基于數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學教學

練兆明

為了培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，打造適應(yīng)現(xiàn)代化建設(shè)的新型人才，國家逐步加大了素質(zhì)教育體制和課程改革的推進力度.素質(zhì)教育以理論知識和靈活分析問題、處理問題的能力來考查學生的綜合素質(zhì).在初中數(shù)學教學中，教師也要意識到學生創(chuàng)新思維和探索能力的培養(yǎng).數(shù)形結(jié)合是一種應(yīng)用廣泛的重要思想方法，有利于拓展學生的思維空間，激發(fā)學生的求知欲望.因此，應(yīng)該將數(shù)形結(jié)合思想有效地與課堂教學相互滲透，將數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用加以升華.本文結(jié)合了具體的數(shù)學例子對基于數(shù)形結(jié)合思想的初中數(shù)學教學展開了討論.

一、數(shù)形結(jié)合思想的初步認識

只有數(shù)據(jù)而缺乏圖示的信息，顯得不夠形象直觀；只有圖形而沒有數(shù)據(jù)的描述，難以細致全面地深入分析信息.因此，教學中，我們提倡抽象與直觀因素的有機結(jié)合，也就是數(shù)學中常用到的“數(shù)形結(jié)合”思想.其實質(zhì)是代數(shù)與幾何的巧妙融合和靈活轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合思想指導我們在抽象數(shù)學思維和形象圖形思維之間進行合理轉(zhuǎn)化，把精確的代數(shù)刻畫與形象的幾何描繪統(tǒng)一起來，這樣便能夠凸顯數(shù)學問題的本質(zhì)所在，很多問題的解決也變得簡單快捷.在初中數(shù)學教學中，教師要積極引導學生學會利用數(shù)形結(jié)合思想方法分析問題.在數(shù)形結(jié)合思想的教學中，教師可以從幾個主要的角度入手.建立不等式、方程、函數(shù)等代數(shù)模型；通過幾何圖形或函數(shù)圖像等幾何模型來解決方程和函數(shù)問題；解決與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)和幾何的綜合性題目；用適當?shù)膱D像呈現(xiàn)題目的數(shù)學信息.數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵是準確找出數(shù)與形的結(jié)合點，學生要善于借助歸納類比法、觀察分析法、綜合概括法等其他方法，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)與形的結(jié)合點.

二、數(shù)形結(jié)合思想的深層滲透

在初中數(shù)學教學中，教師要學會通過對數(shù)學基本概念的深入分析，將數(shù)形結(jié)合思想深入到整個數(shù)學體系當中.數(shù)學概念反映的是一類對象的屬性，是對一類知識點本質(zhì)的高度概括，同時也是進行數(shù)學推斷，建立數(shù)學定理、法則和公式的依據(jù).因此，將數(shù)學概念作為擴展數(shù)形結(jié)合思想的立足點，不僅能夠反映事物在數(shù)量以及空間層面的本質(zhì)屬性，還有利于思想方法在同類知識中的大范圍擴散.數(shù)形結(jié)合思想全面滲透到每一個數(shù)學概念之中，能夠幫助學生進一步把握概念的本質(zhì)，同時也為數(shù)形結(jié)合這一抽象的思想方法尋到了一個具體有效的載體.在對滲透了數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學概念進行理解的基礎(chǔ)上，再進一步運用數(shù)形結(jié)合思想解決具體題目.此時，教師要發(fā)揮例題的作用，通過分析典型例題來明確運用數(shù)形結(jié)合思想的具體思路.

在實數(shù)內(nèi)容的學習中，我們將實數(shù)直觀的定義為和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的數(shù)，這很好地凸顯出了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.直線是無限多個點的集合，實數(shù)也包含了正實數(shù)、零和負實數(shù)在內(nèi)的無數(shù)個數(shù)字.兩者在數(shù)量上存在共性，因此，直線上的點可以表示實數(shù).由此，我們引入了數(shù)軸——規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線就是數(shù)軸.建立了數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)的關(guān)系.今后在學習絕對值、相反數(shù)、有理數(shù)等內(nèi)容的時候，也可以利用數(shù)軸做更為直觀的理解.除此之外，在學習一元一次不等式和一元一次不等式組的相關(guān)內(nèi)容時，在數(shù)軸上表示不等式的解集，學生就能夠更加直觀地理解不等式的解集問題.“數(shù)軸”所蘊含的“數(shù)形結(jié)合”思想，即是數(shù)學概念與數(shù)形結(jié)合思想的有機滲透，有助于學生進一步強化對數(shù)形結(jié)合思想的全面掌握.

函數(shù)及其圖像也是初中數(shù)學教學中的一個重點.在直角坐標系中，有序?qū)崝?shù)對（x，y）與點P存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，因此，函數(shù)與其圖像必然符合數(shù)形結(jié)合思想.在解題過程中，我們可以將已知函數(shù)用其對應(yīng)的圖像來表示，從而分析出函數(shù)的性質(zhì)，研究函數(shù)的變化趨勢、對稱特點、增減性，以及對應(yīng)方程的解的情況等問題.下面我們就這一問題進行分析.

【例1】已知拋物線y=-x2+（m-1）x+m與y軸的交點是點（0，3）.

（1）求m的值，并畫出拋物線的圖像；

（2）求拋物線圖像與x軸的交點坐標、拋物線頂點的坐標；

（3）確定x的取值范圍，使得拋物線位于x軸的上方；

（4）確定x的取值范圍，使得y值能夠隨著x的增大而減小.

解析：（1）由拋物線y=-x2+（m-1）x+m與y軸相交于點（0，3）可以計算出m的值為3，所以得出拋物線為y=-x2+2x+3.圖像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，拋物線與x軸相交于點（-1，0）和（3，0）.

又因為y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以拋物線的頂點坐標為（1，4）.

（3）由拋物線圖像可知，當-1

（4）觀察拋物線的圖像，得出x>1，使得y值隨著x的增大而減小.

在學習圓這一章的知識時，點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系突出表現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.在解直角三角形這一章當中，三角函數(shù)概念、推導三角形的解法，都與數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)聯(lián).下述例題考查的是解三角形問題和直線與圓的位置關(guān)系.

【例2】已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC

為了培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，打造適應(yīng)現(xiàn)代化建設(shè)的新型人才，國家逐步加大了素質(zhì)教育體制和課程改革的推進力度.素質(zhì)教育以理論知識和靈活分析問題、處理問題的能力來考查學生的綜合素質(zhì).在初中數(shù)學教學中，教師也要意識到學生創(chuàng)新思維和探索能力的培養(yǎng).數(shù)形結(jié)合是一種應(yīng)用廣泛的重要思想方法，有利于拓展學生的思維空間，激發(fā)學生的求知欲望.因此，應(yīng)該將數(shù)形結(jié)合思想有效地與課堂教學相互滲透，將數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用加以升華.本文結(jié)合了具體的數(shù)學例子對基于數(shù)形結(jié)合思想的初中數(shù)學教學展開了討論.

一、數(shù)形結(jié)合思想的初步認識

只有數(shù)據(jù)而缺乏圖示的信息，顯得不夠形象直觀；只有圖形而沒有數(shù)據(jù)的描述，難以細致全面地深入分析信息.因此，教學中，我們提倡抽象與直觀因素的有機結(jié)合，也就是數(shù)學中常用到的“數(shù)形結(jié)合”思想.其實質(zhì)是代數(shù)與幾何的巧妙融合和靈活轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合思想指導我們在抽象數(shù)學思維和形象圖形思維之間進行合理轉(zhuǎn)化，把精確的代數(shù)刻畫與形象的幾何描繪統(tǒng)一起來，這樣便能夠凸顯數(shù)學問題的本質(zhì)所在，很多問題的解決也變得簡單快捷.在初中數(shù)學教學中，教師要積極引導學生學會利用數(shù)形結(jié)合思想方法分析問題.在數(shù)形結(jié)合思想的教學中，教師可以從幾個主要的角度入手.建立不等式、方程、函數(shù)等代數(shù)模型；通過幾何圖形或函數(shù)圖像等幾何模型來解決方程和函數(shù)問題；解決與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)和幾何的綜合性題目；用適當?shù)膱D像呈現(xiàn)題目的數(shù)學信息.數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵是準確找出數(shù)與形的結(jié)合點，學生要善于借助歸納類比法、觀察分析法、綜合概括法等其他方法，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)與形的結(jié)合點.

二、數(shù)形結(jié)合思想的深層滲透

在初中數(shù)學教學中，教師要學會通過對數(shù)學基本概念的深入分析，將數(shù)形結(jié)合思想深入到整個數(shù)學體系當中.數(shù)學概念反映的是一類對象的屬性，是對一類知識點本質(zhì)的高度概括，同時也是進行數(shù)學推斷，建立數(shù)學定理、法則和公式的依據(jù).因此，將數(shù)學概念作為擴展數(shù)形結(jié)合思想的立足點，不僅能夠反映事物在數(shù)量以及空間層面的本質(zhì)屬性，還有利于思想方法在同類知識中的大范圍擴散.數(shù)形結(jié)合思想全面滲透到每一個數(shù)學概念之中，能夠幫助學生進一步把握概念的本質(zhì)，同時也為數(shù)形結(jié)合這一抽象的思想方法尋到了一個具體有效的載體.在對滲透了數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學概念進行理解的基礎(chǔ)上，再進一步運用數(shù)形結(jié)合思想解決具體題目.此時，教師要發(fā)揮例題的作用，通過分析典型例題來明確運用數(shù)形結(jié)合思想的具體思路.

在實數(shù)內(nèi)容的學習中，我們將實數(shù)直觀的定義為和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的數(shù)，這很好地凸顯出了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.直線是無限多個點的集合，實數(shù)也包含了正實數(shù)、零和負實數(shù)在內(nèi)的無數(shù)個數(shù)字.兩者在數(shù)量上存在共性，因此，直線上的點可以表示實數(shù).由此，我們引入了數(shù)軸——規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線就是數(shù)軸.建立了數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)的關(guān)系.今后在學習絕對值、相反數(shù)、有理數(shù)等內(nèi)容的時候，也可以利用數(shù)軸做更為直觀的理解.除此之外，在學習一元一次不等式和一元一次不等式組的相關(guān)內(nèi)容時，在數(shù)軸上表示不等式的解集，學生就能夠更加直觀地理解不等式的解集問題.“數(shù)軸”所蘊含的“數(shù)形結(jié)合”思想，即是數(shù)學概念與數(shù)形結(jié)合思想的有機滲透，有助于學生進一步強化對數(shù)形結(jié)合思想的全面掌握.

函數(shù)及其圖像也是初中數(shù)學教學中的一個重點.在直角坐標系中，有序?qū)崝?shù)對（x，y）與點P存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，因此，函數(shù)與其圖像必然符合數(shù)形結(jié)合思想.在解題過程中，我們可以將已知函數(shù)用其對應(yīng)的圖像來表示，從而分析出函數(shù)的性質(zhì)，研究函數(shù)的變化趨勢、對稱特點、增減性，以及對應(yīng)方程的解的情況等問題.下面我們就這一問題進行分析.

【例1】已知拋物線y=-x2+（m-1）x+m與y軸的交點是點（0，3）.

（1）求m的值，并畫出拋物線的圖像；

（2）求拋物線圖像與x軸的交點坐標、拋物線頂點的坐標；

（3）確定x的取值范圍，使得拋物線位于x軸的上方；

（4）確定x的取值范圍，使得y值能夠隨著x的增大而減小.

解析：（1）由拋物線y=-x2+（m-1）x+m與y軸相交于點（0，3）可以計算出m的值為3，所以得出拋物線為y=-x2+2x+3.圖像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，拋物線與x軸相交于點（-1，0）和（3，0）.

又因為y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以拋物線的頂點坐標為（1，4）.

（3）由拋物線圖像可知，當-1

（4）觀察拋物線的圖像，得出x>1，使得y值隨著x的增大而減小.

在學習圓這一章的知識時，點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系突出表現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.在解直角三角形這一章當中，三角函數(shù)概念、推導三角形的解法，都與數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)聯(lián).下述例題考查的是解三角形問題和直線與圓的位置關(guān)系.

【例2】已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC

為了培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，打造適應(yīng)現(xiàn)代化建設(shè)的新型人才，國家逐步加大了素質(zhì)教育體制和課程改革的推進力度.素質(zhì)教育以理論知識和靈活分析問題、處理問題的能力來考查學生的綜合素質(zhì).在初中數(shù)學教學中，教師也要意識到學生創(chuàng)新思維和探索能力的培養(yǎng).數(shù)形結(jié)合是一種應(yīng)用廣泛的重要思想方法，有利于拓展學生的思維空間，激發(fā)學生的求知欲望.因此，應(yīng)該將數(shù)形結(jié)合思想有效地與課堂教學相互滲透，將數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用加以升華.本文結(jié)合了具體的數(shù)學例子對基于數(shù)形結(jié)合思想的初中數(shù)學教學展開了討論.

一、數(shù)形結(jié)合思想的初步認識

只有數(shù)據(jù)而缺乏圖示的信息，顯得不夠形象直觀；只有圖形而沒有數(shù)據(jù)的描述，難以細致全面地深入分析信息.因此，教學中，我們提倡抽象與直觀因素的有機結(jié)合，也就是數(shù)學中常用到的“數(shù)形結(jié)合”思想.其實質(zhì)是代數(shù)與幾何的巧妙融合和靈活轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合思想指導我們在抽象數(shù)學思維和形象圖形思維之間進行合理轉(zhuǎn)化，把精確的代數(shù)刻畫與形象的幾何描繪統(tǒng)一起來，這樣便能夠凸顯數(shù)學問題的本質(zhì)所在，很多問題的解決也變得簡單快捷.在初中數(shù)學教學中，教師要積極引導學生學會利用數(shù)形結(jié)合思想方法分析問題.在數(shù)形結(jié)合思想的教學中，教師可以從幾個主要的角度入手.建立不等式、方程、函數(shù)等代數(shù)模型；通過幾何圖形或函數(shù)圖像等幾何模型來解決方程和函數(shù)問題；解決與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)和幾何的綜合性題目；用適當?shù)膱D像呈現(xiàn)題目的數(shù)學信息.數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵是準確找出數(shù)與形的結(jié)合點，學生要善于借助歸納類比法、觀察分析法、綜合概括法等其他方法，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)與形的結(jié)合點.

二、數(shù)形結(jié)合思想的深層滲透

在初中數(shù)學教學中，教師要學會通過對數(shù)學基本概念的深入分析，將數(shù)形結(jié)合思想深入到整個數(shù)學體系當中.數(shù)學概念反映的是一類對象的屬性，是對一類知識點本質(zhì)的高度概括，同時也是進行數(shù)學推斷，建立數(shù)學定理、法則和公式的依據(jù).因此，將數(shù)學概念作為擴展數(shù)形結(jié)合思想的立足點，不僅能夠反映事物在數(shù)量以及空間層面的本質(zhì)屬性，還有利于思想方法在同類知識中的大范圍擴散.數(shù)形結(jié)合思想全面滲透到每一個數(shù)學概念之中，能夠幫助學生進一步把握概念的本質(zhì)，同時也為數(shù)形結(jié)合這一抽象的思想方法尋到了一個具體有效的載體.在對滲透了數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學概念進行理解的基礎(chǔ)上，再進一步運用數(shù)形結(jié)合思想解決具體題目.此時，教師要發(fā)揮例題的作用，通過分析典型例題來明確運用數(shù)形結(jié)合思想的具體思路.

在實數(shù)內(nèi)容的學習中，我們將實數(shù)直觀的定義為和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的數(shù)，這很好地凸顯出了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.直線是無限多個點的集合，實數(shù)也包含了正實數(shù)、零和負實數(shù)在內(nèi)的無數(shù)個數(shù)字.兩者在數(shù)量上存在共性，因此，直線上的點可以表示實數(shù).由此，我們引入了數(shù)軸——規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線就是數(shù)軸.建立了數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)的關(guān)系.今后在學習絕對值、相反數(shù)、有理數(shù)等內(nèi)容的時候，也可以利用數(shù)軸做更為直觀的理解.除此之外，在學習一元一次不等式和一元一次不等式組的相關(guān)內(nèi)容時，在數(shù)軸上表示不等式的解集，學生就能夠更加直觀地理解不等式的解集問題.“數(shù)軸”所蘊含的“數(shù)形結(jié)合”思想，即是數(shù)學概念與數(shù)形結(jié)合思想的有機滲透，有助于學生進一步強化對數(shù)形結(jié)合思想的全面掌握.

函數(shù)及其圖像也是初中數(shù)學教學中的一個重點.在直角坐標系中，有序?qū)崝?shù)對（x，y）與點P存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，因此，函數(shù)與其圖像必然符合數(shù)形結(jié)合思想.在解題過程中，我們可以將已知函數(shù)用其對應(yīng)的圖像來表示，從而分析出函數(shù)的性質(zhì)，研究函數(shù)的變化趨勢、對稱特點、增減性，以及對應(yīng)方程的解的情況等問題.下面我們就這一問題進行分析.

【例1】已知拋物線y=-x2+（m-1）x+m與y軸的交點是點（0，3）.

（1）求m的值，并畫出拋物線的圖像；

（2）求拋物線圖像與x軸的交點坐標、拋物線頂點的坐標；

（3）確定x的取值范圍，使得拋物線位于x軸的上方；

（4）確定x的取值范圍，使得y值能夠隨著x的增大而減小.

解析：（1）由拋物線y=-x2+（m-1）x+m與y軸相交于點（0，3）可以計算出m的值為3，所以得出拋物線為y=-x2+2x+3.圖像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，拋物線與x軸相交于點（-1，0）和（3，0）.

又因為y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以拋物線的頂點坐標為（1，4）.

（3）由拋物線圖像可知，當-1

（4）觀察拋物線的圖像，得出x>1，使得y值隨著x的增大而減小.

在學習圓這一章的知識時，點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系突出表現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.在解直角三角形這一章當中，三角函數(shù)概念、推導三角形的解法，都與數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)聯(lián).下述例題考查的是解三角形問題和直線與圓的位置關(guān)系.

【例2】已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC