，填得如下表：

其中，2x利用了題設(shè)中的等量關(guān)系：汽速=自行車速度的2倍，利用了隱含的等量關(guān)系；

沒有利用的等量關(guān)系是：自走時(shí)間-汽走時(shí)間=20分鐘 ，據(jù)此，可列方程：_______-_______=________，求得自行畫的速度為每小時(shí)15千米。

換個(gè)角度思考，如果把本題的要求改為：騎車同學(xué)到博物館用了多少時(shí)間？則可設(shè)汽車到達(dá)博物館用了x小時(shí)，也可以得到下表：

對(duì)于任何一個(gè)應(yīng)用題，只要仔細(xì)地分析題中的數(shù)量關(guān)系，都可以得到幾個(gè)不同的方程方程的意義，這正是我們建起方程的根本。用表格法分析題中的數(shù)量關(guān)系與線段、圖解法一樣，僅僅是分析的一種手段而已，并沒有什么獨(dú)創(chuàng)之處。能用表格法分析的應(yīng)用題，同樣也可以借助于其它工具分析。但對(duì)于有幾個(gè)量限制的問題，通過表格法我們更容易理清各個(gè)量之間的關(guān)系，降低題目難度，快速找到等量關(guān)系，列出方程。

幾點(diǎn)說明：

1.針對(duì)不同的應(yīng)用題，可以設(shè)計(jì)不同的表格。表格的橫向反映不同數(shù)量的關(guān)系，即：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)；表格的縱向反映題目包含的不同階段或不同方面。

2.填表后總有一個(gè)條件沒有用過，正好用來列方程。

3.在用此法解決問題時(shí)，隨著解題的著眼點(diǎn)的不同，表格的形式也不是千篇一律的，必須在實(shí)踐中靈活運(yùn)用。