基于漢密爾頓方程的最優(yōu)消費(fèi)路徑研究

王順　安偉

摘 要：基于AK理論建立了包含消費(fèi)、投資、貼現(xiàn)因子和折舊率的效用最大化模型，運(yùn)用漢密爾頓-貝爾曼方程對(duì)模型求解，得到最優(yōu)消費(fèi)路徑。通過(guò)最優(yōu)消費(fèi)路徑我們發(fā)現(xiàn)：折舊率與消費(fèi)和資本負(fù)相關(guān)，貼現(xiàn)因子與消費(fèi)負(fù)相關(guān)，與資本正相關(guān)。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)消費(fèi)路徑 ；哈密爾頓；貼現(xiàn)因子

一、引言

社會(huì)總產(chǎn)出由消費(fèi)和投資決定，在不考慮折舊的情況下，投資等于資本的變化率。經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)和資本的積累取決于消費(fèi)和投資之間的比例。那么消費(fèi)和投資之間的最優(yōu)比例是什么？資本折舊率和貼現(xiàn)因子對(duì)總的社會(huì)效用產(chǎn)生什么樣的影響？

本文研究的是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的最優(yōu)消費(fèi)投資路徑，理論框架是持久收入假設(shè)和內(nèi)生增長(zhǎng)理論，選擇的模型是資本產(chǎn)出彈性為單位彈性的AK模型，這是因?yàn)橘Y本在發(fā)展中國(guó)家的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)中起到了重要作用，發(fā)展中國(guó)家可以通過(guò)購(gòu)買外國(guó)的先進(jìn)技術(shù)設(shè)備來(lái)發(fā)展本國(guó)的經(jīng)濟(jì)，發(fā)揮自己的后發(fā)優(yōu)勢(shì)。

二、模型

模型假定該國(guó)只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品既可以消費(fèi)又可以投資，該產(chǎn)品作為投資品和消費(fèi)品的時(shí)候，兩者之間可以相互轉(zhuǎn)換。經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)由資本決定，消費(fèi)和投資之間的比例是由行為人決定的，政府的目標(biāo)是通過(guò)政策引導(dǎo)消費(fèi)路徑，使行為人可以獲得最大效用。設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為yt=Akt，其中A反映技術(shù)水平，yt、kt和ct分別表示在t時(shí)期的生產(chǎn)量、資本量和消費(fèi)量（ct≥0，kt≥0），k0為初始資本量，得下面模型：

Max■βtln（ct）（1）

s.t. kt+1=yt+（1-δ）kt-ct，yt=Akt，

其中δ為資本折舊率，0≤δ≤1；β為貼現(xiàn)因子，0<β<1；Max■βtln（ct）表示行為人追求一生消費(fèi)效用的最大化，其中ct是控制變量，kt為狀態(tài)變量，本期的商品總供給和消費(fèi)決定了下期的資本數(shù)量。令f（kt）=Akt+（1-δ）=kt=（A+1-δ）kt，上述限制條件轉(zhuǎn)化為：s.t. kt+1=f（kt）-ct， f（kt） =（A+1-δ）kt（2）

因?yàn)閗t+1=f（kt）-ct，所以ct=f（kt）-kt+1，ct可以用kt的函數(shù)關(guān)系式來(lái)表示。求Max∑∞t=0βtln（ct）就是指在約束條件下，找到一個(gè)合適路徑使得目標(biāo)函數(shù)的值最大。

為了求值方便，將（2）式轉(zhuǎn)化為連續(xù)形式，定義值函數(shù)S（k）。根據(jù)漢密爾頓方程，得：

s（k）=max{ln[f（k）-k]+βs（k）}=ln[f（k）-h（k）]+βs[h（k）]（3）

在上式中，k相當(dāng)于kt 、kt+1 ，指當(dāng)期和下期的資本存量，h（k）是進(jìn)行遞歸迭代的策略函數(shù)。S（k）、h（k）連續(xù)可微。我們估計(jì)

S（k）=M+Nln（k）（4）

對(duì)（3）、（4）進(jìn)行一階求導(dǎo)，并逐期遞歸迭代可得到值函數(shù)Sn（k）：sn（k）=（■βi-1）ln（■）+βn-1ln（A+1-δ）+（■jβj）ln[■]+（∑ns=1βS-1）ln（k）

因?yàn)橘N現(xiàn)因子0<β<1，易證：當(dāng)n→∞時(shí)，Sn（k）的極限值存在， S（k）==limn→∞sn（k）的極限值就是序列的解。說(shuō)明得到的函數(shù)方程和（4）式的值完全一致，解出M=■ln[（1-β）（A+1-δ）+■ln[β（A+1-δ）]，N=■。

將M和N代入（3）式和（4）式得：

sn（k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（9）

h（k）=β（A+1-δ）k（10）

（9）式也就是目標(biāo)函數(shù)的唯一解。對(duì)于任意k0>0，只要令k=g（k）=β（A+1-δ）k可得值函數(shù)的最優(yōu)解。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是離散型的，對(duì)于任意時(shí)期，只要令kt+1，=β（A+1-δ）k，目標(biāo)函數(shù)必然取得最優(yōu)解。此時(shí)，ct=（1-β）（A+1-δ）kt。

綜上，目標(biāo)函數(shù)中消費(fèi)和資本的最優(yōu)解為：

從上式可以看出：當(dāng)期消費(fèi)ct和下期資本kt+1與資本折舊率δ負(fù)相關(guān)。資本折舊率越大，資本消耗的越多，供消費(fèi)的產(chǎn)品就越少。政府可以通過(guò)宏觀政策改變折舊率，加強(qiáng)資本的維護(hù)可以降低資本折舊率，比如政府刺激投資，使得維護(hù)現(xiàn)有資本的成本高于購(gòu)置新資本，資本折舊率提高。

當(dāng)期消費(fèi)ct和貼現(xiàn)因子β負(fù)相關(guān)，下期資本kt+1和β正相關(guān)。說(shuō)明貼現(xiàn)因子越小，當(dāng)期消費(fèi)越多，人們更愿意當(dāng)期消費(fèi)；貼現(xiàn)因子越大，人們更愿意在將來(lái)消費(fèi)，下期的資本存量增加。政府可以通過(guò)調(diào)整利率和加強(qiáng)福利保障建設(shè)來(lái)調(diào)節(jié)貼現(xiàn)因子，從而引導(dǎo)消費(fèi)和投資。

三、變量對(duì)函數(shù)S（k）的影響

S（k）指行為人在給定資本的情況下，一生所能達(dá)到的總效用。為了討論的方便，令s（β，δ，k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（12）

由上式，我們不難發(fā)現(xiàn)：

1.當(dāng)0≤β≤1時(shí)，■>0恒成立，即β值越大，s（β，δ，k）函數(shù)的值越大。由目標(biāo)函數(shù)可知，β值越大，消費(fèi)的效用越大。

2.■>0，s（β，δ，k）的值是資本存量k的增函數(shù)。K的值越大，可用于未來(lái)消費(fèi)的產(chǎn)品就越多，行為人一生的總效用值就越大。

3.■<0，δ的值越大，s（β，δ，k）的值越小，即資本折舊率越高，行為人一生的總效用就越小。政府提高利率和刺激投資都可以引起δ的值提高。

根據(jù)上文的假設(shè)，不難發(fā)現(xiàn)，行為人的消費(fèi)越大，獲得的效用越大，但是消費(fèi)的過(guò)大會(huì)引起資本的減少，從而使未來(lái)的消費(fèi)減少，所以應(yīng)合理地安排消費(fèi)和投資。政府應(yīng)該通過(guò)調(diào)節(jié)貼現(xiàn)因子和資本折舊率的值，來(lái)引導(dǎo)消費(fèi)和投資之間的比率。endprint

摘 要：基于AK理論建立了包含消費(fèi)、投資、貼現(xiàn)因子和折舊率的效用最大化模型，運(yùn)用漢密爾頓-貝爾曼方程對(duì)模型求解，得到最優(yōu)消費(fèi)路徑。通過(guò)最優(yōu)消費(fèi)路徑我們發(fā)現(xiàn)：折舊率與消費(fèi)和資本負(fù)相關(guān)，貼現(xiàn)因子與消費(fèi)負(fù)相關(guān)，與資本正相關(guān)。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)消費(fèi)路徑 ；哈密爾頓；貼現(xiàn)因子

一、引言

社會(huì)總產(chǎn)出由消費(fèi)和投資決定，在不考慮折舊的情況下，投資等于資本的變化率。經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)和資本的積累取決于消費(fèi)和投資之間的比例。那么消費(fèi)和投資之間的最優(yōu)比例是什么？資本折舊率和貼現(xiàn)因子對(duì)總的社會(huì)效用產(chǎn)生什么樣的影響？

本文研究的是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的最優(yōu)消費(fèi)投資路徑，理論框架是持久收入假設(shè)和內(nèi)生增長(zhǎng)理論，選擇的模型是資本產(chǎn)出彈性為單位彈性的AK模型，這是因?yàn)橘Y本在發(fā)展中國(guó)家的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)中起到了重要作用，發(fā)展中國(guó)家可以通過(guò)購(gòu)買外國(guó)的先進(jìn)技術(shù)設(shè)備來(lái)發(fā)展本國(guó)的經(jīng)濟(jì)，發(fā)揮自己的后發(fā)優(yōu)勢(shì)。

二、模型

模型假定該國(guó)只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品既可以消費(fèi)又可以投資，該產(chǎn)品作為投資品和消費(fèi)品的時(shí)候，兩者之間可以相互轉(zhuǎn)換。經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)由資本決定，消費(fèi)和投資之間的比例是由行為人決定的，政府的目標(biāo)是通過(guò)政策引導(dǎo)消費(fèi)路徑，使行為人可以獲得最大效用。設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為yt=Akt，其中A反映技術(shù)水平，yt、kt和ct分別表示在t時(shí)期的生產(chǎn)量、資本量和消費(fèi)量（ct≥0，kt≥0），k0為初始資本量，得下面模型：

Max■βtln（ct）（1）

s.t. kt+1=yt+（1-δ）kt-ct，yt=Akt，

其中δ為資本折舊率，0≤δ≤1；β為貼現(xiàn)因子，0<β<1；Max■βtln（ct）表示行為人追求一生消費(fèi)效用的最大化，其中ct是控制變量，kt為狀態(tài)變量，本期的商品總供給和消費(fèi)決定了下期的資本數(shù)量。令f（kt）=Akt+（1-δ）=kt=（A+1-δ）kt，上述限制條件轉(zhuǎn)化為：s.t. kt+1=f（kt）-ct， f（kt） =（A+1-δ）kt（2）

因?yàn)閗t+1=f（kt）-ct，所以ct=f（kt）-kt+1，ct可以用kt的函數(shù)關(guān)系式來(lái)表示。求Max∑∞t=0βtln（ct）就是指在約束條件下，找到一個(gè)合適路徑使得目標(biāo)函數(shù)的值最大。

為了求值方便，將（2）式轉(zhuǎn)化為連續(xù)形式，定義值函數(shù)S（k）。根據(jù)漢密爾頓方程，得：

s（k）=max{ln[f（k）-k]+βs（k）}=ln[f（k）-h（k）]+βs[h（k）]（3）

在上式中，k相當(dāng)于kt 、kt+1 ，指當(dāng)期和下期的資本存量，h（k）是進(jìn)行遞歸迭代的策略函數(shù)。S（k）、h（k）連續(xù)可微。我們估計(jì)

S（k）=M+Nln（k）（4）

對(duì)（3）、（4）進(jìn)行一階求導(dǎo)，并逐期遞歸迭代可得到值函數(shù)Sn（k）：sn（k）=（■βi-1）ln（■）+βn-1ln（A+1-δ）+（■jβj）ln[■]+（∑ns=1βS-1）ln（k）

因?yàn)橘N現(xiàn)因子0<β<1，易證：當(dāng)n→∞時(shí)，Sn（k）的極限值存在， S（k）==limn→∞sn（k）的極限值就是序列的解。說(shuō)明得到的函數(shù)方程和（4）式的值完全一致，解出M=■ln[（1-β）（A+1-δ）+■ln[β（A+1-δ）]，N=■。

將M和N代入（3）式和（4）式得：

sn（k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（9）

h（k）=β（A+1-δ）k（10）

（9）式也就是目標(biāo)函數(shù)的唯一解。對(duì)于任意k0>0，只要令k=g（k）=β（A+1-δ）k可得值函數(shù)的最優(yōu)解。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是離散型的，對(duì)于任意時(shí)期，只要令kt+1，=β（A+1-δ）k，目標(biāo)函數(shù)必然取得最優(yōu)解。此時(shí)，ct=（1-β）（A+1-δ）kt。

綜上，目標(biāo)函數(shù)中消費(fèi)和資本的最優(yōu)解為：

從上式可以看出：當(dāng)期消費(fèi)ct和下期資本kt+1與資本折舊率δ負(fù)相關(guān)。資本折舊率越大，資本消耗的越多，供消費(fèi)的產(chǎn)品就越少。政府可以通過(guò)宏觀政策改變折舊率，加強(qiáng)資本的維護(hù)可以降低資本折舊率，比如政府刺激投資，使得維護(hù)現(xiàn)有資本的成本高于購(gòu)置新資本，資本折舊率提高。

當(dāng)期消費(fèi)ct和貼現(xiàn)因子β負(fù)相關(guān)，下期資本kt+1和β正相關(guān)。說(shuō)明貼現(xiàn)因子越小，當(dāng)期消費(fèi)越多，人們更愿意當(dāng)期消費(fèi)；貼現(xiàn)因子越大，人們更愿意在將來(lái)消費(fèi)，下期的資本存量增加。政府可以通過(guò)調(diào)整利率和加強(qiáng)福利保障建設(shè)來(lái)調(diào)節(jié)貼現(xiàn)因子，從而引導(dǎo)消費(fèi)和投資。

三、變量對(duì)函數(shù)S（k）的影響

S（k）指行為人在給定資本的情況下，一生所能達(dá)到的總效用。為了討論的方便，令s（β，δ，k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（12）

由上式，我們不難發(fā)現(xiàn)：

1.當(dāng)0≤β≤1時(shí)，■>0恒成立，即β值越大，s（β，δ，k）函數(shù)的值越大。由目標(biāo)函數(shù)可知，β值越大，消費(fèi)的效用越大。

2.■>0，s（β，δ，k）的值是資本存量k的增函數(shù)。K的值越大，可用于未來(lái)消費(fèi)的產(chǎn)品就越多，行為人一生的總效用值就越大。

3.■<0，δ的值越大，s（β，δ，k）的值越小，即資本折舊率越高，行為人一生的總效用就越小。政府提高利率和刺激投資都可以引起δ的值提高。

根據(jù)上文的假設(shè)，不難發(fā)現(xiàn)，行為人的消費(fèi)越大，獲得的效用越大，但是消費(fèi)的過(guò)大會(huì)引起資本的減少，從而使未來(lái)的消費(fèi)減少，所以應(yīng)合理地安排消費(fèi)和投資。政府應(yīng)該通過(guò)調(diào)節(jié)貼現(xiàn)因子和資本折舊率的值，來(lái)引導(dǎo)消費(fèi)和投資之間的比率。endprint

摘 要：基于AK理論建立了包含消費(fèi)、投資、貼現(xiàn)因子和折舊率的效用最大化模型，運(yùn)用漢密爾頓-貝爾曼方程對(duì)模型求解，得到最優(yōu)消費(fèi)路徑。通過(guò)最優(yōu)消費(fèi)路徑我們發(fā)現(xiàn)：折舊率與消費(fèi)和資本負(fù)相關(guān)，貼現(xiàn)因子與消費(fèi)負(fù)相關(guān)，與資本正相關(guān)。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)消費(fèi)路徑 ；哈密爾頓；貼現(xiàn)因子

一、引言

社會(huì)總產(chǎn)出由消費(fèi)和投資決定，在不考慮折舊的情況下，投資等于資本的變化率。經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)和資本的積累取決于消費(fèi)和投資之間的比例。那么消費(fèi)和投資之間的最優(yōu)比例是什么？資本折舊率和貼現(xiàn)因子對(duì)總的社會(huì)效用產(chǎn)生什么樣的影響？

本文研究的是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的最優(yōu)消費(fèi)投資路徑，理論框架是持久收入假設(shè)和內(nèi)生增長(zhǎng)理論，選擇的模型是資本產(chǎn)出彈性為單位彈性的AK模型，這是因?yàn)橘Y本在發(fā)展中國(guó)家的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)中起到了重要作用，發(fā)展中國(guó)家可以通過(guò)購(gòu)買外國(guó)的先進(jìn)技術(shù)設(shè)備來(lái)發(fā)展本國(guó)的經(jīng)濟(jì)，發(fā)揮自己的后發(fā)優(yōu)勢(shì)。

二、模型

模型假定該國(guó)只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品既可以消費(fèi)又可以投資，該產(chǎn)品作為投資品和消費(fèi)品的時(shí)候，兩者之間可以相互轉(zhuǎn)換。經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)由資本決定，消費(fèi)和投資之間的比例是由行為人決定的，政府的目標(biāo)是通過(guò)政策引導(dǎo)消費(fèi)路徑，使行為人可以獲得最大效用。設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為yt=Akt，其中A反映技術(shù)水平，yt、kt和ct分別表示在t時(shí)期的生產(chǎn)量、資本量和消費(fèi)量（ct≥0，kt≥0），k0為初始資本量，得下面模型：

Max■βtln（ct）（1）

s.t. kt+1=yt+（1-δ）kt-ct，yt=Akt，

其中δ為資本折舊率，0≤δ≤1；β為貼現(xiàn)因子，0<β<1；Max■βtln（ct）表示行為人追求一生消費(fèi)效用的最大化，其中ct是控制變量，kt為狀態(tài)變量，本期的商品總供給和消費(fèi)決定了下期的資本數(shù)量。令f（kt）=Akt+（1-δ）=kt=（A+1-δ）kt，上述限制條件轉(zhuǎn)化為：s.t. kt+1=f（kt）-ct， f（kt） =（A+1-δ）kt（2）

因?yàn)閗t+1=f（kt）-ct，所以ct=f（kt）-kt+1，ct可以用kt的函數(shù)關(guān)系式來(lái)表示。求Max∑∞t=0βtln（ct）就是指在約束條件下，找到一個(gè)合適路徑使得目標(biāo)函數(shù)的值最大。

為了求值方便，將（2）式轉(zhuǎn)化為連續(xù)形式，定義值函數(shù)S（k）。根據(jù)漢密爾頓方程，得：

s（k）=max{ln[f（k）-k]+βs（k）}=ln[f（k）-h（k）]+βs[h（k）]（3）

在上式中，k相當(dāng)于kt 、kt+1 ，指當(dāng)期和下期的資本存量，h（k）是進(jìn)行遞歸迭代的策略函數(shù)。S（k）、h（k）連續(xù)可微。我們估計(jì)

S（k）=M+Nln（k）（4）

對(duì)（3）、（4）進(jìn)行一階求導(dǎo)，并逐期遞歸迭代可得到值函數(shù)Sn（k）：sn（k）=（■βi-1）ln（■）+βn-1ln（A+1-δ）+（■jβj）ln[■]+（∑ns=1βS-1）ln（k）

因?yàn)橘N現(xiàn)因子0<β<1，易證：當(dāng)n→∞時(shí)，Sn（k）的極限值存在， S（k）==limn→∞sn（k）的極限值就是序列的解。說(shuō)明得到的函數(shù)方程和（4）式的值完全一致，解出M=■ln[（1-β）（A+1-δ）+■ln[β（A+1-δ）]，N=■。

將M和N代入（3）式和（4）式得：

sn（k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（9）

h（k）=β（A+1-δ）k（10）

（9）式也就是目標(biāo)函數(shù)的唯一解。對(duì)于任意k0>0，只要令k=g（k）=β（A+1-δ）k可得值函數(shù)的最優(yōu)解。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是離散型的，對(duì)于任意時(shí)期，只要令kt+1，=β（A+1-δ）k，目標(biāo)函數(shù)必然取得最優(yōu)解。此時(shí)，ct=（1-β）（A+1-δ）kt。

綜上，目標(biāo)函數(shù)中消費(fèi)和資本的最優(yōu)解為：

從上式可以看出：當(dāng)期消費(fèi)ct和下期資本kt+1與資本折舊率δ負(fù)相關(guān)。資本折舊率越大，資本消耗的越多，供消費(fèi)的產(chǎn)品就越少。政府可以通過(guò)宏觀政策改變折舊率，加強(qiáng)資本的維護(hù)可以降低資本折舊率，比如政府刺激投資，使得維護(hù)現(xiàn)有資本的成本高于購(gòu)置新資本，資本折舊率提高。

當(dāng)期消費(fèi)ct和貼現(xiàn)因子β負(fù)相關(guān)，下期資本kt+1和β正相關(guān)。說(shuō)明貼現(xiàn)因子越小，當(dāng)期消費(fèi)越多，人們更愿意當(dāng)期消費(fèi)；貼現(xiàn)因子越大，人們更愿意在將來(lái)消費(fèi)，下期的資本存量增加。政府可以通過(guò)調(diào)整利率和加強(qiáng)福利保障建設(shè)來(lái)調(diào)節(jié)貼現(xiàn)因子，從而引導(dǎo)消費(fèi)和投資。

三、變量對(duì)函數(shù)S（k）的影響

S（k）指行為人在給定資本的情況下，一生所能達(dá)到的總效用。為了討論的方便，令s（β，δ，k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（12）

由上式，我們不難發(fā)現(xiàn)：

1.當(dāng)0≤β≤1時(shí)，■>0恒成立，即β值越大，s（β，δ，k）函數(shù)的值越大。由目標(biāo)函數(shù)可知，β值越大，消費(fèi)的效用越大。

2.■>0，s（β，δ，k）的值是資本存量k的增函數(shù)。K的值越大，可用于未來(lái)消費(fèi)的產(chǎn)品就越多，行為人一生的總效用值就越大。

3.■<0，δ的值越大，s（β，δ，k）的值越小，即資本折舊率越高，行為人一生的總效用就越小。政府提高利率和刺激投資都可以引起δ的值提高。

根據(jù)上文的假設(shè)，不難發(fā)現(xiàn)，行為人的消費(fèi)越大，獲得的效用越大，但是消費(fèi)的過(guò)大會(huì)引起資本的減少，從而使未來(lái)的消費(fèi)減少，所以應(yīng)合理地安排消費(fèi)和投資。政府應(yīng)該通過(guò)調(diào)節(jié)貼現(xiàn)因子和資本折舊率的值，來(lái)引導(dǎo)消費(fèi)和投資之間的比率。endprint