求二次函數在閉區間上的最值問題

趙霞

二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在中學數學中的地位非常重要，它的單調性由a、b決定，即當a>0時，f（x）在（-∞，-b12a]上單調遞減，在[-b12a，+∞）上單調遞增；當a<0時，f（x）在（-∞，-b12a]上單調遞增，在[-b12a，+∞）上單調遞減.它的單調性比較復雜，因此對于求二次函數閉區間上的最值問題，特別是含參數的最值問題較麻煩，一直是高中數學中的難點.下面筆者分三種類型進行分析.

一、定軸定區間問題

當函數的對稱軸確定，所給區間也確定時，可直接利用單調性求其最值.

【例1】已知函數f（x）=x2-2x+3，求滿足下列條件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的對稱軸是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上單調遞減；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上單調遞增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上單調遞減，在[1，3]上單調遞增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、動軸定區間問題

當函數的對稱軸不確定，所給區間確定時，需要討論對稱軸與區間的位置關系，分對稱軸在區間左、區間中、區間右三種情況討論.

【例2】已知函數f（x）=ax2-x+2a-1（a為實常數）.設f（x）在[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式.

解析：（1）若a=0，則f（x）=-x-1在[1，2]上是減函數，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，則f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）圖像的對稱軸是直線x=112a.

①當a<0時，f（x）在[1，2]上是減函數，g（a）=f（2）=6a-3；

②當0<112a<1，即a>112時，f（x）在[1，2]上是增函數，g（a）=f（1）=3a-2；

③當1≤112a≤2，即114≤a≤112時，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④當112a>2，即0

綜上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

.

當二次項系數不確定時，需要討論二次項系數的符號，當二次項系數為0時，f（x）是一次函數，單調性確定，直接求最值即可；當二次項系數為正數時，函數開口向上，此時，需討論對稱軸與區間的位置；當二次項系數為負數時，函數開口向下，對稱軸在區間的左側，直接求解.

三、定軸動區間問題

當函數的對稱軸確定，所給區間不確定時，仍需要討論對稱軸與區間的位置關系，分對稱軸在區間左、區間中、區間右三種情況討論.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值為h（t），寫出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的對稱軸為x=-312，

①當t+1≤-312，即t≤-512時，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②當t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③當t>-312時，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

綜上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函數在閉區間上的最值主要有三種類型：定軸定區間、動軸定區間、定軸動區間，不論哪種類型，解題的關鍵是弄清對稱軸與區間的關系，要考慮二次函數的對稱軸在區間的某側還是在區間內，從而確定函數的單調區間；當對稱軸在區間內部時，還要考慮區間的兩個端點與對稱軸的距離的遠近，當開口向上時，離對稱軸越遠，函數值越大，離對稱軸越近，函數值越小；反之，當開口向下時，離對稱軸越遠，函數值越小，離對稱軸越近，函數值越大.

（責任編輯鐘偉芳）

二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在中學數學中的地位非常重要，它的單調性由a、b決定，即當a>0時，f（x）在（-∞，-b12a]上單調遞減，在[-b12a，+∞）上單調遞增；當a<0時，f（x）在（-∞，-b12a]上單調遞增，在[-b12a，+∞）上單調遞減.它的單調性比較復雜，因此對于求二次函數閉區間上的最值問題，特別是含參數的最值問題較麻煩，一直是高中數學中的難點.下面筆者分三種類型進行分析.

一、定軸定區間問題

當函數的對稱軸確定，所給區間也確定時，可直接利用單調性求其最值.

【例1】已知函數f（x）=x2-2x+3，求滿足下列條件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的對稱軸是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上單調遞減；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上單調遞增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上單調遞減，在[1，3]上單調遞增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、動軸定區間問題

當函數的對稱軸不確定，所給區間確定時，需要討論對稱軸與區間的位置關系，分對稱軸在區間左、區間中、區間右三種情況討論.

【例2】已知函數f（x）=ax2-x+2a-1（a為實常數）.設f（x）在[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式.

解析：（1）若a=0，則f（x）=-x-1在[1，2]上是減函數，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，則f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）圖像的對稱軸是直線x=112a.

①當a<0時，f（x）在[1，2]上是減函數，g（a）=f（2）=6a-3；

②當0<112a<1，即a>112時，f（x）在[1，2]上是增函數，g（a）=f（1）=3a-2；

③當1≤112a≤2，即114≤a≤112時，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④當112a>2，即0

綜上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

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當二次項系數不確定時，需要討論二次項系數的符號，當二次項系數為0時，f（x）是一次函數，單調性確定，直接求最值即可；當二次項系數為正數時，函數開口向上，此時，需討論對稱軸與區間的位置；當二次項系數為負數時，函數開口向下，對稱軸在區間的左側，直接求解.

三、定軸動區間問題

當函數的對稱軸確定，所給區間不確定時，仍需要討論對稱軸與區間的位置關系，分對稱軸在區間左、區間中、區間右三種情況討論.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值為h（t），寫出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的對稱軸為x=-312，

①當t+1≤-312，即t≤-512時，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②當t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③當t>-312時，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

綜上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函數在閉區間上的最值主要有三種類型：定軸定區間、動軸定區間、定軸動區間，不論哪種類型，解題的關鍵是弄清對稱軸與區間的關系，要考慮二次函數的對稱軸在區間的某側還是在區間內，從而確定函數的單調區間；當對稱軸在區間內部時，還要考慮區間的兩個端點與對稱軸的距離的遠近，當開口向上時，離對稱軸越遠，函數值越大，離對稱軸越近，函數值越小；反之，當開口向下時，離對稱軸越遠，函數值越小，離對稱軸越近，函數值越大.

（責任編輯鐘偉芳）

二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在中學數學中的地位非常重要，它的單調性由a、b決定，即當a>0時，f（x）在（-∞，-b12a]上單調遞減，在[-b12a，+∞）上單調遞增；當a<0時，f（x）在（-∞，-b12a]上單調遞增，在[-b12a，+∞）上單調遞減.它的單調性比較復雜，因此對于求二次函數閉區間上的最值問題，特別是含參數的最值問題較麻煩，一直是高中數學中的難點.下面筆者分三種類型進行分析.

一、定軸定區間問題

當函數的對稱軸確定，所給區間也確定時，可直接利用單調性求其最值.

【例1】已知函數f（x）=x2-2x+3，求滿足下列條件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的對稱軸是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上單調遞減；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上單調遞增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上單調遞減，在[1，3]上單調遞增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、動軸定區間問題

當函數的對稱軸不確定，所給區間確定時，需要討論對稱軸與區間的位置關系，分對稱軸在區間左、區間中、區間右三種情況討論.

【例2】已知函數f（x）=ax2-x+2a-1（a為實常數）.設f（x）在[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式.

解析：（1）若a=0，則f（x）=-x-1在[1，2]上是減函數，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，則f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）圖像的對稱軸是直線x=112a.

①當a<0時，f（x）在[1，2]上是減函數，g（a）=f（2）=6a-3；

②當0<112a<1，即a>112時，f（x）在[1，2]上是增函數，g（a）=f（1）=3a-2；

③當1≤112a≤2，即114≤a≤112時，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④當112a>2，即0

綜上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

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當二次項系數不確定時，需要討論二次項系數的符號，當二次項系數為0時，f（x）是一次函數，單調性確定，直接求最值即可；當二次項系數為正數時，函數開口向上，此時，需討論對稱軸與區間的位置；當二次項系數為負數時，函數開口向下，對稱軸在區間的左側，直接求解.

三、定軸動區間問題

當函數的對稱軸確定，所給區間不確定時，仍需要討論對稱軸與區間的位置關系，分對稱軸在區間左、區間中、區間右三種情況討論.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值為h（t），寫出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的對稱軸為x=-312，

①當t+1≤-312，即t≤-512時，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②當t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③當t>-312時，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

綜上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函數在閉區間上的最值主要有三種類型：定軸定區間、動軸定區間、定軸動區間，不論哪種類型，解題的關鍵是弄清對稱軸與區間的關系，要考慮二次函數的對稱軸在區間的某側還是在區間內，從而確定函數的單調區間；當對稱軸在區間內部時，還要考慮區間的兩個端點與對稱軸的距離的遠近，當開口向上時，離對稱軸越遠，函數值越大，離對稱軸越近，函數值越小；反之，當開口向下時，離對稱軸越遠，函數值越小，離對稱軸越近，函數值越大.

（責任編輯鐘偉芳）