淺談反證法的原理及在中學數學中的應用

王業雙

摘要：反證法是一種重要的證明方法，是中學生必須掌握和靈活運用的一種重要的證明方法。文章介紹了反證法的原理及一般步驟，探索反證法在中學數學中的運用。

關鍵詞：反證法；證明；矛盾；應用

中圖分類號：G633.6？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0077-02

在中學數學中，反證法應用相當廣泛。怎樣正確運用反證法是一個難題。本文主要研究的是一些直接證明難以入手甚至無法入手的題目，用反證法就會使證明變得輕而易舉。

一、反證法原理及解題步驟

1.反證法原理。反證法是一種論證方式。它首先假設某命題不成立，然后推出明顯矛盾的結論，從而得出原假設不成立，原命題得證。總的來說反證法就是通過證明原命題的反面不成立來確定原命題正確的一種證明方法。反證法在中學數學中經常運用。有的問題不易從問題的正面去解答，但若從問題的反面著手卻容易解決，它從否定結論出發，經過正確嚴格的推理，得到與已知假設或已成立的數學命題相矛盾的結果，從而得到原命題的結論是不容否定的正確結論。

2.反證法的解題步驟。在中學數學題目的求解證明過程中，當直接證明一個命題感到困難時，我們經常采用反證法的思想。由此，我們總結出用反證法證明命題的三個步驟：①提出假設：做出與求證結論相反的假設。②推出矛盾：與題設矛盾；與假設矛盾；恒假命題。③肯定結論：說明假設不成立，從而肯定原命題成立。數學問題是多種多樣的，盡管大多問題一般使用直接證明，但有些問題直接證明難度較大，而用反證法證明，卻能迎刃而解。下面我們結合實例總結幾種常用反證法的情況。

二、反證法在中學數學中的應用

反證法雖然是在平面幾何教材中提出來的，但對數學的其他部分內容如代數、三角函數、立體幾何、解析幾何中都可應用反證法。那么，究竟什么樣的命題可以用反證法來證呢？下面就列舉幾種一般用反證法來證比較方便的命題。

1.基本命題。基本命題就是學科中的起始性命題，這類命題由于已知條件及能夠應用的定理、公式、法則較少，或由題設條件所能推出的結論很少，因而直接證明入手較難，此時應用反證法容易奏效。

例1 求證：兩條相交直線只有一個交點。已知：如圖，直線a、b相交于點P，求證：a、b只有一個交點。證明：假定a，b相交不只有一個交點P，那么a，b至少有兩個交點P、Q。于是直線a是由P、Q兩點確定的直線，直線b也是由P、Q兩點確定的直線，即由P、Q兩點確定了兩條直線a，b。

與已知公理“兩點只確定一條直線”相矛盾，則a，b不可能有兩個交點，于是兩條相交直線只有一個交點。

2.否定性命題。否定性命題，也就是結論以否定形式出現的命題，即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現的命題，直接證法一般不易人手，而運用反證法能使你見到“柳暗花明又一村”的景象。

3.存在性問題。在存在性問題中，結論若是“至少存在”，其反面是“必定不存在”，由此來推出矛盾，從而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”。我們用反證法來證明。

例2 已知x∈R，a=x2+0.5，b=2-x，c=x2-x+1求證：a，b，c中至少有一個不小于1。證明：假設a，b，c都小于1，則2x2-2x+3.5<3，而2x2-2x+3.5=2（x-0.5）2+3≥3與2x2-2x+3.5<3相矛盾，假設不成立，即命題成立。

4.無窮性命題。無窮性命題是指在求證的命題中含有“無窮”、“無限”等概念時，從正面證明往往無從下手時，我們常使用反證法。

例3 證明■是無理數。證明：假設■不是無理數，那么■是有理數，不妨設■=■（m，n為互質的整數）， m2=3n2，即有m是3的倍數，又設m=3q（q是整數），代人上式得n2=3q2，這又說明n也是3的倍數，那么m與n都是3的倍數，這與我們假設m、n互相矛盾，∴■是無理數。

5.唯一性命題。有關唯一性的題目結論以“…只有一個…”或者“……唯一存在”等形式出現的命題，用反證證明，常能使證明過程簡潔清楚。

例4 設0

從而|x1-x2|≤2bsin（x1-x2）/2≤2b（x1-x2）/2=b|x1-x2|，即 |x1-x2|≤b|x1-x2|，此與x1≠x2且0

三、應用反證法應該注意的問題

對于同一命題，從不同的角度進行推理，常常可以推出不同性質的矛盾結果，從而得到不同的證明方法，它們中有繁冗復雜，有簡單快捷，因此，在用反證法證明中，應當從命題的特點出發，選取恰當的推理方法。

1.必須正確“否定結論”。正確否定結論是運用反證法的首要問題。

2.必須明確“推理特點”。否定結論導出矛盾是反證法的任務，但出現什么樣的矛盾是不能預測的。一般是在命題的相關領域里考慮，這正是反證法推理的特點。只需正確否定結論，嚴格遵守推理規則，進行步步有據的推理，矛盾一出現，證明即告結束。

3.了解“矛盾種類”。反證法推理過程中出現的矛盾是多種多樣的，推理導出的結果可能與題設或部分題設矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質）相矛盾，可能與臨時假設矛盾，或推出一對相互矛盾的結果等。

反證法是一種簡明實用的數學解題方法，也是一種重要的數學思想。學會運用反證法，它可以讓我們掌握數學邏輯推理思想及間接證明的數學方法，提高觀察力、思維能力、辨別能力，以及養成嚴謹治學的習慣。我認為，只有了解這些知識，在此基礎上再不斷加強訓練，并不斷進行總結，才能熟練運用。

參考文獻：

[1]陳志云，王以清.反證法[J].高等函授學報（自然科學版），2000，13（6）：20-23.

[2]閻平連.淺談反證法在初中數學中的運用[J].呂梁高等專科學校學報，2002，18（1）：28-29.

[3]張安平.反證法——證明數學問題的重要方法[J].教育教學，2010，1（11）：179-180.

[4]張世強.淺析“反證法”[J].成都教育學院學報，2000，6（06）：09-10.

[5]路從條.“反證法”思想在中學數學中的應用[J].福建教育學院學報，2003，1（03）：84-85.

[6]朱慧.反證法在中學數學證明題中的應用[J].教育教學論壇，2010，1（35）：53-54.

摘要：反證法是一種重要的證明方法，是中學生必須掌握和靈活運用的一種重要的證明方法。文章介紹了反證法的原理及一般步驟，探索反證法在中學數學中的運用。

關鍵詞：反證法；證明；矛盾；應用

中圖分類號：G633.6？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0077-02

在中學數學中，反證法應用相當廣泛。怎樣正確運用反證法是一個難題。本文主要研究的是一些直接證明難以入手甚至無法入手的題目，用反證法就會使證明變得輕而易舉。

一、反證法原理及解題步驟

1.反證法原理。反證法是一種論證方式。它首先假設某命題不成立，然后推出明顯矛盾的結論，從而得出原假設不成立，原命題得證。總的來說反證法就是通過證明原命題的反面不成立來確定原命題正確的一種證明方法。反證法在中學數學中經常運用。有的問題不易從問題的正面去解答，但若從問題的反面著手卻容易解決，它從否定結論出發，經過正確嚴格的推理，得到與已知假設或已成立的數學命題相矛盾的結果，從而得到原命題的結論是不容否定的正確結論。

2.反證法的解題步驟。在中學數學題目的求解證明過程中，當直接證明一個命題感到困難時，我們經常采用反證法的思想。由此，我們總結出用反證法證明命題的三個步驟：①提出假設：做出與求證結論相反的假設。②推出矛盾：與題設矛盾；與假設矛盾；恒假命題。③肯定結論：說明假設不成立，從而肯定原命題成立。數學問題是多種多樣的，盡管大多問題一般使用直接證明，但有些問題直接證明難度較大，而用反證法證明，卻能迎刃而解。下面我們結合實例總結幾種常用反證法的情況。

二、反證法在中學數學中的應用

反證法雖然是在平面幾何教材中提出來的，但對數學的其他部分內容如代數、三角函數、立體幾何、解析幾何中都可應用反證法。那么，究竟什么樣的命題可以用反證法來證呢？下面就列舉幾種一般用反證法來證比較方便的命題。

1.基本命題。基本命題就是學科中的起始性命題，這類命題由于已知條件及能夠應用的定理、公式、法則較少，或由題設條件所能推出的結論很少，因而直接證明入手較難，此時應用反證法容易奏效。

例1 求證：兩條相交直線只有一個交點。已知：如圖，直線a、b相交于點P，求證：a、b只有一個交點。證明：假定a，b相交不只有一個交點P，那么a，b至少有兩個交點P、Q。于是直線a是由P、Q兩點確定的直線，直線b也是由P、Q兩點確定的直線，即由P、Q兩點確定了兩條直線a，b。

與已知公理“兩點只確定一條直線”相矛盾，則a，b不可能有兩個交點，于是兩條相交直線只有一個交點。

2.否定性命題。否定性命題，也就是結論以否定形式出現的命題，即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現的命題，直接證法一般不易人手，而運用反證法能使你見到“柳暗花明又一村”的景象。

3.存在性問題。在存在性問題中，結論若是“至少存在”，其反面是“必定不存在”，由此來推出矛盾，從而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”。我們用反證法來證明。

例2 已知x∈R，a=x2+0.5，b=2-x，c=x2-x+1求證：a，b，c中至少有一個不小于1。證明：假設a，b，c都小于1，則2x2-2x+3.5<3，而2x2-2x+3.5=2（x-0.5）2+3≥3與2x2-2x+3.5<3相矛盾，假設不成立，即命題成立。

4.無窮性命題。無窮性命題是指在求證的命題中含有“無窮”、“無限”等概念時，從正面證明往往無從下手時，我們常使用反證法。

例3 證明■是無理數。證明：假設■不是無理數，那么■是有理數，不妨設■=■（m，n為互質的整數）， m2=3n2，即有m是3的倍數，又設m=3q（q是整數），代人上式得n2=3q2，這又說明n也是3的倍數，那么m與n都是3的倍數，這與我們假設m、n互相矛盾，∴■是無理數。

5.唯一性命題。有關唯一性的題目結論以“…只有一個…”或者“……唯一存在”等形式出現的命題，用反證證明，常能使證明過程簡潔清楚。

例4 設0

從而|x1-x2|≤2bsin（x1-x2）/2≤2b（x1-x2）/2=b|x1-x2|，即 |x1-x2|≤b|x1-x2|，此與x1≠x2且0

三、應用反證法應該注意的問題

對于同一命題，從不同的角度進行推理，常常可以推出不同性質的矛盾結果，從而得到不同的證明方法，它們中有繁冗復雜，有簡單快捷，因此，在用反證法證明中，應當從命題的特點出發，選取恰當的推理方法。

1.必須正確“否定結論”。正確否定結論是運用反證法的首要問題。

2.必須明確“推理特點”。否定結論導出矛盾是反證法的任務，但出現什么樣的矛盾是不能預測的。一般是在命題的相關領域里考慮，這正是反證法推理的特點。只需正確否定結論，嚴格遵守推理規則，進行步步有據的推理，矛盾一出現，證明即告結束。

3.了解“矛盾種類”。反證法推理過程中出現的矛盾是多種多樣的，推理導出的結果可能與題設或部分題設矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質）相矛盾，可能與臨時假設矛盾，或推出一對相互矛盾的結果等。

反證法是一種簡明實用的數學解題方法，也是一種重要的數學思想。學會運用反證法，它可以讓我們掌握數學邏輯推理思想及間接證明的數學方法，提高觀察力、思維能力、辨別能力，以及養成嚴謹治學的習慣。我認為，只有了解這些知識，在此基礎上再不斷加強訓練，并不斷進行總結，才能熟練運用。

參考文獻：

[1]陳志云，王以清.反證法[J].高等函授學報（自然科學版），2000，13（6）：20-23.

[2]閻平連.淺談反證法在初中數學中的運用[J].呂梁高等專科學校學報，2002，18（1）：28-29.

[3]張安平.反證法——證明數學問題的重要方法[J].教育教學，2010，1（11）：179-180.

[4]張世強.淺析“反證法”[J].成都教育學院學報，2000，6（06）：09-10.

[5]路從條.“反證法”思想在中學數學中的應用[J].福建教育學院學報，2003，1（03）：84-85.

[6]朱慧.反證法在中學數學證明題中的應用[J].教育教學論壇，2010，1（35）：53-54.

摘要：反證法是一種重要的證明方法，是中學生必須掌握和靈活運用的一種重要的證明方法。文章介紹了反證法的原理及一般步驟，探索反證法在中學數學中的運用。

關鍵詞：反證法；證明；矛盾；應用

中圖分類號：G633.6？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0077-02

在中學數學中，反證法應用相當廣泛。怎樣正確運用反證法是一個難題。本文主要研究的是一些直接證明難以入手甚至無法入手的題目，用反證法就會使證明變得輕而易舉。

一、反證法原理及解題步驟

1.反證法原理。反證法是一種論證方式。它首先假設某命題不成立，然后推出明顯矛盾的結論，從而得出原假設不成立，原命題得證。總的來說反證法就是通過證明原命題的反面不成立來確定原命題正確的一種證明方法。反證法在中學數學中經常運用。有的問題不易從問題的正面去解答，但若從問題的反面著手卻容易解決，它從否定結論出發，經過正確嚴格的推理，得到與已知假設或已成立的數學命題相矛盾的結果，從而得到原命題的結論是不容否定的正確結論。

2.反證法的解題步驟。在中學數學題目的求解證明過程中，當直接證明一個命題感到困難時，我們經常采用反證法的思想。由此，我們總結出用反證法證明命題的三個步驟：①提出假設：做出與求證結論相反的假設。②推出矛盾：與題設矛盾；與假設矛盾；恒假命題。③肯定結論：說明假設不成立，從而肯定原命題成立。數學問題是多種多樣的，盡管大多問題一般使用直接證明，但有些問題直接證明難度較大，而用反證法證明，卻能迎刃而解。下面我們結合實例總結幾種常用反證法的情況。

二、反證法在中學數學中的應用

反證法雖然是在平面幾何教材中提出來的，但對數學的其他部分內容如代數、三角函數、立體幾何、解析幾何中都可應用反證法。那么，究竟什么樣的命題可以用反證法來證呢？下面就列舉幾種一般用反證法來證比較方便的命題。

1.基本命題。基本命題就是學科中的起始性命題，這類命題由于已知條件及能夠應用的定理、公式、法則較少，或由題設條件所能推出的結論很少，因而直接證明入手較難，此時應用反證法容易奏效。

例1 求證：兩條相交直線只有一個交點。已知：如圖，直線a、b相交于點P，求證：a、b只有一個交點。證明：假定a，b相交不只有一個交點P，那么a，b至少有兩個交點P、Q。于是直線a是由P、Q兩點確定的直線，直線b也是由P、Q兩點確定的直線，即由P、Q兩點確定了兩條直線a，b。

與已知公理“兩點只確定一條直線”相矛盾，則a，b不可能有兩個交點，于是兩條相交直線只有一個交點。

2.否定性命題。否定性命題，也就是結論以否定形式出現的命題，即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現的命題，直接證法一般不易人手，而運用反證法能使你見到“柳暗花明又一村”的景象。

3.存在性問題。在存在性問題中，結論若是“至少存在”，其反面是“必定不存在”，由此來推出矛盾，從而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”。我們用反證法來證明。

例2 已知x∈R，a=x2+0.5，b=2-x，c=x2-x+1求證：a，b，c中至少有一個不小于1。證明：假設a，b，c都小于1，則2x2-2x+3.5<3，而2x2-2x+3.5=2（x-0.5）2+3≥3與2x2-2x+3.5<3相矛盾，假設不成立，即命題成立。

4.無窮性命題。無窮性命題是指在求證的命題中含有“無窮”、“無限”等概念時，從正面證明往往無從下手時，我們常使用反證法。

例3 證明■是無理數。證明：假設■不是無理數，那么■是有理數，不妨設■=■（m，n為互質的整數）， m2=3n2，即有m是3的倍數，又設m=3q（q是整數），代人上式得n2=3q2，這又說明n也是3的倍數，那么m與n都是3的倍數，這與我們假設m、n互相矛盾，∴■是無理數。

5.唯一性命題。有關唯一性的題目結論以“…只有一個…”或者“……唯一存在”等形式出現的命題，用反證證明，常能使證明過程簡潔清楚。

例4 設0

從而|x1-x2|≤2bsin（x1-x2）/2≤2b（x1-x2）/2=b|x1-x2|，即 |x1-x2|≤b|x1-x2|，此與x1≠x2且0

三、應用反證法應該注意的問題

對于同一命題，從不同的角度進行推理，常常可以推出不同性質的矛盾結果，從而得到不同的證明方法，它們中有繁冗復雜，有簡單快捷，因此，在用反證法證明中，應當從命題的特點出發，選取恰當的推理方法。

1.必須正確“否定結論”。正確否定結論是運用反證法的首要問題。

2.必須明確“推理特點”。否定結論導出矛盾是反證法的任務，但出現什么樣的矛盾是不能預測的。一般是在命題的相關領域里考慮，這正是反證法推理的特點。只需正確否定結論，嚴格遵守推理規則，進行步步有據的推理，矛盾一出現，證明即告結束。

3.了解“矛盾種類”。反證法推理過程中出現的矛盾是多種多樣的，推理導出的結果可能與題設或部分題設矛盾，可能與已知真命題（定義或公理、或定理、或性質）相矛盾，可能與臨時假設矛盾，或推出一對相互矛盾的結果等。

反證法是一種簡明實用的數學解題方法，也是一種重要的數學思想。學會運用反證法，它可以讓我們掌握數學邏輯推理思想及間接證明的數學方法，提高觀察力、思維能力、辨別能力，以及養成嚴謹治學的習慣。我認為，只有了解這些知識，在此基礎上再不斷加強訓練，并不斷進行總結，才能熟練運用。

參考文獻：

[1]陳志云，王以清.反證法[J].高等函授學報（自然科學版），2000，13（6）：20-23.

[2]閻平連.淺談反證法在初中數學中的運用[J].呂梁高等專科學校學報，2002，18（1）：28-29.

[3]張安平.反證法——證明數學問題的重要方法[J].教育教學，2010，1（11）：179-180.

[4]張世強.淺析“反證法”[J].成都教育學院學報，2000，6（06）：09-10.

[5]路從條.“反證法”思想在中學數學中的應用[J].福建教育學院學報，2003，1（03）：84-85.

[6]朱慧.反證法在中學數學證明題中的應用[J].教育教學論壇，2010，1（35）：53-54.