一道經典例題的解法探究及拓展

葉景輝　吳偉朝

一、例題賞析

在一次購物抽獎活動中，假設某20張券中有一等獎券1張，可獲價值100元的獎品；有二等獎券2張，每張可獲價值50元的獎品；有三等獎券5張，每張可獲價值20元的獎品.某顧客從20張券中任抽2張，求該顧客獲得的獎品總價值的數學期望.

解析：如果顧客從20張券中任抽2張，則x的所有可能取值為0，20，40，50，70，100，120，150.由于顧客獲得的獎品總價值x服從超幾何分布，因此，P（X=0）=C2121C220=33195，P（X=20）=C15C1121C220=6119，P（X=40）=C251C220=1119，P（X=50）=C12C1121C220=12195，P（X=70）=C12C151C220=1119，P（X=100）=C11C112+C221C220=131190，P（X=120）=C11C151C220=1138，P（X=150）=C11C121C220=1195.所以，X的分布列為

從而顧客獲得的獎品總價值的數學期望為

E（X）=0×33195+20×6119+40×1119+50×12195+70×1119+100×131190+120×1138+150×1195=30（元）.

點評：以上解題思路是先求出X的所有可能取值，再根據離散型隨機變量X服從超幾何分布，并結合離散型隨機變量X的數學期望的求解方式得出相應結果，整個計算過程的復雜程度適中.

二、例題拓展

如果將以上例題的條件“某顧客從20張券中任抽2張”改為“某顧客從20張券中任抽3張”，其他條件不變，這時該顧客獲得的獎品總價值X的數學期望是多少？

解析：如果顧客從20張券中任抽3張，那么此時X的所有可能取值為0，20，40，50，60，70，90，100，120，140，150，170，200.同上可求得X的分布列為

從而顧客獲得的獎品總價值X的數學期望為

E（X）=0×11157+20×11138+40×2119+50×11195+60×11114+70×2119+90×1157+100×131190+120×131228+140×11114+150×2195+170×11114+200×111140=45（元）.

點評：通過以上對比分析，我們可以得知：若顧客從20張券中任抽2張，獲得的獎品總價值X的所有可能取值有8種；若顧客從20張券中任抽3張，獲得的獎品總價值X的所有可能取值有13種.同時，離散型隨機變量在這兩種情況下都服從超幾何分布，所以，我們都可以根據X的不同分布列求出相應的數學期望.隨著抽取張數的增加，我們可以發現：獲得的獎品總價值X的所有可能取值種數也隨著增加，計算量也越來越大，X的分布列也變得越來越復雜，從而使計算X的數學期望的難度也逐漸增加.

三、例題反思

在離散型隨機變量X服從超幾何分布的條件下，當X的所有可能取值種數較少時，計算X的數學期望相對比較容易；而當X的所有可能取值種數較多時，計算X的數學期望相對比較復雜.對此，我們可以提出這樣的問題：是否有一種比較簡單的方法能解決這樣的問題？

解析：離散型隨機變量X的數學期望所表示的意義，在于反映離散型隨機變量X取值的平均水平，由此我們產生一種新的思路，建立一種新的解法.因為20張券總的價值為100×1+50×2+20×5=300（元），所以，每張券的獎品平均價值為300120=15（元）.因此，當顧客從20張券中任抽2張，獲得的獎品總價值X的數學期望為E（X）=15×2=30（元）；當顧客從20張券中任抽3張，獲得的獎品總價值X的數學期望為E（X）=15×3=45（元）.

點評：根據離散型隨機變量X的數學期望所表示的意義，分別求解顧客從20張券中任抽2張、任抽3張獲得的獎品總價值X的數學期望，所得的結果與前面利用超幾何分布求出的數學期望是相符的.利用這種思路去探究類似的問題，有助于簡化解題過程.在解答一些選擇題、填空題時，這種解法也有助于為考生節省更多的時間.

參考文獻

[1]課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-3[M].北京：人民教育出版社，2009.

[2]丁益祥.中學數學大全[M].北京：外文出版社，2010.

（責任編輯鐘偉芳）endprint

一、例題賞析

在一次購物抽獎活動中，假設某20張券中有一等獎券1張，可獲價值100元的獎品；有二等獎券2張，每張可獲價值50元的獎品；有三等獎券5張，每張可獲價值20元的獎品.某顧客從20張券中任抽2張，求該顧客獲得的獎品總價值的數學期望.

解析：如果顧客從20張券中任抽2張，則x的所有可能取值為0，20，40，50，70，100，120，150.由于顧客獲得的獎品總價值x服從超幾何分布，因此，P（X=0）=C2121C220=33195，P（X=20）=C15C1121C220=6119，P（X=40）=C251C220=1119，P（X=50）=C12C1121C220=12195，P（X=70）=C12C151C220=1119，P（X=100）=C11C112+C221C220=131190，P（X=120）=C11C151C220=1138，P（X=150）=C11C121C220=1195.所以，X的分布列為

從而顧客獲得的獎品總價值的數學期望為

E（X）=0×33195+20×6119+40×1119+50×12195+70×1119+100×131190+120×1138+150×1195=30（元）.

點評：以上解題思路是先求出X的所有可能取值，再根據離散型隨機變量X服從超幾何分布，并結合離散型隨機變量X的數學期望的求解方式得出相應結果，整個計算過程的復雜程度適中.

二、例題拓展

如果將以上例題的條件“某顧客從20張券中任抽2張”改為“某顧客從20張券中任抽3張”，其他條件不變，這時該顧客獲得的獎品總價值X的數學期望是多少？

解析：如果顧客從20張券中任抽3張，那么此時X的所有可能取值為0，20，40，50，60，70，90，100，120，140，150，170，200.同上可求得X的分布列為

從而顧客獲得的獎品總價值X的數學期望為

E（X）=0×11157+20×11138+40×2119+50×11195+60×11114+70×2119+90×1157+100×131190+120×131228+140×11114+150×2195+170×11114+200×111140=45（元）.

點評：通過以上對比分析，我們可以得知：若顧客從20張券中任抽2張，獲得的獎品總價值X的所有可能取值有8種；若顧客從20張券中任抽3張，獲得的獎品總價值X的所有可能取值有13種.同時，離散型隨機變量在這兩種情況下都服從超幾何分布，所以，我們都可以根據X的不同分布列求出相應的數學期望.隨著抽取張數的增加，我們可以發現：獲得的獎品總價值X的所有可能取值種數也隨著增加，計算量也越來越大，X的分布列也變得越來越復雜，從而使計算X的數學期望的難度也逐漸增加.

三、例題反思

在離散型隨機變量X服從超幾何分布的條件下，當X的所有可能取值種數較少時，計算X的數學期望相對比較容易；而當X的所有可能取值種數較多時，計算X的數學期望相對比較復雜.對此，我們可以提出這樣的問題：是否有一種比較簡單的方法能解決這樣的問題？

解析：離散型隨機變量X的數學期望所表示的意義，在于反映離散型隨機變量X取值的平均水平，由此我們產生一種新的思路，建立一種新的解法.因為20張券總的價值為100×1+50×2+20×5=300（元），所以，每張券的獎品平均價值為300120=15（元）.因此，當顧客從20張券中任抽2張，獲得的獎品總價值X的數學期望為E（X）=15×2=30（元）；當顧客從20張券中任抽3張，獲得的獎品總價值X的數學期望為E（X）=15×3=45（元）.

點評：根據離散型隨機變量X的數學期望所表示的意義，分別求解顧客從20張券中任抽2張、任抽3張獲得的獎品總價值X的數學期望，所得的結果與前面利用超幾何分布求出的數學期望是相符的.利用這種思路去探究類似的問題，有助于簡化解題過程.在解答一些選擇題、填空題時，這種解法也有助于為考生節省更多的時間.

參考文獻

[1]課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-3[M].北京：人民教育出版社，2009.

[2]丁益祥.中學數學大全[M].北京：外文出版社，2010.

（責任編輯鐘偉芳）endprint

一、例題賞析

在一次購物抽獎活動中，假設某20張券中有一等獎券1張，可獲價值100元的獎品；有二等獎券2張，每張可獲價值50元的獎品；有三等獎券5張，每張可獲價值20元的獎品.某顧客從20張券中任抽2張，求該顧客獲得的獎品總價值的數學期望.

解析：如果顧客從20張券中任抽2張，則x的所有可能取值為0，20，40，50，70，100，120，150.由于顧客獲得的獎品總價值x服從超幾何分布，因此，P（X=0）=C2121C220=33195，P（X=20）=C15C1121C220=6119，P（X=40）=C251C220=1119，P（X=50）=C12C1121C220=12195，P（X=70）=C12C151C220=1119，P（X=100）=C11C112+C221C220=131190，P（X=120）=C11C151C220=1138，P（X=150）=C11C121C220=1195.所以，X的分布列為

從而顧客獲得的獎品總價值的數學期望為

E（X）=0×33195+20×6119+40×1119+50×12195+70×1119+100×131190+120×1138+150×1195=30（元）.

點評：以上解題思路是先求出X的所有可能取值，再根據離散型隨機變量X服從超幾何分布，并結合離散型隨機變量X的數學期望的求解方式得出相應結果，整個計算過程的復雜程度適中.

二、例題拓展

如果將以上例題的條件“某顧客從20張券中任抽2張”改為“某顧客從20張券中任抽3張”，其他條件不變，這時該顧客獲得的獎品總價值X的數學期望是多少？

解析：如果顧客從20張券中任抽3張，那么此時X的所有可能取值為0，20，40，50，60，70，90，100，120，140，150，170，200.同上可求得X的分布列為

從而顧客獲得的獎品總價值X的數學期望為

E（X）=0×11157+20×11138+40×2119+50×11195+60×11114+70×2119+90×1157+100×131190+120×131228+140×11114+150×2195+170×11114+200×111140=45（元）.

點評：通過以上對比分析，我們可以得知：若顧客從20張券中任抽2張，獲得的獎品總價值X的所有可能取值有8種；若顧客從20張券中任抽3張，獲得的獎品總價值X的所有可能取值有13種.同時，離散型隨機變量在這兩種情況下都服從超幾何分布，所以，我們都可以根據X的不同分布列求出相應的數學期望.隨著抽取張數的增加，我們可以發現：獲得的獎品總價值X的所有可能取值種數也隨著增加，計算量也越來越大，X的分布列也變得越來越復雜，從而使計算X的數學期望的難度也逐漸增加.

三、例題反思

在離散型隨機變量X服從超幾何分布的條件下，當X的所有可能取值種數較少時，計算X的數學期望相對比較容易；而當X的所有可能取值種數較多時，計算X的數學期望相對比較復雜.對此，我們可以提出這樣的問題：是否有一種比較簡單的方法能解決這樣的問題？

解析：離散型隨機變量X的數學期望所表示的意義，在于反映離散型隨機變量X取值的平均水平，由此我們產生一種新的思路，建立一種新的解法.因為20張券總的價值為100×1+50×2+20×5=300（元），所以，每張券的獎品平均價值為300120=15（元）.因此，當顧客從20張券中任抽2張，獲得的獎品總價值X的數學期望為E（X）=15×2=30（元）；當顧客從20張券中任抽3張，獲得的獎品總價值X的數學期望為E（X）=15×3=45（元）.

點評：根據離散型隨機變量X的數學期望所表示的意義，分別求解顧客從20張券中任抽2張、任抽3張獲得的獎品總價值X的數學期望，所得的結果與前面利用超幾何分布求出的數學期望是相符的.利用這種思路去探究類似的問題，有助于簡化解題過程.在解答一些選擇題、填空題時，這種解法也有助于為考生節省更多的時間.

參考文獻

[1]課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-3[M].北京：人民教育出版社，2009.

[2]丁益祥.中學數學大全[M].北京：外文出版社，2010.

（責任編輯鐘偉芳）endprint