2020年全國I卷理科數學第20題解法探究與推廣

許素娜

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點.

該試題是以直線與橢圓為背景的定點問題，呈現方式常規但又不俗套，表述清楚，簡潔明了，給人一種平和中見親切、簡明中見關懷的感覺.作為壓軸題，不僅考查了基礎知識、基本技能和基本方法，同時注重解法的多樣性與靈活性，注重直線和圓錐曲線的綜合運算，突出了對數學思想和數學方法的考查，集中體現了邏輯推理、函數與方程思想，體現了數學運算的核心素養，是難得一見的好題.

評析 常規解法1和常規解法2，都是采用設而不求，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理，消參，最終求出直線過定點.思路較為簡單自然，也是高中解圓錐曲線常用的方法，也就是高中圓錐曲線問題的常規解法，學生容易接受，但最大的問題在于計算麻煩，花費時間過多，在高考有限的時間內，很多考生是有想法，但不一定算出結果，對考生的計算能力有較高的要求.

評析解法3、4與解法1、2相比，加入了一些技巧，運算稍微簡化一些，可以稍微節約一些時間，但同樣需要較強的計算能力，這也告訴我們，在學習圓錐曲線知識時，除了提高運算的核心素養外，也要多思考，領會本質內容，靈活運用.

評析 解法5簡單明了，計算簡單，由此可見極點極線知識對于這類定值問題的探究具有非一般的作用.極點極線是圓錐曲線的一種基本概念，自極三點形牽連著圓錐曲線的許多性質，作用非凡.它雖然沒在高中課本中直接明確提出，實際上上在教材和各類考試中經常涉及到，以不同的形式隱藏在命題的條件和結論中.用極點極線的知識去分析和解決問題，往往會起到事半功倍的作用.

愛因斯坦說：“想象比知識更重要”.數學家波利亞也說過，“觀察可能導致發現，觀察將揭示某種規則，模式或定理”.解決了上面的高考題，我們并不滿足，就此停下我們探求的腳步.通過觀察、類比、聯想并證明，將對此題進行推廣，進而掌握一類問題的解決.

4 教學啟示

（1）在教學中應注重培養學生的數學運算能力.對于解法1和解法2，大部分學生雖然明白思路但望而卻步，解法3和解法4雖然稍微簡化了運算，但也有大量學生做不出，主要原因是數學運算不過關，因此在平時教學中教師應注重數學運算能力的培養.數學運算主要表現為：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結果等，通過數學運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的習慣，教師絕不能越俎代庖，思路代替不了運算，具有運算的核心素養.

（2）在教學中應重視知識的生成過程，注意對問題本質的探究.以上可以看出，作為壓軸題，它所涉及的知識大都是多元的，面對多元的基礎知識及其相互聯系，靠死記硬背肯定不行.在平時的教學中，教師要重視知識的生成過程，幫助學生建立和領會知識體系的網絡結構，讓學生領略和體會主干知識的常見交會處，教學中要培養學生對知識和問題的本質進行研究的習慣.

（3）在教學中應加強各年各省高考試卷的研究，這道題其實多次出現在各省的高考試卷中，例如2010年的江蘇卷，還有2006年的湖北理科卷，2011年四川文科卷等，因此教師應該對各地各年的高考試卷進行研究，把握學習的方向，給予學生的備考方法上的指導，同時鼓勵學有余力的學生適當加深課本內容，使學習更有深度和廣度，例如，解法5利用極點極線思想能大大地減少運算，縮短時間，提高正確率.

（4）教師應有意識地在傳授知識的同時，幫助學生揭示相關的學科思想方法，使他們在獲得知識的過程中同步地形成相應學科的思想方法，并自覺地應用這些思想方法來解決問題，

參考文獻

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