運用變式訓練拓展學生思維

謝恩林

經過教學實踐發現，合理利用變式訓練能有效激活學生數學思維.那么，什么是數學變式訓練呢？所謂數學變式訓練，是指在數學教學過程中對概念、性質、定理公式，以及問題，從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或結論的形式或內容發生變化，而本質特征卻不變.也就是所謂的“萬變不離其宗”.

變式訓練是提高學生發散思維能力、化歸與遷移能力和思維靈活性的有效方法之一.運用變式訓練可以提高數學題目的利用率，提高教學有效性，起到綜合運用知識，有效培養學生綜合思維能力的作用.

變式訓練是中學數學教學中的一種重要教學策略，在提高學生的學習興趣、培養學生的數學思維和數學解題能力方面有著不可忽視的作用.通過變式訓練可以使教學內容變得更加豐富多彩，使學生的思路更加寬廣，拓展學生思維；可節省教學時間，提高課堂教學效率.下面談談在數學教學中如何運用變式訓練，拓展學生思維.

一、變式訓練的一般類型

（一）運用變式訓練加深學生對概念的理解

如，在學習平方根的概念時，根據平方根概念的教學安排在算術平方根之后，可以設計這樣的變式訓練：

【例1】（）2=16，16的算術平方根是，16=；16的平方根是，±16=.

此例題主要是讓學生理解、掌握平方根的概念.理解算理——利用平方運算求得平方根.學生在剛剛學習算術平方根和平方根概念時，往往區分不開，為了讓學生加深對這兩個概念的理解，我在例題的基礎上設置了變式1.

變式1：16的正的平方根即算術平方根是.16的負的平方根是.

通過變式1和例題的對比，學生可以很清晰地理解幾個概念的聯系與區別，加深對概念的內化理解.

在變式1的基礎上我又出示了變式2.

變式2：16的平方根是.

學生在解決變式2時出錯率較高，他們把此題錯誤地理解成“求16的正的平方根”.這正是學生沒有理解好符號與文字表達的關系的具體體現.在學生出錯的基礎上講解.先算16等于4，再算4的平方根等于±2.學生聽完講解后恍然大悟，理解了自己出錯的真正原因，加深了對符號表達和概念的理解.

接下來，為了加深學生對概念的靈活掌握，我又設置了下面的變式3.

（）2=7，則（）=±7，若x2=3，

則x=.

通過這個變式訓練，學生對平方根的概念掌握更加牢固，同時也培養了學生的數學思維能力.

（二）運用變式訓練加深學生對公式、法則、定理等的理解與掌握

數學中的公式、法則、定理是數學知識中的重要內容，它們是解決數學問題的重要理論基礎，必須讓學生靈活、熟練地掌握.在教學中，我們要善于利用變式訓練引導學生掌握公式、法則、定理中的各要素之間的聯系和本質規律，使學生能加深對其的理解和靈活運用.

例如，在學習乘法公式——平方差公式時，要讓學生感悟到運用平方差公式的關鍵，是要弄清楚平方差公式的符號特征以及公式中a、b可以代表任何數、字母或代數式的廣泛含義.教師可設計如下變式訓練.

【例2】運用平方差公式計算.

（1）（x+2）（x-2）；（2）（3x+2）（3x-2）；

（3）（b+2a）（b-2a）；（4）（-x+2y）（-x-2y）.

為了讓學生從不同角度體會平方差公式，教師可設計變式訓練1：請你當評判員，并把錯誤的改正.

（1）（a+b）（a-c）=a2-bc；

（2）（-3a-2）（3a-2）=9a2-4；

（3）（x3+4）（x3-4）=x6-4；

（4）（a+b+c）（a+b-c）=（a+b）2-c2.

讓學生獨立思考后小組討論，再全班交流.學生就明白了平方差公式的應用條件.如第（1）題不能運用平方差公式計算，而應該用多項式乘法法則計算.這樣設計正誤判斷，使學生能明辨是非，對公式有了更深刻的認識.

變式訓練2：填空.

（1）（）（2a-3）=4a2-9；

（2）（5x+）·（5x-7）=25x2-49.

學生思考后發現，這類題關鍵要從結果中去確定公式中的a和b，訓練了學生的逆向思維，提高了學生對公式運用的能力.

這些訓練由淺入深，實實在在地增強了學生對平方差公式的理解.

如，在學習圓的切線的判定定理時，對定理“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”的講解，教師可采用如下變式訓練，以幫助學生多方位、靈活地理解和掌握定理.把握定理中的關鍵要素：過半徑外端、垂直.出示變式判斷題，并給出圖示說明，讓學生理解正誤的原因.

變式訓練3：

（1）經過半徑外端的直線是圓的切線.（）

（2）垂直于半徑的直線是圓的切線.（）

（3）過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.（）

通過上面的變式判斷，學生既快又準地掌握了切線的判定定理，避免了機械背誦、生搬硬套，從多方位理解了定理的實質.

（三）題目形式的變式訓練

題目形式的變式訓練就是讓學生同時練習那些在知識、方法上有關聯，而在形式上又不同的題目組成的題組，使學生對一些基本知識、方法及重要的數學思想方法加深領會，達到觸類旁通的目的.

1.改變題目中的一些條件

圖1【例3】如圖1所示，（1）若∠1=∠2，∠3=100°，求∠4度數；

（2）若∠1+∠5=180°，∠3=100°，求∠4度數；

（3）若∠1+∠7=180°，∠3=100°，求∠4度數.

你能想出哪幾種解法？跟你的同桌說一說，交流各自看法.endprint

本題組的第（2）題，可以通過∠1+∠6=180°，∠1+∠5=180°，得到∠5=∠6，根據“內錯角相等，兩直線平行”得到a∥b，這是解決問題的關鍵.

第（3）題，可以通過∠1+∠6=180°，∠1+∠7=180°得到∠7=∠6，根據“同位角相等，兩直線平行”得到a∥b，這是解決問題的關鍵.通過中間角作橋梁，找到一對同位角相等或內錯角相等，從而使問題得到解決.在交流中，學生發現本題組有多種解法，靈活多樣.學生思維活躍.

2.變變數據

“變變數據”是指利用等價條件來替換已知條件或部分已知條件或增加條件內涵，以拓展學生對題意本質的理解，達到訓練學生思維的目的.

【例4】（1）已知x=2是方程3（x+2）-2a=1的解，求a的值.（解題過程略）

通過將條件“x=2”變式，將題目變化為：

（2）已知3（x-4）=x-8與方程3（x+2）-2a=1有相同的解，求a的值.

在教學中，有些學生本來對第（2）問無從下手，教師提示：從第（1）問你得到什么啟發？由于教師對題式中部分條件的變式，不僅為求解上例設計了適當的坡度，降低了題目難度，而且也幫助學生理解了題目的本意，并且為這類習題的求解提供了切實可行的解決方案.

【例5】若三角形的兩邊長分別為3和5，則第三邊x的取值范圍是.

變式訓練：

（1）若等腰三角形的周長為20cm，且一邊長為6cm，則其他兩邊長為；

（2）若等腰三角形的一邊長為5，一邊長為6，則它的周長為；

（3）若等腰三角形的一邊長為4，一邊長為9，則它的周長為.

這組例題都應用了三角形三邊關系定理解題，而變式訓練（1）（2）（3）又要應用分類討論的思想，對等腰三角形的底邊長和腰長進行分類討論，作出取舍處理，才能得出正確答案.這組訓練題有效地訓練了學生思維的靈活性和思維的深刻性，培養了學生的應變能力.

（四）解題方法的變式訓練

解題方法的變式訓練也就是我們常說的“一題多解”訓練.在教學中，教師要善于設置“一題多解”變式訓練，引導學生從不同的角度思考解決同一個問題，使學生從單一的思維模式中解放出來，達到以創新方式來解答問題的目的.培養學生思維的開闊性、發散性和靈活性.

例如，判斷一個四邊形是否為平行四邊形可以有多種方法：①平行四邊形的定義；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

圖2【例6】如圖2所示，四邊形ABCD是平行四邊形，它的兩條對角線相交于點O，點E是DO的中點，點F是BO的中點.連結AE、CE、AF、CF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形.

教師：同學們，你是怎樣證明的？找到幾種證明方法？

分析：判斷四邊形AFCE是平行四邊形，可以有以下多種判斷方法.

方法一：利用平行四邊形的定義來進行判斷.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠ADE=∠CBF，BO=DO，

∵點E是DO的中點，點F是BO的中點，

∴DE=BF，

∴△ADE≌△CBF，

∴∠DAE=∠BCF，

∵∠AEO=∠ADE+∠DAE，∠CFO=∠CBF+∠BCF，

∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF.

同理∠CEO=∠AFO，

∴AF∥EC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形.

方法二：利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.endprint

本題組的第（2）題，可以通過∠1+∠6=180°，∠1+∠5=180°，得到∠5=∠6，根據“內錯角相等，兩直線平行”得到a∥b，這是解決問題的關鍵.

第（3）題，可以通過∠1+∠6=180°，∠1+∠7=180°得到∠7=∠6，根據“同位角相等，兩直線平行”得到a∥b，這是解決問題的關鍵.通過中間角作橋梁，找到一對同位角相等或內錯角相等，從而使問題得到解決.在交流中，學生發現本題組有多種解法，靈活多樣.學生思維活躍.

2.變變數據

“變變數據”是指利用等價條件來替換已知條件或部分已知條件或增加條件內涵，以拓展學生對題意本質的理解，達到訓練學生思維的目的.

【例4】（1）已知x=2是方程3（x+2）-2a=1的解，求a的值.（解題過程略）

通過將條件“x=2”變式，將題目變化為：

（2）已知3（x-4）=x-8與方程3（x+2）-2a=1有相同的解，求a的值.

在教學中，有些學生本來對第（2）問無從下手，教師提示：從第（1）問你得到什么啟發？由于教師對題式中部分條件的變式，不僅為求解上例設計了適當的坡度，降低了題目難度，而且也幫助學生理解了題目的本意，并且為這類習題的求解提供了切實可行的解決方案.

【例5】若三角形的兩邊長分別為3和5，則第三邊x的取值范圍是.

變式訓練：

（1）若等腰三角形的周長為20cm，且一邊長為6cm，則其他兩邊長為；

（2）若等腰三角形的一邊長為5，一邊長為6，則它的周長為；

（3）若等腰三角形的一邊長為4，一邊長為9，則它的周長為.

這組例題都應用了三角形三邊關系定理解題，而變式訓練（1）（2）（3）又要應用分類討論的思想，對等腰三角形的底邊長和腰長進行分類討論，作出取舍處理，才能得出正確答案.這組訓練題有效地訓練了學生思維的靈活性和思維的深刻性，培養了學生的應變能力.

（四）解題方法的變式訓練

解題方法的變式訓練也就是我們常說的“一題多解”訓練.在教學中，教師要善于設置“一題多解”變式訓練，引導學生從不同的角度思考解決同一個問題，使學生從單一的思維模式中解放出來，達到以創新方式來解答問題的目的.培養學生思維的開闊性、發散性和靈活性.

例如，判斷一個四邊形是否為平行四邊形可以有多種方法：①平行四邊形的定義；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

圖2【例6】如圖2所示，四邊形ABCD是平行四邊形，它的兩條對角線相交于點O，點E是DO的中點，點F是BO的中點.連結AE、CE、AF、CF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形.

教師：同學們，你是怎樣證明的？找到幾種證明方法？

分析：判斷四邊形AFCE是平行四邊形，可以有以下多種判斷方法.

方法一：利用平行四邊形的定義來進行判斷.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠ADE=∠CBF，BO=DO，

∵點E是DO的中點，點F是BO的中點，

∴DE=BF，

∴△ADE≌△CBF，

∴∠DAE=∠BCF，

∵∠AEO=∠ADE+∠DAE，∠CFO=∠CBF+∠BCF，

∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF.

同理∠CEO=∠AFO，

∴AF∥EC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形.

方法二：利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.endprint

本題組的第（2）題，可以通過∠1+∠6=180°，∠1+∠5=180°，得到∠5=∠6，根據“內錯角相等，兩直線平行”得到a∥b，這是解決問題的關鍵.

第（3）題，可以通過∠1+∠6=180°，∠1+∠7=180°得到∠7=∠6，根據“同位角相等，兩直線平行”得到a∥b，這是解決問題的關鍵.通過中間角作橋梁，找到一對同位角相等或內錯角相等，從而使問題得到解決.在交流中，學生發現本題組有多種解法，靈活多樣.學生思維活躍.

2.變變數據

“變變數據”是指利用等價條件來替換已知條件或部分已知條件或增加條件內涵，以拓展學生對題意本質的理解，達到訓練學生思維的目的.

【例4】（1）已知x=2是方程3（x+2）-2a=1的解，求a的值.（解題過程略）

通過將條件“x=2”變式，將題目變化為：

（2）已知3（x-4）=x-8與方程3（x+2）-2a=1有相同的解，求a的值.

在教學中，有些學生本來對第（2）問無從下手，教師提示：從第（1）問你得到什么啟發？由于教師對題式中部分條件的變式，不僅為求解上例設計了適當的坡度，降低了題目難度，而且也幫助學生理解了題目的本意，并且為這類習題的求解提供了切實可行的解決方案.

【例5】若三角形的兩邊長分別為3和5，則第三邊x的取值范圍是.

變式訓練：

（1）若等腰三角形的周長為20cm，且一邊長為6cm，則其他兩邊長為；

（2）若等腰三角形的一邊長為5，一邊長為6，則它的周長為；

（3）若等腰三角形的一邊長為4，一邊長為9，則它的周長為.

這組例題都應用了三角形三邊關系定理解題，而變式訓練（1）（2）（3）又要應用分類討論的思想，對等腰三角形的底邊長和腰長進行分類討論，作出取舍處理，才能得出正確答案.這組訓練題有效地訓練了學生思維的靈活性和思維的深刻性，培養了學生的應變能力.

（四）解題方法的變式訓練

解題方法的變式訓練也就是我們常說的“一題多解”訓練.在教學中，教師要善于設置“一題多解”變式訓練，引導學生從不同的角度思考解決同一個問題，使學生從單一的思維模式中解放出來，達到以創新方式來解答問題的目的.培養學生思維的開闊性、發散性和靈活性.

例如，判斷一個四邊形是否為平行四邊形可以有多種方法：①平行四邊形的定義；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

圖2【例6】如圖2所示，四邊形ABCD是平行四邊形，它的兩條對角線相交于點O，點E是DO的中點，點F是BO的中點.連結AE、CE、AF、CF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形.

教師：同學們，你是怎樣證明的？找到幾種證明方法？

分析：判斷四邊形AFCE是平行四邊形，可以有以下多種判斷方法.

方法一：利用平行四邊形的定義來進行判斷.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠ADE=∠CBF，BO=DO，

∵點E是DO的中點，點F是BO的中點，

∴DE=BF，

∴△ADE≌△CBF，

∴∠DAE=∠BCF，

∵∠AEO=∠ADE+∠DAE，∠CFO=∠CBF+∠BCF，

∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF.

同理∠CEO=∠AFO，

∴AF∥EC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形.

方法二：利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.endprint