圓錐曲線中點弦問題解法探究
2014-09-22 09:13:55鄒艷
中學教學參考·理科版 2014年8期
鄒艷
直線與圓錐曲線相交所得弦的中點問題是解析幾何中的重要內容之一，也是高考的熱點問題，這類問題一般有以下幾種類型：（1）求中點弦所在的直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）弦長為定值時，弦的中點坐標問題等.其解法有點差法、待定系數法、參數法以及中心對稱變換法等，但最常用的方法為點差法和待定系數法.
一、求中點弦所在直線方程問題
【例1】已知一直線與橢圓x214+y212=1交于A、B兩點，弦AB的中點坐標為M（1，1），求直線AB的方程.
解法一（待定系數法）：設所求直線方程為y-1=k（x-1），
由y-1=k（x-1）
x214+y212=1消去y得：（2k2+1）x2-4（k2-k）x+2（k-1）2-4=0（1）.
設直線與橢圓的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是方程（1）的根.
∴x1+x2=4（k2-k）12k2+1，
又∵M（1，1）是AB的中點，
∴x1+x212=2（k2-k）12k2+1=1，
解得k=-112，故直線AB的方程為：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.
解法二（點差法）：設直線與橢圓的交點為A（x1，y1），B（x2，y2）.
∵M（1，1）是AB的中點，∴x1+x2=2，y1+y2=2.
又∵A、B兩點在橢圓上，
則x21+2y21=4①
x22+2y22=4②
①-②得：（x21-x22）+2（y21-y22）=0，
即（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，
∴y1-y21x1-x2=-x1+x212（y1+y2）=-112，即kAB=-112，
∴所求直線方程為：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.
解法三（參數法）：設直線AB的參數方程為x=1+tcosα
y=1+tsinα（t為參數），代入橢圓方程整理得：（1+sin2α）t2+2（cosα+2sinα）t-1=0.
∴t1+t2=-2（cosα+2sinα）11+sin2α，
∵M（1，1）是AB的中點，
∴t1+t212=-cosα+2sinα11+sin2α=0，∴cosα+2sinα=0，
∴sinα1cosα=-112，代入直線AB的參數方程消去參數t，得所求直線方程為x+2y-3=0.
二、求中點弦中點的軌跡方程問題
【例2】過雙曲線x2136-y219=1上一點P（-6，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程.
解法一（點差法）：設弦PQ中點M（x，y），弦端點P（x1，y1），Q（x2，y2），
則有x21-4y21=36
x22-4y22=36，兩式相減得（x21-x22）-4（y21-y22）=0，
又因為 x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以2x（x1-x2）-4·2y（y1-y2）=0，
所以y1-y21x1-x2=x14y，而kPQ=y-01x-（-6），故x14y=y1x+6.
化簡可得x2+6x-4y2=0（x≠-6）.
解法二（中心對稱變換法）：設弦中點M（x，y），Q（x1，y1），由x=x1-612，y=y112，可得x1=2x+6，y1=2y，
又因為Q在雙曲線上，所以x21136-y2119=1，即4（x+3）2136-4y219=1，
所以PQ中點M的軌跡方程為（x+3）219-4y219=1（x≠-6）.
即x2+6x-4y2=0（x≠-6）.
求點的軌跡方程即是求曲線上的點的橫、縱坐標所滿足的關系式.本題所給出的兩種方法，都是找動點（x，y）與已知條件的內在聯系，列關于x，y的關系式，進而求出軌跡的方程.
一般的，在圓錐曲線中，中點弦問題的求解關鍵在于充分利用“中點”這一條件，靈活運用中點坐標公式及根與系數的關系，而更優的解法則是點差法，因為點差法方法簡單，結構精巧，應用特征明顯，利于培養學生的解題能力和解題興趣.
（責任編輯鐘偉芳）endprint
直線與圓錐曲線相交所得弦的中點問題是解析幾何中的重要內容之一，也是高考的熱點問題，這類問題一般有以下幾種類型：（1）求中點弦所在的直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）弦長為定值時，弦的中點坐標問題等.其解法有點差法、待定系數法、參數法以及中心對稱變換法等，但最常用的方法為點差法和待定系數法.
一、求中點弦所在直線方程問題
【例1】已知一直線與橢圓x214+y212=1交于A、B兩點，弦AB的中點坐標為M（1，1），求直線AB的方程.
解法一（待定系數法）：設所求直線方程為y-1=k（x-1），
由y-1=k（x-1）
x214+y212=1消去y得：（2k2+1）x2-4（k2-k）x+2（k-1）2-4=0（1）.
設直線與橢圓的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是方程（1）的根.
∴x1+x2=4（k2-k）12k2+1，
又∵M（1，1）是AB的中點，
∴x1+x212=2（k2-k）12k2+1=1，
解得k=-112，故直線AB的方程為：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.
解法二（點差法）：設直線與橢圓的交點為A（x1，y1），B（x2，y2）.
∵M（1，1）是AB的中點，∴x1+x2=2，y1+y2=2.
又∵A、B兩點在橢圓上，
則x21+2y21=4①
x22+2y22=4②
①-②得：（x21-x22）+2（y21-y22）=0，
即（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，
∴y1-y21x1-x2=-x1+x212（y1+y2）=-112，即kAB=-112，
∴所求直線方程為：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.
解法三（參數法）：設直線AB的參數方程為x=1+tcosα
y=1+tsinα（t為參數），代入橢圓方程整理得：（1+sin2α）t2+2（cosα+2sinα）t-1=0.
∴t1+t2=-2（cosα+2sinα）11+sin2α，
∵M（1，1）是AB的中點，
∴t1+t212=-cosα+2sinα11+sin2α=0，∴cosα+2sinα=0，
∴sinα1cosα=-112，代入直線AB的參數方程消去參數t，得所求直線方程為x+2y-3=0.
二、求中點弦中點的軌跡方程問題
【例2】過雙曲線x2136-y219=1上一點P（-6，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程.
解法一（點差法）：設弦PQ中點M（x，y），弦端點P（x1，y1），Q（x2，y2），
則有x21-4y21=36
x22-4y22=36，兩式相減得（x21-x22）-4（y21-y22）=0，
又因為 x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以2x（x1-x2）-4·2y（y1-y2）=0，
所以y1-y21x1-x2=x14y，而kPQ=y-01x-（-6），故x14y=y1x+6.
化簡可得x2+6x-4y2=0（x≠-6）.
解法二（中心對稱變換法）：設弦中點M（x，y），Q（x1，y1），由x=x1-612，y=y112，可得x1=2x+6，y1=2y，
又因為Q在雙曲線上，所以x21136-y2119=1，即4（x+3）2136-4y219=1，
所以PQ中點M的軌跡方程為（x+3）219-4y219=1（x≠-6）.
即x2+6x-4y2=0（x≠-6）.
求點的軌跡方程即是求曲線上的點的橫、縱坐標所滿足的關系式.本題所給出的兩種方法，都是找動點（x，y）與已知條件的內在聯系，列關于x，y的關系式，進而求出軌跡的方程.
一般的，在圓錐曲線中，中點弦問題的求解關鍵在于充分利用“中點”這一條件，靈活運用中點坐標公式及根與系數的關系，而更優的解法則是點差法，因為點差法方法簡單，結構精巧，應用特征明顯，利于培養學生的解題能力和解題興趣.
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直線與圓錐曲線相交所得弦的中點問題是解析幾何中的重要內容之一，也是高考的熱點問題，這類問題一般有以下幾種類型：（1）求中點弦所在的直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）弦長為定值時，弦的中點坐標問題等.其解法有點差法、待定系數法、參數法以及中心對稱變換法等，但最常用的方法為點差法和待定系數法.
一、求中點弦所在直線方程問題
【例1】已知一直線與橢圓x214+y212=1交于A、B兩點，弦AB的中點坐標為M（1，1），求直線AB的方程.
解法一（待定系數法）：設所求直線方程為y-1=k（x-1），
由y-1=k（x-1）
x214+y212=1消去y得：（2k2+1）x2-4（k2-k）x+2（k-1）2-4=0（1）.
設直線與橢圓的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是方程（1）的根.
∴x1+x2=4（k2-k）12k2+1，
又∵M（1，1）是AB的中點，
∴x1+x212=2（k2-k）12k2+1=1，
解得k=-112，故直線AB的方程為：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.
解法二（點差法）：設直線與橢圓的交點為A（x1，y1），B（x2，y2）.
∵M（1，1）是AB的中點，∴x1+x2=2，y1+y2=2.
又∵A、B兩點在橢圓上，
則x21+2y21=4①
x22+2y22=4②
①-②得：（x21-x22）+2（y21-y22）=0，
即（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，
∴y1-y21x1-x2=-x1+x212（y1+y2）=-112，即kAB=-112，
∴所求直線方程為：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.
解法三（參數法）：設直線AB的參數方程為x=1+tcosα
y=1+tsinα（t為參數），代入橢圓方程整理得：（1+sin2α）t2+2（cosα+2sinα）t-1=0.
∴t1+t2=-2（cosα+2sinα）11+sin2α，
∵M（1，1）是AB的中點，
∴t1+t212=-cosα+2sinα11+sin2α=0，∴cosα+2sinα=0，
∴sinα1cosα=-112，代入直線AB的參數方程消去參數t，得所求直線方程為x+2y-3=0.
二、求中點弦中點的軌跡方程問題
【例2】過雙曲線x2136-y219=1上一點P（-6，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程.
解法一（點差法）：設弦PQ中點M（x，y），弦端點P（x1，y1），Q（x2，y2），
則有x21-4y21=36
x22-4y22=36，兩式相減得（x21-x22）-4（y21-y22）=0，
又因為 x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以2x（x1-x2）-4·2y（y1-y2）=0，
所以y1-y21x1-x2=x14y，而kPQ=y-01x-（-6），故x14y=y1x+6.
化簡可得x2+6x-4y2=0（x≠-6）.
解法二（中心對稱變換法）：設弦中點M（x，y），Q（x1，y1），由x=x1-612，y=y112，可得x1=2x+6，y1=2y，
又因為Q在雙曲線上，所以x21136-y2119=1，即4（x+3）2136-4y219=1，
所以PQ中點M的軌跡方程為（x+3）219-4y219=1（x≠-6）.
即x2+6x-4y2=0（x≠-6）.
求點的軌跡方程即是求曲線上的點的橫、縱坐標所滿足的關系式.本題所給出的兩種方法，都是找動點（x，y）與已知條件的內在聯系，列關于x，y的關系式，進而求出軌跡的方程.
一般的，在圓錐曲線中，中點弦問題的求解關鍵在于充分利用“中點”這一條件，靈活運用中點坐標公式及根與系數的關系，而更優的解法則是點差法，因為點差法方法簡單，結構精巧，應用特征明顯，利于培養學生的解題能力和解題興趣.
（責任編輯鐘偉芳）endprint
